許光英

[摘 要] 文章從“將軍飲馬問題”的背景、本質(zhì)、應用與拓展三個方面來展開分析，探討了在二維圓錐曲線最值問題中的應用與拓展、在三維立體圖形中涉及對稱直線和對稱面的最值問題的應用與拓展以及在一維直線上關(guān)于絕對值最值的探討.

[關(guān)鍵詞] 將軍飲馬問題；軸對稱變換；三角形三邊關(guān)系；距離和的最小值；三點共線

數(shù)學歷史名題是在數(shù)學發(fā)展歷史長河中形成，并對數(shù)學發(fā)展、數(shù)學應用和數(shù)學教學等方面起過或仍起著重要作用的數(shù)學問題（單墫）. 對數(shù)學名題的學習，有利于我們了解數(shù)學的發(fā)展和理解數(shù)學思想方法的形成，開闊數(shù)學的視野，有助于數(shù)學的教和學.

將軍飲馬問題的背景

將軍飲馬問題早在古羅馬時代就有了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學和物理的學者，名叫海倫. 一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題：

將軍每天騎馬從城堡A出發(fā)，到城堡B，途中馬要到小溪邊飲水一次.將軍問怎樣走路程最短？從此，這個被稱為“將軍飲馬”的問題廣為流傳.

解決方法：

如圖1所示，從A出發(fā)向河岸引垂線，垂足為D，在AD的延長線上取A關(guān)于河岸的對稱點A′，連結(jié)A′B，與河岸線相交于C，則C點就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到C，飲馬之后，再由C沿直線走到B，走的路程就是最短的.

“將軍飲馬”問題中利用“軸對稱變換”化折為直，將該問題轉(zhuǎn)化為“兩點間線段最短”.

將軍飲馬問題的本質(zhì)：

模型一：“飲馬問題”可歸結(jié)為“求定直線上一動點與直線外兩定點的距離之和的最小值”的問題.

如圖2所示：已知A、B在直線L同側(cè)（或異側(cè)），在直線L上求一點P，使得PA+PB最小.

A、B在直線L同側(cè)時，點P為線段A′B與直線L的交點（A′是點A關(guān)于直線L的對稱點）； A、B在直線L異側(cè)時，點P為線段AB與直線L的交點.

做法：利用軸對稱變換，把同側(cè)類型轉(zhuǎn)化為異側(cè)類型，把動點構(gòu)造在兩定點之間.這不僅使動點P要在直線L上，還要與兩個定點共線，且在兩定點之間. 這也體現(xiàn)了“兩點之間線段最短”的原理.

模型二：“飲馬問題”可拓展為“求定直線上一動點與直線外兩定點的距離之差的絕對值的最大值”問題.

如圖3所示：已知A、B在直線L同側(cè)（或異側(cè)），求在直線L上是否存在點P，使得PA-PB有最大值.

A、B在直線L同側(cè)時，點P為線段BA的延長線與直線L的交點；A、B在直線L異側(cè)時，點P為線段B′A的延長線與直線L的交點（B′是點B關(guān)于直線L的對稱點）.

做法：利用軸對稱變換，把異側(cè)類型轉(zhuǎn)化為同側(cè)類型，把動點構(gòu)造在兩定點的延長線上，使得點P不僅在直線L上，還在兩定點連線段的延長線上，同樣是三點共線.

以上兩種飲馬問題模型，實際上利用了三角形三邊關(guān)系（兩邊之和大于第三邊；兩邊之差小于第三邊）進行探索推理論證.

從數(shù)學文化背景中形成的數(shù)學問題并不只是具體問題，數(shù)學所探討的不是轉(zhuǎn)瞬即逝的知識，而是某種永恒不變的東西. 我們要會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界；會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界；會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.