狄理磊

[摘 要] 發(fā)展學生數學核心素養(yǎng)已成為數學教學的一個重要目標，而起始課又影響著學生對本章的認識與學習的熱情，如何在起始課中滲透數學核心素養(yǎng)培養(yǎng)將對整章的后續(xù)發(fā)展起著重要的作用. 筆者在《數列的概念與簡單表示法》的教學實踐基礎上對此進行了若干思考以求教于同仁.

[關鍵詞] 核心素養(yǎng)；數列；起始課

問題的提出

核心素養(yǎng)已經成為當今教育領域的一個熱門話題，那么什么是核心素養(yǎng)？《中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)》中指出：“核心素養(yǎng)是指學生接受相應學段的教育過程中，逐步形成的適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關鍵能力……”它的獲得是后天的、可教可學的. 那數學核心素養(yǎng)又是什么？王尚志教授在解讀核心素養(yǎng)的報告中提到：“高中數學要發(fā)展學生的數據分析、數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象等核心素養(yǎng)，學會用數學眼光觀察世界，用數學思維分析世界，用數學語言表達世界.”

而教材每個章節(jié)的起始課又影響著學生對本章的認識與學習的熱情，如何在起始課中滲透數學核心素養(yǎng)培養(yǎng)將對整章的后續(xù)發(fā)展起著重要的作用.筆者在一師一優(yōu)課中剛好上了一節(jié)《數列的概念與簡單表示法》，在備課與上課的過程中產生了幾點認識，以求教于同仁.

實踐片段摘錄

本課圍繞“為什么要研究數列？”“什么是數列？”“怎么研究？”這三個問題展開，摘錄幾個片段如下：

片段1：從生活所見中引出課題，激發(fā)學生的研究熱情

放映PPT（根據章前語中的內容搜集的與斐波那契數有關的樹與花，含背景音樂制作的PPT），約1分鐘.

師：在如此美麗的自然美景中，大家看到了什么？

生：樹、花、草地……

師（微笑）：你們看到了樹，我也看到了“數”. （板書《數列的概念與簡單表示法》這個課題的第一個字“數”）

學生先是一愣，然后會心地笑了.

師（指著PPT中的圖片）：這幾棵樹的分杈數都是由1枝分成2枝，再分成3枝，再分成5枝，再看看這些花的花瓣數.

生1：都是5瓣的.

師：不錯，那這些數的背后是否有著什么規(guī)律呢？這就是我們這一章將要接觸到的內容——數列.

師：數列不只是在自然界中有它的身影，在現實生活中也有著它的用處（從自然界研究與生活需要的角度回答為什么研究數列），今后我們將不斷地揭開它神秘的面紗，那么什么是數列呢？讓我們繼續(xù)用數學眼光來看下面兩個情境：

情境一：樹木的分枝有著一定的規(guī)律，圖1是一棵樹從小樹苗開始到大樹的分枝情況，我們從數學的角度來看，你看到了哪些數？（延續(xù)引入時的話題，得出斐波那契數列，既作為這節(jié)課的一個實例，也為下節(jié)課的遞推公式埋下伏筆）

情境二：認為“萬物皆數”的畢達哥拉斯學派很注意對數的研究，他們常用鵝卵石擺成的圖形來表達數，并把數分成三角形數、正方形數等，如圖2所示，這些圖形依次對應了哪些數呢？（除了引出數列，還作為本節(jié)課穿插數學史教學的一個載體）

學生很容易抽象出相應的數列（老師板書）：

1，1，2，3，5…

1，3，6，10，…

1，4，9，16，…

師：畢達哥拉斯學派是由畢達哥拉斯創(chuàng)立，他們認為數是宇宙萬物的本源，事物的性質是由某種數量關系決定的，他們最早研究了數與音樂的關系，我們熟悉的勾股定理、黃金分割、無理數都與他們有關，而無理數的發(fā)現又給了他們致命的一擊，從而引發(fā)了第一次數學危機，有興趣的同學可以在課外查找相關資料并閱讀. （介紹畢達哥拉斯學派時故意不說明他們的萬物皆數是指有理數，使學生在聽到給他們致命一擊時產生認知沖突，引起研究興趣，而音樂與數的關系以及為下面舉例時打下伏筆）

師（指著學生寫出來的數）：你能寫出它們接下去一項嗎？

生2：分別是8，15，25.

師：很好，我們再來看第一列數，我們預測出了它的后一項，也就是說我們預測了第六年的情況，如果我對調一下它們的位置，即1，1，2，5，3，你還能得到剛才的預測嗎？（PPT演示效果）

生：不能了.

師：那我們剛才的預測是依賴于這幾列數的——？

生：順序.

師板書定義，然后通過三個追問使學生加深對數列的理解. （過程略）

片段2：根據數列的定義，發(fā)現身邊的數列

師：現在我們已經知道了數列的定義，你能再舉一些與我們生活相關的數列嗎？

學生討論舉例了有關成績、身高、體重的例子.

師：大家的例子都很不錯，我再補充兩個，開始時的背景音樂《漫步神秘園》的第一句簡譜中對應的數是1，2，3， 2，1，2.（同時唱出）

學生表現得非常有興趣.

師：還有介紹畢達哥拉斯學派時提到的無理數，它雖然不是有理數，但我們可以用有理數來估算，其中一種方法就是用兩個數列來估算. （此時再補充教材中用于估算的兩列數，然后再利用得到的例子對數列進行分類，過程略）

片段3：通過研究數列本質，了解數列的研究方法

師：剛才有同學說數列的通項公式和函數解析式差不多，那么，數列是不是函數呢？請同學們對這個問題分組討論，然后你們再推薦一位同學代表發(fā)言.

全班共分成了6組，經過一番討論后各組都發(fā)表了觀點，整理如下：

組1觀點：數列是函數.他們從函數的定義分析，認為數列是符合函數定義的，可惜的是發(fā)言的同學表達得不太清晰，所以沒有影響到后面幾組同學的觀點.

組2觀點：數列不是函數.學生原意：“數列中的數可以重復，與函數定義中有且只有一個y與x對應有矛盾.”但她的話剛說完，就遭到其他組同學的反駁.

組3的觀點恰好是支持組2的.他們是從解析式角度說明，學生原意如下：“在剛才舉過的數列中，我們知道有些數列是沒有解析式的，而函數是有解析式的，所以數列不是函數.”

組4從圖像的角度說明數列是滿足函數定義的.

組5認為數列是定義域為正整數的函數.

組6認為是函數.發(fā)言的同學對組3的發(fā)言進行了反駁，學生原意：“雖然有些數列得不到通項公式，但可以在一定范圍內得到通項公式，可以是分段函數.”

之后筆者進行了總結，把學生表達不清的地方重新進行了修改，并引導學生從定義域、圖像、研究重點、函數模型這四個方面理解數列的函數性質，最后得出結論. 定義域：正整數集（或它的有限子集{1，2，…，n}）；圖像：一群孤立點；研究重點：以自變量從小到大的順序排列的函數值；函數模型：描述離散型問題的一類模型.

師：現在我們知道了數列是一種離散型的函數. 之前我們學習的各種函數都是連續(xù)型的，它們可作為描述生活中的一些連續(xù)型問題的模型，而數列可以作為離散型的模型，這樣就使我們用數學描述生活問題的模型更加完善. （進一步回答了為什么要研究數列）

師：既然數列是函數，那么今后我們就可以用研究函數的方法來研究數列；同時它又有著“離散”的特殊性，今后我們還能體會到數列區(qū)別于連續(xù)函數的研究方法. （回答怎樣研究）

基于核心養(yǎng)的反思

1. 研究好章頭語，引領整章教學

各版教材都有章頭語與章頭圖，它來源于現實生活，回答了研究該章節(jié)的實際意義，介紹了本章的內容結構，反映了這一章內容的本質.用好章頭語可以在一定程度上使數學成為一門具有生活韻味的學科，使學生知道“為什么要學”，初步了解本章結構，并體驗從實際生活中抽象出數學內容的抽象過程.

筆者對章頭語的處理分兩個部分，一部分是把數列章頭語中“大自然是懂數學的”這部分設計為章節(jié)引入，以回答“為什么要學”，同時激發(fā)學生學習興趣，通過“樹”與“數”諧音的巧合引導學生用數學的眼光看世界；另一部分是把關于數列的本質放在概念得出之后進行討論研究.

對此筆者對章頭語的使用有一個想法，就是章頭語的應用可分為明暗兩線，明線是指對生活實際部分，即回答“為什么要學”這一部分的處理. 這部分素材、內容可加工成課堂導入，在讓學生了解“為什么要學”的同時激發(fā)學生的學習興趣，同時又可滲透數學抽象這一數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)；暗線是指關于本章結構與本質的內容的處理，根據各章特點不一定在啟始課中呈現給學生，但研究好它，把它貫穿整章教學，將有助于我們教師在教學中抓住章節(jié)本質，把握教學方向.

2. 密切聯系生活，擦亮數學之眼

數學是一門很有價值的學科，而為什么我們學生甚至很多教師都覺得數學沒有用呢？主要是我們沒有培養(yǎng)好學生的數學眼光. 著名的哥尼斯堡七橋問題，歐拉以敏銳的、眼光強烈的數學意識以及高度的抽象能力，把它轉化為“一筆畫”問題；重慶師范大學黃翔教授曾用統計的方法對《義勇軍進行曲》的節(jié)拍進行分析，解釋了國歌為什么能讓人如此慷慨激昂. 他們都有很好的數學眼光，很高的數學素養(yǎng)，令人羨慕不已.

“學會用數學眼光觀察世界”是數學課程的最終目標之一，它是后兩個目標“用數學思維分析世界，用數學語言表達世界”的基礎，而實現這一目標就需要在平時課堂上結合生活實際，通過提問、點撥、創(chuàng)設情境等方式引導學生去發(fā)現，去擦亮他們的數學之眼.

本節(jié)課中筆者嘗試通過章節(jié)引入、創(chuàng)設情境、學生討論舉出身邊的數列等環(huán)節(jié)讓學生體會數學來源于生活，是可親近的；又通過補充舉例學生沒有意識到的例子，如音樂中的數列，到最后講解教材例1的兩個擺動數列通項問題時提到了它們對應的物理意義（有阻尼振動與無阻尼振動），使學生產生了一種數學無處不在的感覺，有助于啟發(fā)學生用數學的眼光去看世界.

通過這個嘗試，筆者認為如果今后在備課中認真研究教材，發(fā)掘教材中蘊含的與生活相關的內容，然后融合到課堂教學中，慢慢滲透到學生的思想中，是否能夠幫助學生形成用數學眼光去看世界的意識？

3. 開展交流討論，培養(yǎng)數學表達

王尚志教授在解讀核心素養(yǎng)的報告中提到，每個數學核心素養(yǎng)水平的闡述，都會涉及思維與表達、交流與反思.筆者的理解是，學生要表達自己對某個問題的想法，需要對問題進行數學抽象、直觀想象、邏輯推理等處理，而在聽取他人的表達時又需要理解別人的表達并進行分析. 根據布魯姆認知目標分類的七個層次“知道——領會——應用——分析——綜合——評價”，學生在交流過程中，思維層次可以上升到后三個層次，所以這個過程可以很好地反映出學生的數學素養(yǎng)，同時也可以讓學生的數學素養(yǎng)得到培養(yǎng)與提高.

本節(jié)課的難點在于數列的函數本質，所以這是一個要花時間的地方. 為了讓學生更好地理解這一本質，筆者在這一環(huán)節(jié)開展了分組討論，通過學生的發(fā)言，既可以暴露出學生存在的問題（例如語言表達不清晰、函數概念掌握上存在偏差），又可以展現想法上的一些亮點（如從圖像上進行對比）. 在學生充分表達后，教師對學生的發(fā)言進行總結，對存在問題的地方進行修正，對好的發(fā)言進行肯定. 這樣學生在掌握知識的同時數學素養(yǎng)又可以得到培養(yǎng).

在起始課中根據教材實際，對重點知識或者難點知識開展討論，既可使學生理解、掌握這些知識，又能讓學生的核心素養(yǎng)得到培養(yǎng).

4. 適時聊數學史，了解數學發(fā)展

古語云：“以史為鑒，可以知興替.”而數學史同樣有著“鏡子”的作用. 陳省身先生在為李文林先生的《數學史概論》題詞中寫道：“了解歷史的變化是了解這門科學的一個步驟.”學生通過了解數學史可以激發(fā)學習興趣，體驗數學的魅力，學習數學家的精神，了解所學知識的來龍去脈，有助于從更高的角度理解所學的知識. 數學史還為學生提供了領會數學思想的臺階，因此，數學史的學習對于學生的數學素養(yǎng)的發(fā)展有著積極作用.

問題是教學內容的多與教學時間的少，以至于我們常常忽視了數學史的教學，就像本節(jié)課中涉及的畢達哥拉斯學派，這本是學生在初中就應了解的知識，但到了高中仍是知之甚少（通過課前了解，大多學生只知道畢達哥拉斯定理，而不清楚該學派及第一次數學危機）. 筆者以為是否可以根據每節(jié)課的實際情況，或是通過課堂介紹與課后作業(yè)相結合，或是把實例在堂上進行分析討論等方法進行數學史教學. 本節(jié)課是利用教材的情境，適時介紹畢達哥拉斯學派及第一次數學危機，但并沒有鋪開講，用了留懸念的方式，引起學生的興趣，產生動力后通過作業(yè)的形式讓學生進一步去了解.