【摘 要】通過對均勻圓臺(tái)體重心公式探尋歷程的回顧，描摩了探索情況下的心理狀態(tài)，勾勒出思維由混沌走向清晰的思想軌跡。

【關(guān)鍵詞】均勻圓臺(tái)體；重心公式；發(fā)現(xiàn)； 思想

【中圖分類號】G632.0 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】B 【文章編號】1671-8437（2018）04-0010-02

這是一個(gè)研究的案例，也是一段探索的歷史。

2002年春天，我在翻閱物理教學(xué)資料時(shí)，看到有文章對“圓臺(tái)體形狀的密封容器中盛有液體，將容器倒置后分析液體對底面的壓力、壓強(qiáng)的變化以及壓力與液體重力的比較”類問題的處理時(shí)，介紹了“割補(bǔ)法”——過圓臺(tái)體母線的中點(diǎn)作垂直于兩底的垂面，這垂面與兩底面間圍成一圓柱，得出“此圓柱的體積與圓臺(tái)體的體積相等”的結(jié)論，并畫出了割補(bǔ)操作中過中軸線的縱剖面圖。直覺告訴我：這個(gè)結(jié)論有問題——面積割補(bǔ)不等于體積割補(bǔ)，從平面到立體一定是有差異的！

這就是我對圓臺(tái)體問題進(jìn)行思考的發(fā)端。

研究均勻圓臺(tái)體的重心位置，緣于對如圖所示類型題目的定量分析。圓臺(tái)體是正圓錐體和圓柱體的一般形式：令“小頭”一端的半徑收縮為一點(diǎn)，則圓臺(tái)體演變?yōu)檎龍A錐體；使“小頭”的半徑擴(kuò)大到與“大頭”半徑相等時(shí)，則圓臺(tái)體演變?yōu)閳A柱體。若能找到它的重心公式，這個(gè)公式應(yīng)包括后二者[1]。

它很好地滿足了圓錐體和圓柱體的重心位置，這是一個(gè)令人欣喜和振奮的結(jié)果！

隨后，開始檢驗(yàn)這個(gè)關(guān)系式的可靠性：令R一定讓r逐步變大，其重心位置漸漸移向半徑為r的那端，當(dāng)r=3R和4R時(shí)，由上述關(guān)系式得到的hc分別是h和的荒謬結(jié)果！這說明，它還不是我們要找尋的那個(gè)公式，真正的重心公式與之相比，還應(yīng)該有更精細(xì)的結(jié)構(gòu)！于是，一切從頭再來。

那一段時(shí)間，食不知味，睡而無眠，魂不守舍，床頭上放著的一摞演草紙上畫滿了各種圖形，寫滿了若干符號和演算式子，腦子里成天都是圓臺(tái)體在打轉(zhuǎn)，思緒呈現(xiàn)出混沌的非理性：有關(guān)的或無關(guān)的因素或明或暗、或近或遠(yuǎn)、或松或緊、相互交織、相互糾纏……我被這樣的思緒緊緊地攫住，有一種令人窒息的興奮！其思維情狀，既像瞎子探路，又似盲人摸象，卻始終不得要領(lǐng)。

我首先全面審視了整個(gè)問題，把思路重新梳理了一遍，我的思想漸漸明朗起來：我們研究的是圓臺(tái)體的重心位置，已知的是正圓錐體的重心位置，而一個(gè)圓臺(tái)體正好可看作是從一個(gè)正圓錐體上以垂直于軸線的方向所切得的部分。既如此，我們可給一個(gè)圓臺(tái)體 “補(bǔ)上”一個(gè)小圓錐體，使之“還原”為一個(gè)“完整的”大圓錐體，使用上文討論時(shí)所用的符號，易得此大圓錐體的高為，

其重心O距底面的距離。現(xiàn)將此大圓錐體

“橫躺”放置，假設(shè)用細(xì)線過重心O將其懸掛并使軸線水平（如圖所示），此軸線形同一水平懸掛的輕質(zhì)杠桿，保持其平衡的二力分別為我們所研究的那圓臺(tái)體的重力和“補(bǔ)上”的那個(gè)小圓錐體的重力；設(shè)圓臺(tái)體的重心C距底面的距離為hc，用杠桿平衡條件列式，再將上面的一系列關(guān)系式代入。這是一個(gè)較為繁復(fù)的式子，恰好我的妻子是一位中學(xué)數(shù)學(xué)教師，在化簡此式求得結(jié)果的過程中給了我必要的幫助，于是我們求得。

為了謹(jǐn)慎起見，我們又用高等數(shù)學(xué)中求旋轉(zhuǎn)體重心（質(zhì)心）的定義式，用定積分的辦法重新解算而得到了相同的結(jié)果。這時(shí)，我們才確信：我們終于找到了均勻圓臺(tái)體重心位置的制約因素，并確定了這些因素間的數(shù)量組合關(guān)系——均勻圓臺(tái)體重心公式！

我們將此項(xiàng)研究整理成文，大約于2002年7月份聯(lián)署寄給了《數(shù)理天地（高中版）》雜志社，很快收到時(shí)任該刊物理版編輯楊金龍老師的稿件采用回信，并安排在該刊2003年第1期發(fā)表，當(dāng)我們拿到還散發(fā)著墨香的該期雜志以及收到50元稿酬的匯款單時(shí)，已是2003年1月下旬了。

許多事情，在沒弄明白之前總感“山重水復(fù)”，在豁然開朗之后頓覺“柳暗花明”。在此公式發(fā)表十五周年之際，寫下一個(gè)探索者在“山重水復(fù)”階段苦苦尋覓的萬般情狀，既是對那段經(jīng)歷的一個(gè)回顧，也期望在探索未知問題過程中自己所經(jīng)歷的那些曲折迂回，能對處于研究狀態(tài)的人們有所啟迪。

【參考文獻(xiàn)】

[1]黃天君，杜小梅.均勻圓臺(tái)體的重心公式[J].數(shù)理天地（高中版），2003（1）.