具有可選服務(wù)和負(fù)顧客的M/G/1/N可修排隊系統(tǒng)

高顯彩，單雪紅

(宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 宿州 234000)

0 引言

許多學(xué)者都對負(fù)顧客排隊模型都作了大量研究[1]-[4].文[5]研究了帶負(fù)顧客的M/G/1重試可修排隊系統(tǒng)，文[6]研究了具有優(yōu)先權(quán)的M/G/1重試可修排隊系統(tǒng)，文[7]研究了有可選到達(dá)、服務(wù)臺可修的M/G/1重試可修排隊系統(tǒng).本文在此基礎(chǔ)上研究具有可選服務(wù)和負(fù)顧客的M/G/1/N可修排隊系統(tǒng)，利用補(bǔ)充變量法和狀態(tài)轉(zhuǎn)移分析模型,得到了瞬態(tài)隊長分布及穩(wěn)態(tài)隊長分布的相關(guān)排隊指標(biāo).

1 模型描述

(2)系統(tǒng)容量有限.若N個服務(wù)臺全部工作時，則剛到的正顧客就會離去；若有空閑的服務(wù)臺，則剛到的正顧客進(jìn)入系統(tǒng)等待服務(wù).如果服務(wù)臺發(fā)生故障，需修理，顧客或等待服務(wù)臺修理好后繼續(xù)接受服務(wù)，或自動離開，服務(wù)臺修好后正常工作.

2 系統(tǒng)狀態(tài)及其概率定義

設(shè)N(t)為t時刻系統(tǒng)中的正顧客數(shù)， {N(t)|t≥0}不是Markov過程.引入補(bǔ)充變量X1,2(t)，表示正顧客在t時刻已接受的必選服務(wù)和可選服務(wù)的時間.

則{N(t),S(t),I(t),X1,2(t)|t≥0}是馬爾可夫過程.

定義P(k,j,i,t)=P{N(t)=k,S(t)=j,I(t)=i}(k=0,1,2,…N;j=0,1,2;i=0,1)

P(k,j,i,x,t)dx=P{N(t)=k,S(t)=j,I(t)=i,x

3 建立模型方程與求解

初始條件：假定開始時系統(tǒng)處于空閑狀態(tài)，且有P(0,0,1,0)=1

通過分析得偏微分方程組：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

邊界條件：

(7)

(8)

(9)

(10)

對(1)～(10) 式取L變換并解方程組得到：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

定理1 瞬態(tài)隊長分布的L-Z變換

(20)

定理2 穩(wěn)態(tài)隊長分布的廣義概率母函數(shù)

(21)

證明：由L變換的終值定理和式(20)得：

4 結(jié)論

本文研究具有可選服務(wù)和負(fù)顧客的M/G/1/N可修排隊系統(tǒng)，利用補(bǔ)充變量法、狀態(tài)轉(zhuǎn)移分析法，得到了瞬態(tài)隊長分布的L-Z變換、穩(wěn)態(tài)隊長分布的概率母函數(shù).