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(1.安徽信息工程學(xué)院,安徽 蕪湖 241000;2.江蘇大學(xué),江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

現(xiàn)實生活中,休假期間也會有顧客到達,鑒于工作休假的研究[1，2],在休假期內(nèi)引入備用服務(wù)臺上崗工作,會更好地兼顧系統(tǒng)服務(wù)及休假期內(nèi)設(shè)置輔助工作兩者的效益.馬金旺,胡彬等[3，4]將備用服務(wù)臺引入單服務(wù)臺休假排隊系統(tǒng)中,具有很好的實際效果.而服務(wù)臺同步休假[5，6]要求所有服務(wù)臺需在空閑一定數(shù)量的條件下同步進入休假,從而造成資源的浪費,故異步休假[7，8]更適合實際應(yīng)用.基于此,提出了具有兩個備用服務(wù)臺的異步限制休假排隊.

1 具有兩個備用服務(wù)臺的異步限制休假排隊

1.1 模型描述

1) 顧客到達均為泊松到達,到達率為λ,服務(wù)機制為FCFS.

2) 系統(tǒng)設(shè)有5個標(biāo)準(zhǔn)服務(wù)臺和2個備用服務(wù)臺.服務(wù)時間均服從負指數(shù)分布,服務(wù)率分別為u1和u2,u2

3) 標(biāo)準(zhǔn)服務(wù)臺完成某項服務(wù),若遇系統(tǒng)中有顧客等待,則繼續(xù)為下個顧客服務(wù);若遇系統(tǒng)中無顧客等待,可能出現(xiàn)兩種情形:

i.系統(tǒng)中處于休假的標(biāo)準(zhǔn)服務(wù)臺數(shù)小于2 h,該標(biāo)準(zhǔn)服務(wù)臺休假,由一個備用服務(wù)臺替換工作.

ii.系統(tǒng)中處于休假的標(biāo)準(zhǔn)服務(wù)臺達到2 h,該標(biāo)準(zhǔn)服務(wù)臺不能休假進入空閑狀態(tài).

4) 若一個標(biāo)準(zhǔn)服務(wù)臺結(jié)束休假時系統(tǒng)無顧客等待,就開始另一次獨立同分布的休假,若系統(tǒng)有顧客等待則休假結(jié)束,若此時系統(tǒng)中有顧客正被備用服務(wù)臺服務(wù),則備用服務(wù)臺立刻中止服務(wù)且已服務(wù)的時間無效,標(biāo)準(zhǔn)服務(wù)臺對該顧客重新開始服務(wù),備用服務(wù)臺轉(zhuǎn)為備用.

5) 標(biāo)準(zhǔn)服務(wù)臺休假時間V服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布,備用服務(wù)臺不休假.

以上隨機變量均相互獨立.

Lv(t)表示時刻t系統(tǒng)內(nèi)顧客數(shù),J(t)表示時刻t正在休假的標(biāo)準(zhǔn)服務(wù)臺數(shù)(即工作的備用服務(wù)臺數(shù)).{Lv(t),J(t)}是一個QBD(擬生滅過程),有狀態(tài)空間

Ω={(k,2):0≤k≤3}∪{(4,j):2≥j≥1}∪{(k,j):k≥5,0≤j≤2}

J(t)=0表示所有的服務(wù)臺都是標(biāo)準(zhǔn)服務(wù)臺,J(t)=2表示2個備用服務(wù)臺全在工作.

系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況如圖1所示.

圖1 模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

將狀態(tài)按字典排序,過程的無窮小生成元可寫成以下三對角分塊矩陣的形式

其中A0=-λ,A1=-(λ+u1),A2=-(λ+2u1),A3=-(λ+3u1),

1.2 率陣R

引理1 代數(shù)方程

[(3+k)u1+(2-k)u2]z2-[λ+(3+k)u1+(2-k)u2+(2-k)θ]z+λ=0,0≤k≤2

(1)

證明:采用文獻[9]的方法,設(shè)a=(3+k)u1+(2-k)u2,b=(2-k)θ,

由于方程根的判別式

Δ=(λ+a+b)2-4aλ=(λ-a)2+2λb+2ab+b2>0

當(dāng)k=2時,5u1z2-(λ+5u1)z+λ=0,可得r22=λ(5u1)-1=ρ<1,r22*=1.

定理1ρ=λ(5u1)-1<1時,矩陣方程R2B+RA+C=0

(2)

有最小非負解

(3)

其中r00,r11,r22=ρ是方程(1)在(0,1)內(nèi)的根.

證明:將A,B,C,R代入(2)式,整理后可得

{(3u1+2u2)r002-(λ+3u1+2u2+2θ)r00+λ=0

(4u1+u2)(r00r01+r01r11)+2θr00-(λ+4u1+u2+θ)r01=0

5u1(r00r02+r01r12+r02r22)+θr01-(λ+5u1)r02=0

(4u1+u2)r112-(λ+4u1+u2+θ)r11+λ=0

5u1(r11r12+r12r22)+θr11-(λ+5u1)r12=0

5u1r222-(λ+5u1)r22+λ=0

(4)

從而定理得證.

1.3 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性指標(biāo)

當(dāng)ρ<1時,(Lv,J)表示過程(Lv(t),J(t))的穩(wěn)態(tài)極限.記

定理2 當(dāng)ρ<1時,(Lv,J)的分布可表為:

(5)

其中β0,…,β5是方程組(π02,π12,π22,π32,(π42,π41),(π52,π51,π50))B[R]=0的正解,常數(shù)因子可表為:

證明:先求B[R]及正左不變向量(π02,π12,π22,π32,(π42,π41),(π52,π51,π50)),

代入方程組可

1.4 條件隨機分解結(jié)果

典無休假M/M/5的等待顧客數(shù),附加隊長Qd有PGF(概率母函數(shù))

常數(shù)σ可表示為:σ=β50+δ(I-H)-1ξ.

證明:將R和β5的分塊表示代入πk=Kβ5Rk-5,k≥5,可得:

于是,條件隨機變量Qv(5)的分布可表示為:

(6)

對(6)取PDF,我們有

定理4ρ<1時,對條件等待時間Wv(5)可隨機分解為Wv(5)=W0(5)+Wd,其中W0(5)對應(yīng)經(jīng)

典無休假M/M/5的條件等待時間,附加延遲Wd有LST:

于是Wv(5)的LST可計算如下:

由定理3和定理4的隨機分解結(jié)果,可給出下列均值公式:

取λ=0.7,θ=0.3,u1分別為0.5,0.6,0.7,得到平均附加隊長和平均附加延遲隨備用服務(wù)臺的服務(wù)率的變化情況圖2與圖3所示.

圖2 平均附加隊長隨備用服務(wù)員服務(wù)率的變化

圖3 平均附加延遲隨備用服務(wù)員服務(wù)率的變化

2 結(jié)束語

在5個服務(wù)臺異步休假排隊系統(tǒng)的基礎(chǔ)上引入2個備用服務(wù)臺,利用擬生滅過程和矩陣幾何解得方法給出了在服務(wù)臺全忙條件下隊長和等待時間的條件隨機分解,以及忙期的概率,平均附加隊長的母函數(shù)和附加延遲的LST,并通過MATLAB刻畫出備用服務(wù)率以及休假策略對系統(tǒng)的影響,為實際中出現(xiàn)此類模型的研究提供了理論依據(jù).