喬永鳳，王 凱

(山西工程技術(shù)學(xué)院，山西 陽泉 045000)

0 引言

控制系統(tǒng)在設(shè)計過程中，為改善系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，往往要加入校正環(huán)節(jié)。校正就是給系統(tǒng)附加一些具有某種典型環(huán)節(jié)特性的部件，通過對校正環(huán)節(jié)參數(shù)的正確選擇，有效地改善整個系統(tǒng)的控制性能，達(dá)到所要求的指標(biāo)[1,2]，其實質(zhì)均表現(xiàn)為修改描述系統(tǒng)運(yùn)動規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。因此對控制系統(tǒng)校正環(huán)節(jié)的優(yōu)化設(shè)計很重要。校正裝置的設(shè)計過程是一個多次試探的過程并帶有許多經(jīng)驗，而Matlab工具箱RLtool為控制系統(tǒng)校正設(shè)計提供了強(qiáng)有力的輔助手段。

1 控制系統(tǒng)性能指標(biāo)[1-7]

控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)是根據(jù)客戶要求或系統(tǒng)設(shè)計者指定的，按其類型可以分為時域性能指標(biāo)和頻域性能指標(biāo)。不同的性能指標(biāo)其校正方法也不同，對時域性能指標(biāo)而言，通常采用根軌跡校正法。

2 用根軌跡進(jìn)行校正設(shè)計[8-13]

常用的控制系統(tǒng)的校正方式是串聯(lián)校正和并聯(lián)校正。在控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能取決于系統(tǒng)閉環(huán)極點的位置，在根軌跡圖中，可以直觀的了解當(dāng)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變化到無窮大時，閉環(huán)極點的走向及位置，也就是說開環(huán)零極點的分布決定了閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的形狀和走向，所以可以通過添加或改變開環(huán)零極點的分布使根軌跡形狀發(fā)生改變，從而達(dá)到改善系統(tǒng)性能的目的。

3 RLtool校正設(shè)計

設(shè)計步驟：

1) 首先根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在Matlab命令窗口中敲入以下代碼：

G=tf(1,conv([1,0],conv([1,1],[1,2])))

%系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

rltool

%調(diào)入RLtool組件

2) 在RLtool界面導(dǎo)入G，可以看到校正前系統(tǒng)的根軌跡，如圖1所示。

圖1 校正前系統(tǒng)的根軌跡

打開Analysis菜單下Response to Step Command，調(diào)用LTI Viewer界面，查看單位階躍響應(yīng)曲線。如圖2所示。

圖2 校正前系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

3)在根軌跡圖形窗口右擊，選取Design Requirements下拉菜單中new，通過Design requirement type設(shè)置條件范圍，圖中由兩條射線(等ζ線)和橢圓(等wn線)包圍的陰影區(qū)域即是在系統(tǒng)性能指標(biāo)范圍內(nèi)閉環(huán)主導(dǎo)極點的選取范圍，由圖3可見，系統(tǒng)根軌跡和等ζ線及等線相交與一點，此點即為系統(tǒng)的閉環(huán)極點。

調(diào)用RLtool，打開view，查看 Close-Loop Poles，在ζ=0.5時系統(tǒng)閉環(huán)主導(dǎo)極點如圖4所示。

和上面數(shù)學(xué)計算出的閉環(huán)主導(dǎo)極點一致，可知系統(tǒng)動態(tài)性能滿足指標(biāo)要求。

圖3 設(shè)置條件后的根軌跡

圖4 校正前系統(tǒng)的閉環(huán)極點

4) 求系統(tǒng)在期望極點上的增益，由幅值條件知：

將要求的靜態(tài)誤差系統(tǒng)與未校正系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)進(jìn)行比較；得出滯后校正裝置的β值。

校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

校正后系統(tǒng)的根軌跡如圖5所示。

圖5 校正后系統(tǒng)的根軌跡

校正后的主導(dǎo)極點在ζ不變的情況下，由view查看 Close-Loop Poles，得：

s1,2=0.29±j0.502.

另一個極點為0.124，和閉環(huán)零點靠得很近，形成一對偶極子。

圖6 校正后系統(tǒng)的閉環(huán)極點

此時，無阻尼自然震蕩頻率為：

wn=0.58 rad/s.

小于原來的無阻尼自然震蕩頻率，阻尼系數(shù)不變，調(diào)節(jié)時間變大。

校正后系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)為kv=4.9，略小于5。

如果上述誤差在工程設(shè)計允許范圍內(nèi)，設(shè)計就是合理的，否則要重新選擇主導(dǎo)極點的位置[4]。

校正后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖7所示。

5 結(jié)論

在用Rltool對控制系統(tǒng)校正過程中，首先設(shè)定使系統(tǒng)性能滿意的主導(dǎo)極點的取值范圍，然后在此范圍內(nèi)添加合適的零、極點，并在LTI中查看閉環(huán)輸出響應(yīng)曲線。如果滿意，則根據(jù)主導(dǎo)極點和性能指標(biāo)得出校正環(huán)節(jié)的設(shè)計結(jié)果。因而控制系統(tǒng)的校正設(shè)計在Matlab工具箱RLtool中變得簡便而有效。

圖7 校正后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)