郭輝, 佟瑞庭, 劉更, 張文杰, 馬尚君

(陜西省機電傳動與控制工程實驗室(西北工業(yè)大學), 陜西 西安 710072)

行星滾柱絲杠副(planetary roller screw mechanism,PRSM)是一種可以將旋轉運動和直線運動相互轉換的機械傳動裝置。PRSM具有高速度、大推力和長壽命等優(yōu)點，廣泛應用于深海探測[1]、航空航天[2]、醫(yī)療設備[3]和高精密機床[4]等領域。PRSM工作時主要通過滾柱、絲杠和螺母之間的螺紋牙嚙合進行運動和動力的傳遞，滾柱的兩螺紋牙工作面承受交變載荷，尤其是在螺紋牙承載較大的情況下，更容易引起滾柱螺紋牙的疲勞破壞從而降低PRSM的使用壽命。

目前，國內外對PRSM的理論研究已經有較多的研究成果，但主要集中于運動學分析、接觸特性、傳動效率和摩擦力矩等方面，對PRSM螺紋牙載荷分布以及如何使各螺紋牙承載分布更均勻的相關研究還不夠深入。楊家軍等[5]分別計算了PRSM中的3種變形即Hertz接觸變形、軸段變形和螺紋牙變形，建立了滾柱螺紋牙的載荷分布，并且得到了PRSM軸向靜剛度。Jan等[6]將PRSM滾動體等效為受剪應力的矩形單元，建立了PRSM載荷分布計算模型，并與有限元結果進行對比。Jones等[7]利用直接剛度法建立了PRSM的彈簧剛度模型，且通過直接剛度法計算了螺紋牙的載荷分布，進而求出其接觸應力，并分析了滾柱個數和螺紋牙個數分別對螺紋牙載荷分布的影響。張文杰等[8]綜合考慮了PRSM軸段剛度、螺紋牙剛度和接觸剛度以及安裝方式、受力狀態(tài)等因素，建立了PRSM載荷分布模型，并分析了安裝方式、受力狀態(tài)、結構參數和牙型參數等對PRSM螺紋牙載荷分布的影響。Lisowski[9]采用有限元法研究了PRSM滾柱與絲杠接觸應力、螺紋牙輪廓優(yōu)化以及絲杠與滾柱螺紋嚙合及相關幾何參數的問題。Abevi等[10]利用桿、梁和非線性彈簧建立了PRSM的載荷分布模型，并研究了滾柱彎曲變形對PRSM載荷分布的影響。張文杰等[11]從PRSM結構參數設計和螺紋精度設計方面展開研究，采用單因素方法研究了主要設計參數對載荷分布的影響規(guī)律，并得到了PRSM均載設計中設計參數優(yōu)化的方法。Zhdanova等[12]通過使用2個彈性接觸層的PRSM棒模型，求得PRSM螺紋牙載荷分布，并通過相關方程得出PRSM螺紋牙載荷分布與其幾何參數、零件材料、加工精度以及嚙合面間摩擦力之間的關系。上述文獻研究了PRSM螺紋牙載荷分布不均并得到其分布規(guī)律。然而，如何通過改變螺紋牙結構形狀，在滿足螺紋牙強度的同時使得PRSM具有較好的載荷分布特性，達到螺紋牙承載均勻的目的，鮮有文獻對其進行研究。本文考慮PRSM安裝方式以及受力狀態(tài)對載荷分布的影響，利用有限元方法對PRSM螺紋牙載荷分布進行分析，得到了螺紋牙載荷分布，并與文獻[8]中得到的解析結果進行對比，以驗證計算方法的正確性。在此基礎上，分析了PRSM中滾柱與絲杠和螺母接觸點變形關系，提出滾柱螺紋牙修形的方法，通過減小PRSM絲杠、滾柱和螺母的軸段變形，螺紋牙變形以及嚙合點Hertz接觸變形[8]的累積作用，從而使得PRSM螺紋牙承載均勻。在此基礎上，對修形后PRSM螺紋牙載荷分布進行有限元數值計算，結果表明該修形方法能夠明顯改善螺紋牙承載狀況，對提高PRSM的承載能力及使用壽命具有重要意義。

1 PRSM結構與載荷分布模型的建立

1.1 PRSM結構和安裝方式

常用的PRSM主要有2種，分別是標準式PRSM和反向式PRSM。本文主要以標準式PRSM為研究對象，即將絲杠的旋轉運動通過滾柱的自轉和公轉轉換為螺母的直線往復運動。標準式PRSM的結構如圖1所示，主要由滾柱A、絲杠B、螺母C、內齒圈D和保持架E等組成。

圖1 PRSM結構示意圖

根據PRSM螺母安裝方式的不同，可將安裝方式分為2類，即同側安裝和異側安裝。在同一種安裝方式下，由于螺母承受載荷方向的不同，PRSM有2種不同的受力狀態(tài)，如圖2所示。

圖2 PRSM不同安裝方式及受力狀態(tài)[8]

1.2 PRSM有限元模型

1.2.1 模型假設

由PRSM主要通過螺紋牙承載的特點，在建立PRSM有限元模型時，只考慮滾柱與絲杠和螺母螺紋嚙合部分。在計算過程中，根據PRSM結構及承載特點，在有限元模型中作如下簡化：1) 在有n個滾柱的PRSM中,每個滾柱承受載荷相同,因此,僅取整個PRSM結構的1/n;

2) PRSM中滾柱、絲杠以及螺母的材料各向同性。

1.2.2 網格劃分

選取如表1 所示的結構參數建立PRSM三維模型。材料選用GCr15,彈性模量212 GPa,泊松比μ為0.29,屈服極限為1 617 MPa。在PRSM有限元模型中,由于絲杠和滾柱螺紋的螺旋升角不同,因而絲杠側滾柱與絲杠接觸點的位置會偏離絲杠和滾柱軸線所在平面。螺母和滾柱螺紋的螺旋升角相同,所以螺母側滾柱與螺母接觸點的位置則位于螺母和滾柱軸線所在的平面內。因此,對有限元模型中螺母側和絲杠側接觸區(qū)域進行網格密化,如圖3所示。接觸區(qū)域采用八節(jié)點六面體非協(xié)調實體網格單元C3D8I,非接觸區(qū)簡化其網格模型以減少計算時間。

表1 PRSM主要結構參數

圖3 PRSM有限元模型

1.2.3 邊界條件

按照PRSM真實運動及受力狀態(tài),在對模型進行有限元分析計算過程中,需要對PRSM有限元前處理模型進行邊界條件的施加。由于本模型是多體接觸問題,因此為了提高其計算的收斂性,同時采用力邊界條件和位移邊界條件。位移邊界條件設置為絲杠和螺母的兩扇形面對稱約束,螺母和滾柱只保留軸向自由度,絲杠端面固定。力邊界條件為給螺母端面施加軸向載荷,本文所采用的PRSM(結構參數如表1),承載能力為5 t,滾柱數量為10個,因此,在螺母端面施加的載荷為5 000 N。

1.3 模型驗證

采用與文獻[8]相同的結構材料參數、安裝方式及受力狀態(tài),得到不同安裝方式下PRSM載荷分布的有限元解。定義絲杠側接近固定支撐端螺紋牙序號為1,滾柱與螺母螺紋牙序號按照相同的方向定義。PRSM有限元模型載荷分布的結果與文獻[8]進行對比,如圖4和圖5所示。

圖4 異側安裝絲杠受壓螺母受壓

圖5 同側安裝絲杠受壓螺母受拉

由圖4和圖5可以看出,在PRSM不同安裝方式及受力狀態(tài)下,絲杠側和螺母側有限元模型載荷分布結果與文獻[8]的解析解基本吻合,從而驗證了該PRSM有限元模型載荷分布結果的正確性。

2 滾柱螺紋牙修形設計

由1.3節(jié)的模型驗證結果可以看出,PRSM絲杠固定端和螺母承載側的螺紋牙承受載荷最大,滾柱與絲杠接觸側螺紋牙承受載荷隨螺紋牙序號的增加而逐漸減小。而滾柱與螺母接觸側螺紋牙承受的載荷在異側安裝時,隨螺紋牙序號的增加而逐漸減小;同側安裝時,隨螺紋牙序號的增加而逐漸增大。PRSM在高承載情況下工作,會造成滾柱承載側第1個螺紋牙產生較大的載荷和接觸應力,滾柱與絲杠和螺母螺紋牙承受載荷和接觸應力較大,在循環(huán)交變的載荷和接觸應力作用下,加速螺紋接觸表面的粘著磨損,同時加快接觸疲勞磨損,可能會引發(fā)最大承載螺紋牙的疲勞斷裂,嚴重縮短PRSM的使用壽命。

基于上述結果,本文提出一種PRSM滾柱螺紋牙修形的方法,使得滾柱與絲杠和螺母螺紋牙接觸時,各螺紋牙承受相同或相近的載荷。修形后滾柱能夠有效降低PRSM螺母側和絲杠側螺紋牙承受的最大載荷,降低摩擦,減小磨損,進而提高PRSM的使用壽命。

2.1 滾柱螺紋牙修形方法

2.1.1 修形原理

通常為了提高承載能力和降低摩擦,滾柱螺紋牙端面設計成圓弧面[13]。圖6為滾柱螺紋牙端面示意圖,修形過程中保證滾柱螺紋牙端面輪廓形狀不變,以圖6中螺紋牙端面對稱線為螺紋牙半牙厚變化的固定基準,絲杠側滾柱螺紋牙半牙厚從絲杠的自由端開始沿螺旋線方向線性減小。同理螺母側滾柱螺紋牙半牙厚從螺母的自由端開始沿螺旋線方向線性減小。滾柱螺紋牙半牙厚減小的最大值稱為最大修形量。

圖6 滾柱螺紋牙端面示意圖

圖7為修形前后PRSM螺紋牙軸向間隙變化示意圖,其中粗橫線表示滾柱、絲杠和螺母的軸段,豎線表示簡化的滾柱、絲杠和螺母的螺紋牙,細橫線表示在修形前后螺紋牙軸向間隙大小。可以看出滾柱螺紋牙修形前后PRSM螺紋牙軸向間隙發(fā)生了較大變化:螺母側從自由端到加載端螺紋牙間隙逐漸變大,絲杠側從自由端到固定端螺紋牙間隙逐漸變大。而滾柱螺紋牙修形方法的本質就是通過改變螺紋牙間的間隙,補償由于承載后變形累積,進而減緩PRSM螺紋牙承載分布不均。

圖7 滾柱螺紋牙修形前后軸向間隙變化示意圖

圖8為滾柱螺紋牙修形后PRSM承載示意圖,修形后的滾柱與絲杠和螺母接觸時能減少由于承載變形累積而引起的螺紋牙載荷分布不均勻,從而使得PRSM各螺紋牙承載均勻。

圖8 滾柱螺紋牙修形后PRSM承載示意圖

滾柱螺紋牙的修形是在已經完成加工的滾柱螺紋牙的基礎上,通過砂輪磨削進行滾柱螺紋牙修形的精加工。在整個滾柱螺紋牙修形的過程中,通過改變砂輪的進給速度,即由正常的勻速進給變?yōu)閯蚣铀龠M給。但是,滾柱與絲杠接觸側和滾柱與螺母接觸側承受的載荷方向不同,因而滾柱螺紋牙的修形過程中砂輪進給的方向也不同,且砂輪進給的速度也不相同。

在對滾柱螺紋牙的單側進行修形時,假設滾柱的螺距為P,共有n個螺紋牙,且其旋轉的角速度為ω,那么在已知最大修形量為Δx的情況下,可以推算出砂輪進給的速度和加速度,具體推導過程如下:

在每一個滾柱旋轉周期內,砂輪進給的位移為等差數列,則砂輪從螺紋牙1到n總共走過的軸向位移s為

(1)

經歷的總時間t總為

(2)

式中,T為滾柱旋轉的周期

(3)

(4)

加工標準螺紋時,軸向進給速度v0為

(5)

那么加工完最大修形量時進給的速度vt為

(6)

所以進給的加速度a為

(7)

進給的速度為:

(8)

2.1.2 最優(yōu)修形量分析方法

由于PRSM螺紋結構復雜,無法用解析方法對修形后PRSM螺紋牙承受的載荷進行準確的計算。因此,主要通過有限元方法計算得到PRSM修形后的螺紋牙載荷分布。本文在表1結構參數的基礎上對PRSM中滾柱螺紋牙進行修形,主要以圖2中的安裝方式c(異側安裝絲杠受壓螺母受壓)為例,建立裝配有修形后滾柱的PRSM的三維模型,在保證材料參數、邊界條件等前處理方法與模型驗證中的有限元模型完全相同的情況下,簡化PRSM接觸模型進行有限元分析計算。

由1.3節(jié)模型驗證的結果中可以提取出滾柱、絲杠和螺母承載后的累積變形量。在螺母端面承載5 000 N的情況下,提取得到絲杠、滾柱和螺母的累積變形量分別為0.012 97,0.012 41和0.008 1 mm。在對修形后PRSM載荷分布分析的基礎上,將滾柱的絲杠側和螺母側螺紋牙半牙厚的最大修形量定為0.002,0.004,0.006,0.008,0.010,0.012和0.014 mm,求得PRSM滾柱螺紋牙的載荷分布,利用統(tǒng)計學的方法得出在總承載5 t且沿螺旋線方向線性均勻修形時,PRSM中滾柱螺紋牙的最優(yōu)修形量。

(9)

式中,Fi為絲杠側或者螺母側各螺紋牙上的載荷,i的取值為1, 2, 3, …, 19, 20。

(10)

(11)

SF表示各螺紋牙載荷的均方差,表征各螺紋牙上的載荷偏離載荷平均值的程度,SF值越小說明各螺紋牙上的載荷越接近螺紋牙平均載荷。

2.2 修形結果分析

2.2.1 螺母側承載結果分析

圖9 螺母側螺紋牙軸向承載

圖9為滾柱修形量由0～0.014 mm變化的過程中螺母側螺紋牙軸向載荷隨螺紋牙序號的變化情況,可以看出隨著滾柱螺紋修形量的增加,螺母側螺紋牙承受載荷隨螺紋牙序號增加的整體趨勢由逐漸增加變?yōu)橄葴p小后增加最后變?yōu)橹饾u減少。

表2 螺母側螺紋載荷隨滾柱螺紋牙修形量的變化情況

2.2.2 絲杠側承載結果分析

圖10為滾柱修形量由0.002～0.014 mm變化的過程中絲杠側螺紋牙軸向載荷隨螺紋牙序號的變化情況,可以看出隨著滾柱螺紋牙修形量的增加,絲杠側螺紋牙承載隨螺紋牙序號變化趨勢由逐漸減小變?yōu)橄葴p小后增大。表3為絲杠側螺紋載荷參數隨滾柱螺紋牙修形量變化情況。

表3 絲杠側螺紋載荷隨滾柱螺紋牙修形量的變化情況

由表3可以看出,所列各修形量絲杠側各螺紋牙的平均載荷均為250.001 N。修形量為0.012 mm時,SF為17.500 2 N是所列各修形量SF值中的最小值,說明在修形量為0.012 mm時,各螺紋牙之間載荷波動最小。此時,螺紋牙承載的最大值為292.469 N,是所列各修形量螺紋牙承載最大值中的最小值,螺紋牙承載的最小值為230.752 N,是所列各修形量螺紋牙承載最小值中的最大值。因此,可以得出在所列的各修形量中絲杠側滾柱螺紋牙修形量為0.012 mm時各螺紋牙承載最均勻。

圖10 絲杠側螺紋牙軸向承載

從上述分析結果中可以看出絲杠側載荷分布不均現(xiàn)象比螺母側嚴重,絲杠側較螺母側分布更為不均主要是由于螺母的軸段剛度比絲杠側大,軸段剛度越大,在相同的載荷下變形累積越小,螺紋牙載荷分布越均勻。絲杠側和螺母側對滾柱螺紋的修形量的敏感程度不同,螺母側螺紋的承載較絲杠側更為敏感。因此,本文在得到螺母側和絲杠側滾柱螺紋的最優(yōu)修形量后,再將滾柱兩接觸側的修形量分別設置為最優(yōu)修形量,計算后得到最優(yōu)修形量的螺紋牙載荷分布。

2.3 滾柱螺紋牙最優(yōu)修形量分析

由2.2.1的分析可以看出,螺母側滾柱螺紋修形為0.004 mm和0.006 mm時,螺母側螺紋牙承載達到了較為均勻的狀態(tài),絲杠側滾柱螺紋修形量為0.012 mm時,絲杠側螺紋牙承載最均勻。因此,最終最優(yōu)修形量滾柱應為螺母側修形0.004 mm或者0.006 mm,絲杠側修形0.012 mm,對其進行建模并計算得到2種情況下PRSM滾柱螺紋牙的載荷分布。圖11和圖12分別為螺母側修形0.004 mm和絲杠側修形0.012 mm時,滾柱螺紋牙載荷分布以及螺母側修形0.006 mm和絲杠側修形0.012 mm時,滾柱螺紋牙載荷分布圖。

圖11 螺母側修形0.004 mm,絲杠側修形0.012 mm時滾柱螺紋牙載荷分布

圖12 螺母側修形0.006 mm,絲杠側修形0.012 mm時滾柱螺紋牙載荷分布

修形量/mm最大值/N最小值/NF/NSF/N0.004302.953235.419250.00216.400 5 0.006287.808237.294250.00213.482 6

對比圖11和圖12可以看出,修形后絲杠側和螺母側載荷分布都得到了優(yōu)化,由表4可以看出當螺母側修形量為0.006 mm時,SF值較修形量為0.004 mm時明顯減小,說明各螺紋牙載荷更接近于載荷平均值,即螺母側承載更加均勻,主要是因為絲杠側螺紋承載對螺母側螺紋牙的承載產生了一定的影響。因此,PRSM在異側安裝絲杠受壓螺母受壓的情況下,螺母側滾柱螺紋修形量為0.006 mm,絲杠側修形量為0.012 mm時,PRSM螺紋承載達到了最優(yōu),即各螺紋牙承載達到較為均勻的狀態(tài)。

3 結 論

本文對不同安裝方式下PRSM的螺紋載荷分布進行了有限元數值計算，并與解析結果進行對比，驗證了計算方法的正確性。通過研究PRSM各種變形，提出了一種滾柱螺紋牙的修形方法。以某種參數的PRSM為例，在考慮異側安裝絲杠受壓螺母受壓的情況下，對滾柱兩接觸側分別修形0.002,0.004,0.006,0.008,0.010,0.012以及0.014 mm后，計算了各種修形量情況下PRSM的載荷分布，研究了不同修形量對PRSM載荷分布的影響規(guī)律，得出以下結論：

1)絲杠側載荷分布不均現(xiàn)象較螺母側嚴重，主要由于螺母和絲杠的軸段剛度不同。絲杠的軸段剛度比螺母的軸段剛度小，軸段剛度小軸段變形累積越明顯，載荷分布越不均勻。螺母側螺紋承載和絲杠側螺紋承載對滾柱螺紋牙修形量的敏感程度不同，滾柱兩接觸側修形量為0.004 mm和0.006 mm時，螺母側螺紋牙的載荷分布達到了較為均勻的狀態(tài)；滾柱兩接觸側修形量為0.012 mm時，絲杠側螺紋牙的載荷分布達到了較為均勻的狀態(tài)。因此，螺母側螺紋承載較絲杠側螺紋承載對滾柱螺紋牙修形量更為敏感；

2)對滾柱兩接觸側修形量分別按照螺母側0.004 mm絲杠側0.012 mm以及螺母側0.006 mm絲杠側0.012 mm進行修形，并對修形后的PRSM載荷分布進行計算。結果發(fā)現(xiàn)螺母側修形量為0.006 mm絲杠側修形量為0.012 mm時，PRSM螺紋承載達到最優(yōu)狀態(tài)，說明這種均勻改變滾柱螺紋牙厚的滾柱螺紋牙的滾柱螺紋牙修形方法可以有效地改善PRSM螺紋承載狀況，可以為未來高承載PRSM的設計提供理論基礎；

3)對于不同型號參數以及不同承載狀況的PRSM，其滾柱兩接觸側(絲杠側和螺母側)的修形量不同，且(絲杠側或者螺母側)單側修形量也不相同。未來PRSM均載設計時，可以通過對滾柱兩接觸側修形量進行數值模擬，最后選出能夠適應多種型號參數以及承載能力的PRSM滾柱螺紋牙修形量，拓寬PRSM滾柱螺紋牙修形的應用范圍。