高速永磁同步電機轉子模態(tài)分析與實驗研究

丁鴻昌，鞏玉春，張述彪，亓航

(山東科技大學機械電子工程學院，山東青島 266590)

0 前言

高速永磁同步電機因功率密度高、體積小、效率高等優(yōu)點在許多領域得到廣泛應用[1]。采用表貼式轉子結構的高速永磁電機，通常在永磁體(PM)表面加裝高抗拉強度的非導磁護套來抵消永磁體產生的離心力，起保護作用[2]；而定位護套對強度要求不高，采用鋁合金材料。部件之間的多種配合方式和接觸行為等諸多因素使永磁同步電機轉子的模態(tài)分析復雜化，導致模態(tài)求解難度增加。

高速電機轉子模態(tài)分析是當前的研究熱點，文獻[3]中采用包含摩擦效應的接觸元件對熱裝的套筒與空心軸裝配體進行了動力學分析，使模態(tài)分析結果更接近實驗測量值。文獻[4-5]中考慮了永磁電機轉子裝配體各部件間的法向接觸剛度和摩擦力的影響，通過有限元仿真軟件得到的轉子固有頻率與測量值吻合良好。目前可查到的文獻中對于高速永磁同步電機轉子模態(tài)的研究主要集中在接觸特性對轉子模態(tài)的影響，而通過等效組件對轉子裝配體進行模態(tài)分析的研究很少。

為簡化建模和模態(tài)分析過程，對某高速永磁電機轉子的低階模態(tài)進行研究，利用等效質量和剛度的方法建立轉子的等效模型。通過ANSYS對該模型進行有限元模態(tài)分析，并通過LMS錘擊實驗對仿真結果進行驗證，以期為高速永磁同步電機轉子模態(tài)研究提供參考。

1 系統(tǒng)離散化與運動方程的建立

轉子在實際工作過程中會承受聯軸器傳輸的扭轉力矩、軸承支承力矩及負載對轉子產生的徑向沖擊力等多種邊界條件，但是這些復雜的邊界條件無法通過有限元軟件精確模擬。文中研究目的是驗證簡化建模方法的可靠性，所以不需要考慮支撐和約束條件，僅對轉子系統(tǒng)進行自由邊界條件下的模態(tài)分析[6]。

以某高速永磁電機轉子為例，轉子系統(tǒng)幾何模型如圖1所示，轉子各零部件的材料參數如表1所示。

圖1 轉子裝配體幾何模型

表1 轉子各零部件材料屬性

1.1 有限元法離散化

在轉子動力學中，有限元法主要是將轉子沿軸向離散為n個彈性軸段單元、n+1個節(jié)點，然后對有限個單元的連續(xù)系統(tǒng)求解，其中每節(jié)點4個自由度。系統(tǒng)離散的單元個數越多計算精度越高，但單元個數過多會耗費大量計算時間，應適當劃分單元數量。系統(tǒng)中第i-1至第i+1個節(jié)點之間的離散化單元如圖2所示。

圖2 離散化單元模型

1.2 系統(tǒng)運動方程的建立

通常有阻尼柔性轉子系統(tǒng)的運動方程可表示為

(1)

(2)

設系統(tǒng)作簡諧振動，u(t)=Xsin(ωt)，則式(2)可表示為

(K-Mω2)X=0

(3)

矩陣求解即轉化為特征值的求解問題，即

|K-Mω2|=0

(4)

其中:ω為系統(tǒng)固有角頻率，令f=ω/2π，f即為系統(tǒng)固有頻率;特征向量X為系統(tǒng)主振型。

文獻[8]中，通過能量法和插值函數法得出第i個單元的剛度矩陣為

(5)

其中:Ei、Ii、l分別為單元的彈性模量、截面慣性矩和長度。

2 轉子系統(tǒng)中轉子裝配體等效計算

根據機械振動理論中，系統(tǒng)固有頻率只與系統(tǒng)自身的質量和剛度有關的原則，若保證軸段的質量和剛度不變，僅改變軸段的幾何參數則不會影響系統(tǒng)的固有頻率。因此，可通過計算軸段等效質量和剛度，將轉子裝配體等效為實心轉子，進而進行有限元模態(tài)分析。轉子系統(tǒng)中各部件的關鍵幾何參數如表2所示。

表2 轉子系統(tǒng)中各部件的幾何參數 單位:mm

2.1 模型簡化原理及幾何參數計算

模型簡化原理是通過計算軸段的總質量(等效質量)，得到軸段的等效直徑[9]。其中，每個軸段的質量和長度為常數，由于裝配軸段的剛度不能被精確計算，等效軸段的材料參數被視為變量。以長度為lz、安裝有定位護套的裝配軸段為例，其等效原理如圖3所示。

圖3 配合軸段的等效原理

由圖3可以看出：軸段總質量是軸段上部件的質量與軸質量的和，ds是轉子實心軸的直徑，dh為定位護套的外徑，de是軸段的等效直徑。軸段總質量，即等效實心軸段的質量me可表示為

me=m+m′

(6)

式中：m、m′分別為軸和定位護套的質量。m和m′可表示為

(7)

其中:ρh為定位護套的材料密度。等效實心軸段的密度ρe與軸的密度ρs相等，式(6)可寫為

(de/2)2πρslz=m′+(ds/2)2πρslz

(8)

通過上式，等效軸段的直徑de可表示為

(9)

對于由永磁體護套、永磁體、軸組成的軸段，取永磁體和永磁體護套的質量相加作為m′，進行等效計算可得到等效軸段的直徑。

代入表3的數據進行數值計算，裝有定位護套的軸段等效直徑de1為41.4 mm、裝有永磁體的軸段等效直徑de2為49.6 mm，等效實心轉子的幾何模型如圖4所示。

圖4 等效實心轉子幾何模型

2.2 材料參數的確定

由公式(5)可知，單位長度的軸段抗彎剛度K與軸的截面慣性矩I和材料彈性模量E有關，但各部件之間存在多種影響因素，裝配軸段的剛度EI不能被精確計算[10]。由于等效前后軸段的剛度相等，在某集中載荷下，懸臂梁的撓度與剛度的關系可表示為

(10)

其中：ymax為懸臂梁自由端在集中載荷Q下的最大靜撓度；Ee和Ie分別為等效軸段的彈性模量和截面慣性矩；l為軸段長度。根據式(10)，可通過有限元分析集中載荷下懸臂軸段的最大撓度，進而推出等效軸段的剛度EeIe。由于每個等效軸段的等效直徑已知，等效軸段的截面慣性矩Ie可表示為

(11)

從而得到等效軸段的彈性模量Ee為

(12)

定位護套配合軸段和永磁體配合軸段的長度較小，撓度變化不明顯。由于軸段的剛度不受長度的影響，可將配合軸段延長為300 mm，便于觀察軸的撓度變化。另外，在裝配軸段時，軸的重力對撓度的影響非常小，可忽略不計。在ANSYS中將軸和部件的一個端面設為固定約束，使之成為懸臂狀態(tài)。為驗證軸段剛度不受載荷的影響，依次在軸的自由端沿Y方向施加1 000、2 000、3 000 N的徑向載荷，其撓度變化結果如表3所示。

表3 不同載荷下懸臂軸段的變形結果

由表3可知:載荷與撓度成正比，因此載荷的變化不會影響軸段的剛度。徑向載荷為1 000 N時2個軸段的變形如圖5所示，可知：有定位護套的軸段，自由端在Y方向的最大撓度為0.33 mm；有永磁體的軸段，自由端最大撓度為0.178 mm。

圖5 懸臂軸段的撓度

將公式(11)代入公式(12)并進行代數計算，得到有定位護套的軸段等效后軸段的彈性模量為192.4 GPa、有永磁體的軸段等效后軸段的彈性模量為170.2 GPa。

3 等效實心轉子ANSYS模態(tài)分析

ANSYS是轉子動力學研究常用的工具，且對單一結構進行模態(tài)分析的結果準確可靠，因此被用于驗證該等效模型的可靠性。由于各等效軸段材料屬性不同，在SolidWorks中分別建立各等效軸段及其他軸段的三維模型，各軸段以同軸心和面-面重合的方式進行配合，以便進行后續(xù)材料屬性的設置。

將等效實心轉子的3D模型導入ANSYS，根據表1和第2.2節(jié)中計算的等效軸段彈性模量設置每個軸段的材料屬性，各軸段的密度均為7 850 kg/m3，軸段之間的軸向接觸面均采用Bonded接觸，以模擬實心軸的整體結構。等效實心轉子被劃分為37 549個網格單元、132 469個節(jié)點，有限元模型如圖6所示。

圖6 等效實心轉子有限元模型

在轉子動力學中，低階固有頻率對轉子的振動起主要作用，因此只分析轉子的前10階模態(tài)[10]。在分析結果中,由于前6階模態(tài)未出現明顯變形，且固有頻率接近于0，可忽略不計。等效實心轉子的1階和2階固有頻率分別為1 165.8、3 421 Hz，對應的前2階彎曲振型如圖7所示。

圖7 等效實心轉子模態(tài)振型

從圖7可以看出:等效實心轉子的1階彎曲振型沿Z軸只發(fā)生了1次彎曲，2階彎曲振型沿Z軸發(fā)生了2次彎曲，且彎曲主要發(fā)生在兩端的軸頸處。

4 實驗驗證

4.1 平臺搭建

錘擊法模態(tài)實驗是準確獲取機械結構模態(tài)頻率的主要手段[11]。LMS錘擊法模態(tài)實驗平臺如圖8所示，實驗裝置包括支撐架、彈性繩、轉子、激勵錘、加速度傳感器、LMS振動實驗分析系統(tǒng)和計算機等。為模擬轉子的自由-自由邊界條件，用彈性繩將轉子水平懸掛在支撐架上。將加速度傳感器分別固定在轉子表面3個互相垂直的方向，并與振動分析系統(tǒng)的信號輸入端口連接。

圖8 LMS錘擊實驗平臺

(13)

其中:X(ω)和F(ω)分別為拉氏變換后的位移和激勵力。在初始條件為0的情況下，無阻尼系統(tǒng)的頻響函數(FRF)為

(14)

在外接操作軟件SIEMENS中建立轉子結構簡易模型并進行測點布置。通道設置和傳感器標定時將帶寬設為4 096 Hz、采樣頻率為1 000 Hz。對于體積較小的轉子結構，低階固有頻率通過錘擊實驗比較容易獲得，在轉子兩端和中點處共設置3個測點進行測量即可。

4.2 數據采集及結果分析

采集每個測點的響應信號時，在轉子不同位置進行錘擊，并對每次激勵的時域響應信號進行傅里葉變換和擬合，得到轉子的幅頻響應曲線。該轉子為多段式階梯軸結構，將它按結構分為11個軸段，并在每個軸段中點上設置激勵點并順序編號。轉子激勵點的幅頻響應曲線如圖9所示。

圖9 錘擊法模態(tài)實驗結果

從圖9可以看出：曲線存在2處明顯的峰值，對應的峰值頻率分別為1 183、3 526 Hz。將等效實心轉子的模態(tài)分析結果與錘擊實驗結果比較，結果如表4所示?？芍旱刃Ｐ偷?階和2階固有頻率與轉子裝配體原型錘擊實驗結果的最大誤差為3%，驗證了該等效模型的可靠性和彈性模量取值的合理性。

表4 等效實心轉子的模態(tài)分析與錘擊實驗結果對比

5 結論

為簡化永磁同步電機轉子模態(tài)分析過程，提出一種轉子裝配體的等效建模方法。通過等效質量法將轉子裝配體等效為實心轉子，并以某高速永磁同步電機轉子為研究對象對該方法進行了驗證，得出如下結論：

(1)利用等效質量的方法計算出了每個等效軸段幾何參數，并建立了等效實心轉子的3D模型，此模型可代替轉子裝配體進行模態(tài)分析;

(2)在ANSYS中模擬軸段在集中載荷下的變形情況，發(fā)現剛度與載荷變化無關。根據剛度與載荷和撓度的關系推算出軸段的剛度，從而得到每個等效軸段的彈性模量；

(3)為每個等效軸段設置彈性模量并進行模態(tài)分析，得到等效實心轉子的有限元模態(tài)分析結果與實驗結果之間的誤差小于5%，且轉子的主要變形部位發(fā)生在兩端的軸頸處，驗證了彈性模量取值的合理性及該方法的可行性；得到了該轉子模型的低階振動特性，為高速永磁同步電機轉子模態(tài)研究提供了參考。