黃膺翰 李占松

摘要：天然河道水面曲線的求解計算量大，計算過程冗長。為減小計算量，縮短計算時間，將割線法和線性插值法與二分法相結(jié)合，推導(dǎo)出能使計算快速收斂的優(yōu)化二分法。通過工程實例計算將該方法與傳統(tǒng)二分法、改進(jìn)二分法進(jìn)行了對比。結(jié)果表明，優(yōu)化二分法在計算次數(shù)和計算時間上均有明顯優(yōu)勢，大大減少了程序的計算次數(shù)，縮短了計算時間。

關(guān)鍵詞：天然河道；水面曲線；優(yōu)化二分法；數(shù)值計算；非線性方程

中圖分類號：TV133.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1000-1379.2018.08.026

天然河道水面曲線計算是根據(jù)河道地形、縱斷面及河道糙率，推求河段各斷面在一定流量下的水位，并繪制相應(yīng)流量的水面曲線。當(dāng)河流較長，斷面數(shù)量成百上千時，計算量非常大。為了減小計算量，本文將割線法和線性插值法與傳統(tǒng)二分法相結(jié)合，提出了優(yōu)化二分法，并將其與現(xiàn)行的傳統(tǒng)二分法、文獻(xiàn)中的改進(jìn)二分法進(jìn)行了對比分析。

1 研究概要

傳統(tǒng)天然水面曲線計算理論主要基于恒定流能量方程與謝才公式。在求解上主要為圖解法、試算法、二分法及迭代法和牛頓一拉普森（Newton-Raphson）切線法等?？紤]到傳統(tǒng)算法存在的問題，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行過眾多研究，如：針對試算法存在的誤差積累問題，金菊良等3提出了加速遺傳算法（Accelerating GeneticAlgorithm，簡稱AGA），楊錄峰等將粒子群算法應(yīng)用于天然河道水面曲線的計算中：針對計算資料不齊全及斷面之間距離過長的河段，張校正提出了“推算法”與“比降法”配合使用的計算方法：針對動能變化較大的山區(qū)河流，漆昌銀提出了考慮動能變化的天然水面曲線計算方法：針對如何選取計算參數(shù)和河道分段，李滿剛提出了若干建議：針對流量模數(shù)的計算，楊遠(yuǎn)東等提出了合理的選用方法。

在優(yōu)化天然河道水面曲線求解方法，減少程序計算次數(shù)和縮短運(yùn)行時間的問題上，研究成果較少，僅王國棟等提出了基于線性插值的求解非線性方程二分法改進(jìn)，其基本思想是在每進(jìn)行一次平分隔根區(qū)間后，緊接著進(jìn)行一次線性插值。如圖1所示，設(shè)[d，c]為初始計算區(qū)間，dc如中點b'對應(yīng)于函數(shù)的點e及函數(shù)值與點e異號的端點cz，直線ae交橫坐標(biāo)軸于點a'。后視點a'對應(yīng)的函數(shù)值分正號、負(fù)號兩種情況處理，將計算區(qū)間由[d，c]收斂為[d，a'][見圖1（a）]或[a'，b'][見圖1（b）]。該方法雖然在一定程度上加快了計算區(qū)間的收斂速度，減少了計算次數(shù)，卻增長了每次計算的時間。從本文實例計算的結(jié)果來看，該算法計算次數(shù)約為傳統(tǒng)二分法計算次數(shù)的23%，計算時間卻為傳統(tǒng)二分法的97%，即該算法并未明顯縮短程序的計算時間。因此，為了進(jìn)一步改進(jìn)求解方法，本文提出了優(yōu)化二分法。

2 優(yōu)化二分法

2.1 方法介紹

優(yōu)化二分法是將線性插值求解和割線法與二分法相結(jié)合形成的一種快速收斂的非線性方程數(shù)值求解方法。在此僅以增函數(shù)、插值后函數(shù)值（圖2中點b'縱坐標(biāo)值）為正的情況進(jìn)行介紹，減函數(shù)、插值后函數(shù)值為負(fù)的情況與之類似。

2.1.1 基本原理

如圖2所示，設(shè)a、b兩點坐標(biāo)分別為（X1，Y1）、（x2，Y2），a'、b'兩點坐標(biāo)分別為（x1'，y1'）、（X2'，y2'），初始區(qū)間為（X1，x2）。做以下輔助線：①連接a、b兩點，則直線a6與橫坐標(biāo)軸交于點e：②過點e做橫坐標(biāo)軸垂線，交函數(shù)于點b'；③連接并延長bb'，使其與橫坐標(biāo)軸交于點廠；④根據(jù)a'、b'的橫坐標(biāo)x1'、x2'大小及位置，收斂計算區(qū)間，則初始區(qū)間可由（x1，x2）收斂為（x1'，X2'）[見圖2（a）]或（X1，x2'）[見圖2（b）]或（x1，x1'）[見圖2（c）]。再經(jīng)過重復(fù)計算即可解得滿足精度要求的數(shù)值解。

2.1.2 計算公式推導(dǎo)

直線ab的斜率k為

直線bb'的斜率k'為

點b'橫坐標(biāo)x2'為

點a'橫坐標(biāo)x1'為

由式（1）～式（4）可得點e坐標(biāo)為（x2—y2/k，0），點a'坐標(biāo)為（x2—y2/k'，0）。

2.2 計算步驟

計算步驟如下：①選擇初始區(qū)間（X1，y1）；②分別將x1、x2代人函數(shù)計算相應(yīng)函數(shù)值Y1、Y2；③將x2、Y2、x1、Y1代人式（1）算得k；④將x2、Y2、k代人式（3）算得x'2，并將X'2代人函數(shù)算得相應(yīng)函數(shù)值Y'2；⑤查看Y'2是否滿足精度要求，若滿足則結(jié)束計算，否則取X'2為計算區(qū)間右端，繼續(xù)下列步驟；⑥查看Y'2是否與y2同號，若同號，則將x'2、Y'2、X2、Y2代人式（2）算得k'，否則將x'2、y'2、x1、Y1代人式（2）算得k'，此時式（2）應(yīng)為k'=y'2-Y1/x'2-x1⑦將x2、y2、k代人式（4）算得x1'；⑧比較x1與x'1大小，若x'1x1，則將x'1代人函數(shù)，計算出相應(yīng)函數(shù)值y'1；⑨查看Y'2是否滿足精度要求，若滿足則結(jié)束計算，否則取x'2為計算區(qū)間右端，繼續(xù)下列步驟；⑩若y'1與Y'2異號，則計算區(qū)間收斂為（x'1，X'2）[見圖2（a）]，若y'1與Y'2同號，則計算區(qū)間收斂為（x1，x'1][見圖2（c）]。返回步驟②繼續(xù)計算。

3 實例計算

3.1 計算次數(shù)對比

某天然河段長634.65m，共設(shè)8個斷面，各斷面資料從5組到8組不等，插值方法為線性插值。河段計算流量為3756m3/s，初始斷面水深13m，粗糙系數(shù)取0.034，不考慮局部水頭損失，水面曲線見圖3。

通過VB編程，將優(yōu)化二分法應(yīng)用于該天然河段計算其水面曲線，并用傳統(tǒng)二分法及文獻(xiàn)中的算法作相同計算進(jìn)行對比，計算結(jié)果見表1。

從計算次數(shù)上來看，在計算河道斷面8時，優(yōu)化二分法計算次數(shù)約為傳統(tǒng)二分法的14%，約為文獻(xiàn)算法的51%。與另外兩種方法相比，優(yōu)化二分法收斂速度明顯加快，計算次數(shù)明顯減少。

3.2 計算時間對比

由于僅有8個斷面，程序計算時間過短，VB程序無法進(jìn)行時間測量，因此利用循環(huán)程序分別將優(yōu)化二分法、傳統(tǒng)二分法以及文獻(xiàn)的計算方法進(jìn)行多次運(yùn)算，運(yùn)算時間見表2。

從計算時間上來看，優(yōu)化二分法計算時間約為傳統(tǒng)二分法的75%，約為文獻(xiàn)算法的77%，優(yōu)化二分法使程序的計算時間得到了一定程度的縮短。

3.3 結(jié)果分析

從表1、表2的數(shù)據(jù)來看，優(yōu)化二分法加快了試算的收斂速度，顯著減少了計算次數(shù)，明顯縮短了程序的計算時間。該方法計算簡便，易應(yīng)用于電腦程序計算，為天然河道水面曲線的計算、調(diào)試提供了便利。

4 結(jié)語

天然河道水面曲線計算是水力學(xué)計算的重要內(nèi)容，也是工程設(shè)計中的基本課題。基于區(qū)間不等分的思想，通過將插值法和割線法應(yīng)用于二分法，提出了優(yōu)化二分法，并將該方法應(yīng)用于天然河道水面曲線計算，同時通過工程實例將該方法與傳統(tǒng)二分法、文獻(xiàn)中的改進(jìn)二分法進(jìn)行了比較。結(jié)果表明，該方法加快了計算區(qū)間的收斂速度，減少了計算次數(shù)，縮短了計算時間，為天然河道水面曲線的計算、調(diào)試提供了便利。作為一種快速收斂的非線性方程數(shù)值解法，優(yōu)化二分法還可應(yīng)用于模型參數(shù)率定、網(wǎng)格顯式求解等。