李渤 辛全才

摘要：為研究庫水壓縮性對(duì)壩體動(dòng)力特性的影響，以某重力壩為例，建立4種不同庫水作用有限元模型。對(duì)比傳統(tǒng)的附加質(zhì)量模型、折半修減的附加質(zhì)量模型和忽略庫水壓縮性模型得到的壩體自振頻率、壩體關(guān)鍵部位峰值應(yīng)力與位移及壩面的動(dòng)水壓力分布，表明：附加質(zhì)量模型在一定程度上夸大了水體的作用，導(dǎo)致壩體的基頻降幅最大，增大了壩踵部位的峰值應(yīng)力，對(duì)壩體中上部的動(dòng)水壓力有明顯的放大現(xiàn)象，但對(duì)壩頂位移有一定的削弱；可壓縮庫水模型可以更好地反映庫水與壩體之間的相互作用，因此在計(jì)算中不應(yīng)忽略庫水的可壓縮性影響。

關(guān)鍵詞：重力壩；動(dòng)水壓力；流固耦合；動(dòng)力特性；庫水可壓縮性

中圖分類號(hào)：TV312；P315.9

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1000-1379.2018.08.027

我國水力資源有70%～80%集中在西南地區(qū)，這些地區(qū)是地震災(zāi)害頻發(fā)區(qū)。在這些地區(qū)建設(shè)大型水利水電項(xiàng)目，結(jié)構(gòu)的抗震安全無疑是T程建設(shè)的關(guān)鍵。壩體一庫水系統(tǒng)的耦合作用是混凝土大壩抗震安全評(píng)價(jià)研究的熱點(diǎn)之一。自Westergaard給出著名的動(dòng)水附加質(zhì)量公式之后，諸多學(xué)者通過數(shù)值模擬與試驗(yàn)對(duì)壩體上游壩面動(dòng)水壓力的問題進(jìn)行了深入研究，大量的研究表明庫水可壓縮性、壩體一地基相互作用、庫底淤沙吸能作用等都會(huì)對(duì)上游壩面的動(dòng)水壓力產(chǎn)生不同程度的影響。

鑒于問題的復(fù)雜性，目前關(guān)于動(dòng)水壓力對(duì)壩體地震反應(yīng)影響問題未能得到合理解決。陳厚群等通過振動(dòng)臺(tái)模型試驗(yàn)，校驗(yàn)了流固耦合模型與Westergaard附加質(zhì)量模型的結(jié)果，表明附加質(zhì)量模型所得結(jié)果偏大，而流固耦合有限元模型得出的結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果較為符合。黃耀英等對(duì)兩種庫水附加質(zhì)量模型的混凝土重力壩動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行研究，認(rèn)為傳統(tǒng)Westergaard附加質(zhì)量模型折半計(jì)算后得到的壩體自振特性較直接使用Westergaard附加質(zhì)量模型計(jì)算的精度高，但未計(jì)入庫水的可壓縮性。趙蘭浩等結(jié)合實(shí)際T程給出考慮庫水可壓縮性時(shí)高拱壩動(dòng)力特性的數(shù)值求解方法，表明庫水的可壓縮性對(duì)壩體的白振頻率和振型等動(dòng)力特性有較大影響，但未提及庫水壓縮性對(duì)壩體應(yīng)力分布和位移的影響。楊柳等探討了庫水可壓縮模型對(duì)拱壩動(dòng)力響應(yīng)的影響，并與傳統(tǒng)附加質(zhì)量模型運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明，附加質(zhì)量模型夸大了動(dòng)水壓力作用，對(duì)順河向位移和豎直向位移有一定影響。

因此，開展壩體一庫水流固耦合作用問題與West—ergaard附加質(zhì)量模型的適用性、精度和兩者之間的差異性分析具有一定意義。

1 壩面動(dòng)水壓力數(shù)值模擬方法

1.1 Westergaard附加質(zhì)量模型

Westergaard研究了垂直剛性壩面在水平簡諧地面運(yùn)動(dòng)下的動(dòng)水壓力，并給出著名的動(dòng)水附加質(zhì)量公式：式中：mw（h）為水深h處的庫水附加質(zhì)量；P為水的密度；Ho為庫水深度；h為計(jì)算點(diǎn)的水深。

1.2 庫水有限元流固耦合模型

假定流體為均質(zhì)、無旋無黏且可壓縮的理想流體，在僅考慮小變形的情況下流速遠(yuǎn)小于流體中聲速，可得到以壓力P為目標(biāo)函數(shù)的波動(dòng)方程：式中：△為拉普拉斯算子：P為動(dòng)水壓力：c為流體中聲速，c=√k/p（K為流體體積模量，p為流體密度）；P為動(dòng)水壓力的二階導(dǎo)數(shù)。

式（2）需滿足的邊界條件見文獻(xiàn)[3]。

在設(shè)定庫水自由表面、壩體上游壩面、無限遠(yuǎn)及庫底邊界條件后，采用Galerkin法對(duì)式（2）進(jìn)行離散，可得到庫水的動(dòng)力平衡方程：式中：Mp、Cp、Kp分別為庫水的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；Pe為節(jié)點(diǎn)壓力向量；Rp為壩庫交界面上的耦合矩陣；u為節(jié)點(diǎn)加速度向量。

壩體的平衡方程：式中：Ms、Cs、Ks分別為壩體的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；u為流體的位移向量；f為壩體一庫水交界面上荷載向量以外的其他外界激勵(lì)。

由式（3）、式（4）可得出壩體一庫水相互作用的流固耦合方程：

2 有限元模型計(jì)算實(shí)例與地震波選取

2.1 計(jì)算實(shí)例

某電站擋水壩段壩頂高程為269.5m，壩底高程為178.0m，正常蓄水位為263.5m，壩頂寬10.0m，壩底寬64.5m。為分析比較不同庫水模型下壩體—庫水—地基耦合系統(tǒng)的動(dòng)力特性，分別建立以下4種有限元數(shù)值模型：傳統(tǒng)Westergaard附加質(zhì)量模型（Ⅰ），折半修減的Westergaard附加質(zhì)量模型（Ⅱ），考慮庫水可壓縮性的流固耦合模型（Ⅲ），忽略庫水可壓縮性的流固耦合模型（Ⅳ）。Westergaard附加質(zhì)量模型中采用MASS21單元模擬壩面庫水的作用，流固耦合模型中采用Fluid29來模擬庫水單元。根據(jù)黃耀英等的結(jié)論，庫水面長度向上游取3倍壩高，計(jì)算中忽略庫水表面重力波的影響。壩體混凝土靜彈性模量為20.60GPa，泊松比取0.167，密度為2400kg/m3；基巖彈性模量為22.50GPa，泊松比取0.25：庫水可壓縮時(shí)體積模量為2.07GPa，密度為1000kg/m3。Rayleigh阻尼因數(shù)根據(jù)結(jié)構(gòu)前2階頻率計(jì)算。采用無質(zhì)量地基輸入模型，根據(jù)《水電工程水工建筑物抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》，動(dòng)彈性模量可較靜彈性模量提高50%。壩體底部采用全約束，地基四周采用法向鏈桿約束。

2.2 地震波的選取

計(jì)算時(shí)，考慮水平向和豎直向的地震動(dòng)作用，水平向抗震設(shè)計(jì)地震加速度峰值為0.13g。依據(jù)《水電工程水工建筑物抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》設(shè)計(jì)反應(yīng)譜人工合成地震波。圖1為人工合成順河向地震加速度時(shí)程曲線，豎直向地震加速度峰值取水平向的2/3。

3 計(jì)算結(jié)果及分析

3.1 壩體自振頻率

表1給出了壩體空庫與正常蓄水位下4種不同庫水有限元模型的壩體白振頻率。由表1可知，無論哪種庫水有限元模型，庫水對(duì)壩體基頻的影響都比較顯著，壩體與庫水的相互作用使得壩體的白振頻率均不同程度降低?？諑鞎r(shí)壩體基頻最高，Westergaard附加質(zhì)量模型降幅最大，接近21%；Westergaard附加質(zhì)量折半修減模型對(duì)壩體基頻的影響較模型Ⅰ有一定程度降低?？紤]庫水可壓縮性時(shí)壩體基頻略低于不考慮庫水可壓縮性的情況。

為更直觀地比較庫水可壓縮性對(duì)壩體自振頻率的影響，繪制了空庫、模型Ⅲ和模型Ⅳ的前5階壩體白振頻率分布圖，見圖2。從圖2可以看出，考慮庫水可壓縮性時(shí)，壩體前5階頻率較空庫時(shí)下降17%～49%，而忽略水體的壓縮性時(shí)，壩體前5階頻率下降IO%～36%。表明庫水可壓縮性對(duì)壩體自振特性的影響比較顯著。因此，考慮庫水可壓縮的壩體一庫水流固耦合有限元模型可更好地反映壩體與庫水之間的相互作用。

3.2 不同庫水模型對(duì)壩體位移的影響

圖3為正常蓄水位時(shí)不同庫水有限元模型壩體頂部節(jié)點(diǎn)和壩體中部節(jié)點(diǎn)的順河向峰值位移對(duì)比柱狀圖?？梢钥闯觯旱卣鹱饔孟聣误w頂部的放大作用使得其頂部地震動(dòng)位移較大，壩體中部位移略小。其中：考慮庫水可壓縮時(shí)的模型Ⅲ得到的壩頂節(jié)點(diǎn)順河向峰值位移最大，為1.99Cm；采用傳統(tǒng)Westergaard附加質(zhì)量的模型Ⅰ得到的壩頂節(jié)點(diǎn)順河向峰值位移為1.83cm，相對(duì)模型Ⅲ的降幅為8.04%。原因是傳統(tǒng)附加質(zhì)量模型模擬結(jié)果是基于剛性壩體假設(shè)條件得到的近似解，是將庫水的作用簡化為附加質(zhì)量點(diǎn)施加在上游壩面上，這種模型忽略了壩面各節(jié)點(diǎn)之間的相互作用，即壩面節(jié)點(diǎn)的等效荷載不僅與該節(jié)點(diǎn)的庫水質(zhì)量有關(guān)系，而且與該節(jié)點(diǎn)周圍的附加質(zhì)量有關(guān)系，由此可以看出流固耦合有限元模型比傳統(tǒng)附加質(zhì)量模型更能體現(xiàn)出庫水對(duì)壩體動(dòng)力特性的影響。

3.3 不同庫水模型對(duì)壩體應(yīng)力的影響

表2為不同庫水模型對(duì)壩體關(guān)鍵部位峰值應(yīng)力的模擬結(jié)果。由表2可知：壩踵節(jié)點(diǎn)的主拉應(yīng)力大于壩體上游折坡處拉應(yīng)力。模型Ⅰ計(jì)算得到的壩踵節(jié)點(diǎn)最大主拉應(yīng)力為3.138MPa，大于另外3種有限元模型的計(jì)算結(jié)果：考慮庫水可壓縮條件下的流固耦合庫水模型Ⅲ計(jì)算得到的壩踵最大主拉應(yīng)力為2.649MPa；在上游壩面折坡位置，模型Ⅲ最大拉應(yīng)力相對(duì)模型Ⅰ降低13.26%，經(jīng)折半修減后的模型Ⅱ與忽略庫水壓縮性的模型Ⅳ計(jì)算結(jié)果較為相近?？梢姼郊淤|(zhì)量模型夸大了庫水對(duì)壩體的作用，相對(duì)壩體中上部來說，在壩踵部位的影響更大?；诹黧w單元建立庫水有限元計(jì)算模型時(shí)，忽略庫水壓縮性的模型Ⅳ計(jì)算得到的壩體關(guān)鍵部位主拉應(yīng)力大于可壓縮庫水模型Ⅲ的計(jì)算結(jié)果。因此，就傳統(tǒng)Westergaard附加質(zhì)量模型來講，采用流固耦合模型來模擬壩體一庫水之間相互作用更為合理。在壩踵位置考慮庫水壓縮性較忽略庫水可壓縮性時(shí)主拉應(yīng)力降低約5%，可知上游庫水的壓縮性對(duì)壩體的應(yīng)力分布有一定影響。

3.4 不同庫水模型對(duì)壩面動(dòng)水壓力的影響

圖4為不同庫水模型對(duì)壩面動(dòng)水壓力的影響分布圖。從圖4可以看出：由傳統(tǒng)Westergaard附加質(zhì)量模型計(jì)算所得的動(dòng)水壓力明顯大于流固耦合模型計(jì)算結(jié)果。模型Ⅰ和模型Ⅱ上游壩面最大動(dòng)水壓力分別為241.32kPa和223.65kPa，最大值出現(xiàn)的位置在壩高62m處，約為壩高的2/3。采用流固耦合模型計(jì)算時(shí)，考慮庫水可壓縮情況下的模型Ⅲ上游壩面動(dòng)水最大壓力為145.68kPa，相對(duì)模型Ⅰ和模型Ⅱ分別降低39.6%和34.9%。采用Westergaard附加質(zhì)量模型計(jì)算所得的動(dòng)水壓力，上部明顯偏大，而下部明顯偏小，原因是在地震作用下壩體加速度隨壩高增大放大作用增大，導(dǎo)致Westergaard模型計(jì)算結(jié)果被明顯夸大，與實(shí)際動(dòng)水壓力分布不吻合，采用流固耦合算法所得的結(jié)果更為合理，這與文獻(xiàn)試驗(yàn)得到的結(jié)論吻合。

4 結(jié)論

從壩體一庫水相互作用的物理特性來看，可壓縮庫水模型可以更好地反映庫水對(duì)壩體動(dòng)力特性的影響。不同庫水模型對(duì)結(jié)構(gòu)的白振頻率和振型的影響較為顯著，Westergaard附加質(zhì)量模型在一定程度上夸大了水體的作用：可壓縮與不可壓縮水體相比降低了壩體的白振頻率，且下降幅度要大于不可壓縮庫水模型的，在計(jì)算中不應(yīng)忽略。

數(shù)值算例表明：庫水可壓縮情況下壩體頂部節(jié)點(diǎn)和壩體中部節(jié)點(diǎn)峰值位移要大于采用Westergaard附加質(zhì)量模型的計(jì)算結(jié)果：對(duì)不同模型得到的主拉應(yīng)力進(jìn)行分析可知，采用Westergaard附加質(zhì)量模型計(jì)算得到的結(jié)果偏大。雖在文中對(duì)Westergaard附加質(zhì)量模型進(jìn)行了折半修減處理，但具有不確定性。

對(duì)比流固耦合模型與附加質(zhì)量模型計(jì)算所得的壩面動(dòng)水壓力，可知采用流固耦合模型模擬壩體一庫水的相互作用更為合理。

本文結(jié)論是在忽略庫水表面重力波效應(yīng)及未計(jì)入庫底淤沙層對(duì)地震波的吸收作用等的前提下得到的，而壩體一庫水一地基系統(tǒng)的耦合作用非常復(fù)雜，因此還有待深入研究。