庫(kù)容（礦體、工程土方）的幾何形狀與容（體）積計(jì)算

摘要：水庫(kù)是形狀不規(guī)則的容體，礦體和自然地形上的工程土方是形狀不規(guī)則的巖土體，彼此形態(tài)類似，容（體）積的計(jì)算方法相同，用等高線法計(jì)算時(shí)，都是按照礦體幾何學(xué)的方法，假定其為無(wú)數(shù)直線圍成的截頭錐狀體，采用梯形公式或截錐公式計(jì)算容（體）積。這種方法對(duì)計(jì)算體的幾何形狀認(rèn)定不當(dāng)，對(duì)計(jì)算公式的模型圖形認(rèn)識(shí)有誤。應(yīng)用數(shù)值積分的方法計(jì)算庫(kù)容，可以找到識(shí)別庫(kù)容幾何形狀的方法，導(dǎo)出各種幾何形狀的容積計(jì)算式，查明現(xiàn)行各種計(jì)算式的模型圖形，糾正傳統(tǒng)計(jì)算方法中的錯(cuò)誤。研究表明：庫(kù)容的幾何形狀有凸形、直形或凹形三類形狀，各水庫(kù)之間或一座水庫(kù)的不同高程之間都不盡相同;幾何形狀不同，容積計(jì)算公式也就各異，沒(méi)有通用的計(jì)算式;若用錯(cuò)公式，則當(dāng)相鄰兩計(jì)算剖面面積之差為40%時(shí)，計(jì)算的容積將有0.468%～11.111%的偏差。

關(guān)鍵詞：水庫(kù)容積;礦體;工程土方;幾何形狀;計(jì)算模型;數(shù)值積分;容（體）積計(jì)算;

中圖分類號(hào)：TV221.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

水庫(kù)容積、礦體和工程土方體積是水資源開(kāi)發(fā)利用、礦產(chǎn)開(kāi)采、工程建設(shè)必需的基本資料。水庫(kù)是形狀不規(guī)則的巨大容體，礦體和基于自然地形的工程土方是形狀不規(guī)則的巖土體，彼此形狀類似，體積的計(jì)算方法也相同。根據(jù)地形測(cè)繪資料或地質(zhì)勘探資料計(jì)算容（體）積的方法大致有3類：橫向計(jì)算的有垂直剖面法（斷面法、平行斷面法、不平行斷面法）;豎向計(jì)算的有水平剖面法（等高線法、等值線法、地形法）;把容體切割成眾多棱柱體計(jì)算的有方格法、三角網(wǎng)法以及數(shù)字高程模型法（DEM）。對(duì)于庫(kù)容或軸狀礦體、山丘土體等塊狀巖土體，多用水平剖面法;對(duì)板狀礦體或道路、渠道、河道工程土方等條狀巖土體，則用垂直剖面法。這兩種方法是最常用的方法，基本原理相同，均假定兩個(gè)剖面之間的體積是截錐體或角壔體（Prizmatoid），用梯形公式、截錐公式或角壔體公式計(jì)算容（體）積。長(zhǎng)期以來(lái)，由于對(duì)這些不規(guī)則物體的幾何形狀及體積計(jì)算公式的計(jì)算模型缺乏正確的認(rèn)識(shí)，因此在計(jì)算中陷人某些誤區(qū)，筆者在前人探討礦體計(jì)算的基礎(chǔ)上，根據(jù)對(duì)地形法計(jì)算庫(kù)容的分析研究，找到了識(shí)別庫(kù)容幾何形狀的方法，導(dǎo)出了各種幾何形狀的庫(kù)容計(jì)算公式，這些方法和原理同樣適用于礦體和工程土方體積的計(jì)算。

1 傳統(tǒng)計(jì)算方法及存在的問(wèn)題

形狀不規(guī)則的礦體，是無(wú)法用規(guī)則體積的計(jì)算公式計(jì)算其體積的。用水平剖面法計(jì)算時(shí)必須在等高線形狀的基礎(chǔ)上將其轉(zhuǎn)換成符合其總體幾何形狀的、可計(jì)算的概化模型。但是，概化模型具有半虛擬的性質(zhì)，其四周界面是無(wú)法直接測(cè)量到的，于是鮑曼（BaymaH）就假定（1909年）：兩個(gè)水平剖面（等高線）之間的礦體是四周界面（圍巖）由無(wú)數(shù)斜率不同的直線所圍成的截頭錐狀體，從而以立體幾何的方法推導(dǎo)出了這種錐狀體的體積計(jì)算式，即鮑曼公式。索布列夫斯基（Cобулевский）則假定（1934年）：兩平行剖面之間的礦體是由若干不同傾斜度的平面所圍成的角壔體，并用同樣方法推出了角壔體的體積計(jì)算式，亦即索布列夫斯基公式[1-2]。這兩個(gè)公式本質(zhì)相同，實(shí)為一式。鮑曼公式計(jì)算較為復(fù)雜，故被逐步舍棄，形式簡(jiǎn)便的梯形公式和截錐公式被引入礦體、工程土方以及庫(kù)容的計(jì)算中，并規(guī)定或建議：相鄰兩剖面等高線內(nèi)面積之差小于40%時(shí)用梯形公式，大于40%時(shí)用截錐公式;或一般庫(kù)容計(jì)算用梯形公式，“精確”或“嚴(yán)密”計(jì)算時(shí)用截錐公式[3-4]。

文獻(xiàn)[5-6]用數(shù)值積分的方法推導(dǎo)了鮑曼公式和截錐公式，并與梯形公式相比較，認(rèn)為此三式都是錐狀體的計(jì)算式，但梯形公式計(jì)算結(jié)果偏大，鮑曼公式則更具普遍性，比較精確。同時(shí)，還推出了馬鞍形礦體的體積計(jì)算式。文獻(xiàn)[7]同意以上論述及規(guī)定，但認(rèn)為礦體周?chē)呢Q向界面大都呈凸形弧面狀，采用拋物線公式（Simpson公式）計(jì)算體積比較切合實(shí)際，若采用立方拋物線公式（辛普森3/8法則）計(jì)算則更加精確。文獻(xiàn)[8]認(rèn)為庫(kù)容剖面的幾何形狀應(yīng)有凸形、直形及凹形等多種（相應(yīng)的體積為碗狀、截錐狀及馬鞍狀），凸形庫(kù)容適用梯形公式計(jì)算。這些文獻(xiàn)都對(duì)計(jì)算體形狀的假定及傳統(tǒng)的計(jì)算公式提出了質(zhì)疑。

近年來(lái)，隨著測(cè)繪技術(shù)及計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，在庫(kù)容和土方量計(jì)算中使用了許多計(jì)算軟件，替代了手工計(jì)算，其中有些軟件是按照地形法或斷面法原理編制的，但是其建模中所用的體積計(jì)算公式仍如舊規(guī)，所以迄今為止，用水平剖面法或垂直剖面法計(jì)算庫(kù)容、礦體或工程土方時(shí)，仍然遵循百年來(lái)傳統(tǒng)的觀點(diǎn)與方法。而由于這些“假定”“規(guī)定”“建議”沒(méi)有弄清計(jì)算體的幾何形狀，其假設(shè)的形狀未必符合實(shí)際，同時(shí)對(duì)計(jì)算公式的模型又不夠了解，混淆了平面求積與空間求積不同的概念，因此造成了體積計(jì)算中的許多錯(cuò)誤，降低了計(jì)算的精確度。用數(shù)值積分的方法計(jì)算水庫(kù)容積并分析研究，不僅可以了解各種計(jì)算公式的計(jì)算模型，而且可以找到識(shí)別庫(kù)容幾何形狀的方法，從而糾正傳統(tǒng)計(jì)算方法的錯(cuò)誤，建立比較正確、合理的計(jì)算方法與步驟。

2 庫(kù)容幾何形狀與數(shù)值積分計(jì)算

2.1 根據(jù)水庫(kù)高程—面積曲線計(jì)算庫(kù)容

水庫(kù)各高程（z）的面積值（A）是庫(kù)區(qū)地形測(cè)繪必須提供的基本資料，根據(jù)這些資料就可以直接計(jì)算庫(kù)容。圖1表明，水庫(kù)的高程—面積曲線不是單一、連續(xù)的函數(shù)關(guān)系，而是不連續(xù)的函數(shù)關(guān)系。說(shuō)明水庫(kù)庫(kù)容整體而言是一個(gè)不規(guī)則的體積，但在函數(shù)連續(xù)的區(qū)間卻是有一定規(guī)則的，可以用數(shù)值積分的方法計(jì)算庫(kù)容，即將整座水庫(kù)按高程—面積曲線函數(shù)的連續(xù)區(qū)間分成幾段，分別計(jì)算其庫(kù)容，然后累加得到總庫(kù)容，從而解決了不規(guī)則體積的積分計(jì)算問(wèn)題。

在水庫(kù)高程—面積曲線函數(shù)的連續(xù)區(qū)間，任一微薄層的容積為dV=Adz，高程a～b的容積為

V=∫_a^bAdz （1）

式（1）中若以一個(gè)代數(shù)多項(xiàng)式A=a₀+a₁z+a₂z²+…+a_nz_n代替A=f（z），水庫(kù)地形圖等高線內(nèi)面積依次為A₀、A₁、A₂、…、A_n[圖2（a）]，高程間距為h，且A（0）=A₀，A（1h）=A₁，…，A（nh）=A_n，則可求得高程—面積關(guān)系方程式不同方次n的體積計(jì)算式，如當(dāng)：1h，則有則有

按牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式[9]還可得到以下方次的計(jì)算式：

由此可以根據(jù)水庫(kù)高程—面積曲線方程的方次選擇相應(yīng)的庫(kù)容計(jì)算式。

2.2 各種幾何形狀的體積計(jì)算

在礦體開(kāi)采或工程土方的挖掘中，不僅要知道其數(shù)量，還要知道其形狀，所以習(xí)慣按形狀計(jì)算其體積。在庫(kù)容計(jì)算中了解庫(kù)容的幾何形狀也有助于水庫(kù)特性的研究及容積的正確計(jì)算。

圖2（a）為水庫(kù)地形示意圖，O為最低點(diǎn)在圖上的投影。若通過(guò)O點(diǎn)以任意θ角作一截面，則可得到此水庫(kù)的剖面。剖面可能有A、B、C三種類型，即凸形（碗狀）、直形（截錐狀）及凹形（馬鞍狀）[8]。若通過(guò)O點(diǎn)建立柱面坐標(biāo)，則其體積為

式（7）中剖面線函數(shù)ρ（z，θ）=f（z），也可用一個(gè)代數(shù)多項(xiàng)式ρ（z，θ）=a₀+a₁z+z₂z²+…+a_nzⁿ或ρ²（z，θ）=a₀+a₁z+a₂z²+…+a_nzⁿ代替，將不同方次n的方程式代入式（7），即可導(dǎo)得3類剖面形狀的體積計(jì)算式，分述如下。

2.2.1 A型（凸形碗狀，n<1）

若n=1/4，即ρ²（z，θ）=a₀+a₁z^1/2，則1h間的體積為

若n=1/2，即則1h間的體積為[8]

2.2.2 B型（直形截錐狀，n=1）（3個(gè)剖面）間的體積為

亦即索布列夫斯基公式：

若取兩根等高線計(jì)算1h間的體積，則就是鮑曼公式[5-6]：

若式（11）中ρ₂（θ）=kρ₁（θ），k為常數(shù)，則式（11）可改寫(xiě)成常用的截錐公式（棱臺(tái)公式）：

2.2.3 C型（凹形馬鞍狀，n>1）

若n=3/2，的體積為[7，9]則有

按牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式[9]還可得到以下方次的計(jì)算式：

由此可以根據(jù)水庫(kù)高程—面積曲線方程的方次選擇相應(yīng)的庫(kù)容計(jì)算式。

2.2 各種幾何形狀的體積計(jì)算

在礦體開(kāi)采或工程土方的挖掘中，不僅要知道其數(shù)量，還要知道其形狀，所以習(xí)慣按形狀計(jì)算其體積。在庫(kù)容計(jì)算中了解庫(kù)容的幾何形狀也有助于水庫(kù)特性的研究及容積的正確計(jì)算。

圖2（a）為水庫(kù)地形示意圖，O為最低點(diǎn)在圖上的投影。若通過(guò)O點(diǎn)以任意θ角作一截面，則可得到此水庫(kù)的剖面。剖面可能有A、B、C三種類型，即凸形（碗狀）、直形（截錐狀）及凹形（馬鞍狀）[8]。若通過(guò)O點(diǎn)建立柱面坐標(biāo)，則其體積為

式（7）中剖面線函數(shù)ρ（z，θ）=f（z），也可用一個(gè)代數(shù)多項(xiàng)式ρ（z，θ）=a₀+a₁z+z₂z²+…+a_nzⁿ或ρ²（z，θ）=a₀+a₁z+a₂z²+…+a_nzⁿ代替，將不同方次n的方程式代入式（7），即可導(dǎo)得3類剖面形狀的體積計(jì)算式，分述如下。

2.2.1 A型（凸形碗狀，n<1）

若n=1/4，即ρ²（z，θ）=a₀+a₁z^1/2，則1h間的體積為

若n=1/2，即則1h間的體積為[8]

2.2.2 B型（直形截錐狀，n=1）（3個(gè)剖面）間的體積為

亦即索布列夫斯基公式：

若取兩根等高線計(jì)算1h間的體積，則就是鮑曼公式[5-6]：

若式（11）中ρ₂（θ）=kρ₁（θ），k為常數(shù)，則式（11）可改寫(xiě)成常用的截錐公式（棱臺(tái)公式）：

2.2.3 C型（凹形馬鞍狀，n>1）

若n=3/2，的體積為[7，9]

若則2h間的體積為[6]

若剖面線為冪函數(shù)ρ（z，θ）=a₀+a₁z²，則可得到1h間容積的計(jì)算式為[8]

若n=2，的體積為

上述公式中式（3）、式（4）、式（5）與式（9）、式（10）、式（14）傳統(tǒng)上稱之為梯形公式、角壔體公式（拋物線公式、辛普森公式、索布列夫斯基公式）及立方拋物線公式（辛普森3/8法則）。式（11）與式（10）實(shí)為一式。式（13）又稱為棱臺(tái)體公式。式（11）中的A_h/2為h/2處的面積。式（12）、式（15）、式（16）中的T（1，2）、T（2，3）、T（3，1）為面積改正數(shù)[6]。式（2）～式（6）及式（8）～式（17）兩類計(jì)算式同列于表1，以供對(duì)照比較。這兩種計(jì)算庫(kù)容的方法同樣適用于垂直剖面法計(jì)算庫(kù)容或河道、渠道及道路等工程土方體積[8]，其原理相同。

2.3 庫(kù)容幾何形狀的識(shí)別

庫(kù)容的幾何形狀無(wú)法由工程測(cè)量直接測(cè)定，但可以通過(guò)間接的方法判斷識(shí)別。式（1）為根據(jù)水庫(kù)高程—面積曲線積分計(jì)算庫(kù)容，可以求得高程—面積曲線方程不同方次的庫(kù)容計(jì)算式;式（7）則以庫(kù)容剖面線形狀作為變量，可以求得剖面線方程不同方次的庫(kù)容計(jì)算式;很容易證明兩者實(shí)為一式，僅是座標(biāo)形式不同而已，表一中由式（1）導(dǎo)得的式（2）、式（3）、式（4）、式（5）、式（6）分別與由式（7）導(dǎo)得的式（8）、式（9）、式（10）、式（14）、式（17）相同，這樣就找到了高程一面積曲線的形狀與庫(kù)容剖面線圖形之間的關(guān)系，只要求出高程—面積曲線A=f（z）的方程式，就可以知道庫(kù)容模型的剖面線方程P=f（z）及其幾何圖形。例如，若高程—面積曲線呈直線，方程式方次n=1，則庫(kù)容剖面線方程為n=1/2的凸形曲線，幾何形狀為碗狀（饅頭狀）的凸形體，計(jì)算公式適用式（3）、式（9）;若高程—面積曲線為2次方程，則剖面線必為斜率不等的直線，體形屬直形的角壔體或錐狀體，計(jì)算公式用式（4）、式（10）。

庫(kù)容剖面線的幾何圖形是半虛擬的概化模型，無(wú)法直接測(cè)定，但可由高程，面積曲線反映出來(lái)。而高程一面積曲線是可以根據(jù)測(cè)繪資料繪制，而且不難求得其曲線方程，加以上述各種形狀庫(kù)容計(jì)算式的導(dǎo)出，于是就可以走出盲目假定幾何形狀、亂用體稠十算公式的誤區(qū)。

3 傳統(tǒng)方法計(jì)算容（體）積的幾個(gè)誤區(qū)

3.1 誤區(qū)一

“兩平行剖面間礦體（庫(kù)容）的形狀都是截錐體或角壔體，采用梯形公式或截錐公式計(jì)算體積”“相鄰兩剖面面積之差小于40%時(shí)用梯形公式，大于40%時(shí)用截錐公式”“一般計(jì)算用梯形公式，精密計(jì)算用截錐公式”“鮑曼公式更具普遍性，比較精確”[1-6]。

圖1表明，水庫(kù)高程—面積曲線在不同區(qū)段具有上凸、直線或下彎等多種形狀，根據(jù)高程—面積曲線形狀與剖面線形狀的關(guān)系，說(shuō)明庫(kù)容的剖面形狀也相應(yīng)有凸形、直形或凹形，即體積為碗狀、截錐狀或馬鞍狀等形狀，并非只是直形的錐狀體（角壔體）一種。水庫(kù)的大斷面圖也常表明這種情況。此外，從地質(zhì)學(xué)、地貌學(xué)、土力學(xué)及河流動(dòng)力學(xué)也可得到合理的解釋。礦體、山丘等巖土體同樣如此。不同形狀的區(qū)間要用不同的體積計(jì)算式，沒(méi)有普遍適用的通用公式。

以上演算表明，截錐公式是鮑曼公式的特例，是計(jì)算正截頭錐體（四周斜率相同）的公式，不是什磨特殊的精密計(jì)算公式。與“梯形公式”計(jì)算圖形又不相同，無(wú)法比較。體積計(jì)算用哪個(gè)公式合適、正確，不在于相鄰剖面面積差的百分?jǐn)?shù)是多少，而在于計(jì)算公式的數(shù)學(xué)模型與計(jì)算體的幾何形狀是否一致。因此，不問(wèn)計(jì)算體實(shí)際的幾何形狀，假定其都是截錐體、角壔體，一律采用梯形公式或截錐公式計(jì)算體積，顯然是錯(cuò)誤的。

鮑曼公式與截錐公式是計(jì)算2個(gè)剖面間的體積，而索布列夫斯基公式（角壔體公式）是計(jì)算3個(gè)剖面間的體積，都是直形錐狀體的計(jì)算式。除截錐公式屬特例（其計(jì)算體積略偏大）外，鮑曼公式與其他兩式實(shí)為一式，只要與計(jì)算體模型相符，都一樣精確。

3.2 誤區(qū)二

“梯形公式是剖面為梯形的截頭錐體體積的計(jì)算公式”[5-6]。

梯形公式本是計(jì)算梯形平面面積的求積公式，將其改寫(xiě)成體積計(jì)算公式，認(rèn)為其計(jì)算的圖形是剖面為梯形的錐狀體，沒(méi)有根據(jù)，也沒(méi)見(jiàn)其來(lái)源的報(bào)導(dǎo)。而式（9）的演算則證明，體積計(jì)算中的“梯形公式”，其計(jì)算模型是具有凸形剖面的碗狀體，剖面線方程為ρ²（z，θ）=a₀+a₁z，與“梯形”毫不相干，將此式與截錐公式及鮑曼公式歸人一類，是一個(gè)誤導(dǎo)，混淆了體積計(jì)算與面積計(jì)算的不同概念。文獻(xiàn)[8]早就指出這一情況，但沒(méi)有引起普遍注意。此式是國(guó)內(nèi)外礦業(yè)、水利、土木工程界計(jì)算礦體、庫(kù)容、工程土方等體積中廣泛使用的計(jì)算式。長(zhǎng)期以來(lái)，也有人發(fā)覺(jué)用此式計(jì)算的結(jié)果大于截錐公式或其他錐狀體計(jì)算式，也大于其他計(jì)算方法[6，10-11]，但由于對(duì)其形狀的誤解，因此始終得不到正確的解釋。“梯形”是平面圖形，沒(méi)有體積的。式（9）與“梯形”又毫不相干，將其稱為“梯形公式”，名不符實(shí)。所以，為避免誤解誤用，在體積計(jì)算中改稱“碗狀體公式”較妥。

3.3 誤區(qū)三

對(duì)天然界面呈凸形的弧面狀礦體“采用辛普森公式計(jì)算體積比較切合實(shí)際;如果采用立方拋物線公式計(jì)算，則更加精確”[7]。

辛普森公式原是計(jì)算二次拋物線下曲邊梯形平面面積的公式，所以又稱拋物線公式。體積計(jì)算中形似辛普森公式的式（10）演算證明，它是角壔體的體積計(jì)算式，計(jì)算模型是3個(gè)水平剖面（2h）間的錐狀體，垂直剖面線為直線。把它與辛普森公式混淆，以為是計(jì)算表面為凸形，縱剖面線為拋物線的體積計(jì)算式，這是又一個(gè)誤解。實(shí)際上是其水平剖面的面積值變化呈二次拋物線，而不是其垂直剖面線呈二次拋物線。

辛普森3/8法則是三次拋物線下的平面面積插值計(jì)算式，在插值計(jì)算中，其余項(xiàng)誤差比辛普森公式小，所以插值精度比辛普森公式高。但在體積計(jì)算中，形似辛普森3/8法則的式（14）（有稱之為“立方拋物線公式”）實(shí)際上是剖面線方程為ρ²（z，θ）=a₀+a₁z+a₂z²+a₃z³（凹形，3/2次方）的馬鞍狀體積的計(jì)算式;而形似辛普森公式的式（10），是直形錐狀體體積的計(jì)算式，兩者模型不同，不存在計(jì)算精度的可比性，當(dāng)然也就不存在誰(shuí)更精確的問(wèn)題。用以計(jì)算凸形弧面狀礦體體積，兩式都是錯(cuò)誤的。此外，兩式都名不符實(shí)，與“辛普森”、“拋物線”亦無(wú)關(guān)，所以也宜改稱。例如前者稱“角壔體公式”，后者稱“（3/2次方）馬鞍體公式”，以免誤導(dǎo)。

4 計(jì)算公式的相對(duì)偏差

4.1 庫(kù)容計(jì)算式的相對(duì)偏差

傳統(tǒng)方法建議采用“梯形公式”和截錐公式計(jì)算水庫(kù)容積、工程土方或礦體體積，若實(shí)際計(jì)算體與此兩公式的適用條件（計(jì)算圖形）不符，則用錯(cuò)公式就會(huì)產(chǎn)生偏差[5-6]。若用式（9）、式（10）、式（13）及式（16）分別代表凸形、直形、凹形三類體積的計(jì)算式，以V₉、V₁₀、V₁₃、V₁₆表示，相鄰等高線內(nèi)面積差為ΔA，按照柯西不等式代換計(jì)算，則不同ΔA值時(shí)其體積的理論偏差△V見(jiàn)表2。由表2可知，直形體積若誤用“梯形公式”計(jì)算體積，則當(dāng)相鄰面積差ΔA達(dá)到40%時(shí)，體積就可能偏大0.468%～5.882%;凹形體如果誤用“梯形公式”計(jì)算，則將偏大6.302%～11.111%，即使換用截錐公式計(jì)算，亦將偏大5.807%～10.593%。

4.2 計(jì)算實(shí)例

表3為某水庫(kù)的計(jì)算實(shí)例。由水庫(kù)高程—面積曲線求得高程100～110m及120～130m的高程—面積曲線方程式分別為A=21.003+1.624z+0.184z²及A=75.218-1.602z+0.160z²，所以此兩段庫(kù)容形狀屬直形B型，宜用式（10）計(jì)算;高程110～120m的高程一面積曲線方程為A=4.240+5.144z，因而庫(kù)容形狀為凹形A₂型，宜用式（9）計(jì)算。表中第4列為直接積分計(jì)算的數(shù)值;第5列為用式（1）根據(jù)概化模型所屬類型相應(yīng)的計(jì)算式的計(jì)算值;表中帶（）的數(shù)字為按該級(jí)實(shí)際形狀用式（9）的計(jì)算值。計(jì)算結(jié)果表明，若以直接積分計(jì)算的數(shù)值為標(biāo)準(zhǔn)，則：①用式（1）積分計(jì)算與根據(jù)概化模型所屬類型相應(yīng)的計(jì)算式計(jì)算的結(jié)果最接近，相差僅0.287%，說(shuō)明按庫(kù)容類型選擇公式計(jì)算的正確性。②B型庫(kù)容若誤用梯形公式計(jì)算，則結(jié)果偏大，當(dāng)相鄰面積差ΔA>60%時(shí)偏大2.178%。ΔA=26.10%～26.61%時(shí)偏大0.488%（見(jiàn)末列）。V₉值也比V₁、V₁₃大，所有偏差值△v與表2的理論值相符。③式（13）為直形庫(kù)容計(jì)算的特例，結(jié)果略偏大，在本例中也得到證明，∑V₁₃比∑V₁₀大0.448%。④若減小計(jì)算間距，如將h由5m改為2m，則相鄰面積差ΔA將減小，各式計(jì)算的偏差值ΔV也將相應(yīng)減小。

5 結(jié)語(yǔ)

（1）庫(kù)容的幾何形狀有凸形（碗狀）、直形（截錐狀）及凹形（馬鞍狀）等多種形狀，不同水庫(kù)之間或一座水庫(kù)的不同高程之間都可能不相同。形狀不同，容積計(jì)算式也就各異，沒(méi)有通用的計(jì)算式。

（2）對(duì)水庫(kù)的高程—面積曲線進(jìn)行分析研究，可以正確判斷水庫(kù)的幾何形狀，按照其幾何形狀選擇相應(yīng)的體積計(jì)算式正確計(jì)算其容積;也可根據(jù)高程一面積曲線方程選擇相應(yīng)的容積計(jì)算式。

（3）應(yīng)糾正立體求積與平面求積概念相混淆的現(xiàn)象。體積計(jì)算中的“梯形公式”是凸形碗狀體的計(jì)算公式，長(zhǎng)期被誤以為是直形錐狀體的計(jì)算式;“辛普森公式”（拋物線公式）實(shí)際上是直形錐狀體的計(jì)算式，卻被誤以為是凸形碗狀拋物體的計(jì)算公式。一些體積計(jì)算公式的名稱不當(dāng)，宜改稱。

（4）傳統(tǒng)的庫(kù)容計(jì)算方法存在嚴(yán)重的錯(cuò)誤，我國(guó)大部分水庫(kù)的庫(kù)容應(yīng)重新計(jì)算，以提高水庫(kù)效益。某些高校教材、部門(mén)規(guī)章中關(guān)于庫(kù)容、礦體或工程土方計(jì)算的錯(cuò)誤“規(guī)定”、“建議”應(yīng)取消，重新制定正確的計(jì)算方法與規(guī)定。

（5）水平剖面法（等高線法、地形法）有正確的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，并有合理的物理解釋，方法簡(jiǎn)便，應(yīng)加強(qiáng)研究和完善（如對(duì)計(jì)算的代數(shù)精度和誤差分析，編制計(jì)算軟件）。水平剖面法計(jì)算體積的方法和原理同樣適用于垂直剖面法（平行斷面法），用以計(jì)算河道、渠道及道路等工程土方，或板狀礦體，但是其測(cè)量方法應(yīng)該改進(jìn)，以便能正確判斷計(jì)算體的幾何形狀。

（6）識(shí)別庫(kù)容、礦體及工程土方體積的幾何形狀，按其幾何形狀計(jì)算容（體）積，不僅提高了計(jì)算的精度，有很高的經(jīng)濟(jì)價(jià)值，還可供湖泊學(xué)、礦體幾何學(xué)以及水庫(kù)水文地理等研究參考。

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