二次根式解題思想方法例析

施俊芳

同學們學習二次根式時，對于某些題目，若能講究解題策略，則能簡化解題過程，提高解題速度，此外，同學們還要注意總結(jié)歸納.下面，我們對二次根式中的解題思想方法進行分析，供同學們參考.

一、知識轉(zhuǎn)化思想

知識轉(zhuǎn)化不僅是一種解題思想，也是一種思維策略，更是一種有效的思維方式.所謂的轉(zhuǎn)化思想，是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化成容易求解的問題，將未知的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已知的問題，以達到解決問題的目的.

【例1】已知[3-x]+[12x-1]在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是什么？

【解析】確定二次根式中字母的取值范圍，可列方程組解決，應(yīng)綜合考慮兩方面問題：一是對于二次根式來說，被開方數(shù)3-x、2x-1要為非負數(shù)，二是作為分母，2x-1不能等于零，所以可得[3-x≥0，2x-1>0，]解不等式組得[12]

二、巧妙配方思想

配方公式的應(yīng)用在本章中是非常廣泛的，要求我們從問題整體出發(fā)，發(fā)現(xiàn)問題的整體特征.在本章的學習中，我們常把某些式子看成一個整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進行有目的、有意識地整體處理，從而使得問題簡單化、明晰化.

【例2】已知m=1+[2]，n=1-[2]，則代數(shù)式[m2+n2-3mn]的值為_______.

【解析】解本題時不能直接代入字母的值，應(yīng)首先對被開方數(shù)里的3mn進行拆分，得[m2+n2-2mn-mn]，這樣便得到完全平方式子[m-n2-mn]，把m-n與mn看成一個整體，求得m-n=[22]，mn =-1，所以得到[222+1]=[8+1]=3.

三、整體換元思想

對于有些數(shù)學問題，分開討論十分麻煩或解題思路不明顯.這時可考慮將需要解決的問題引入變量，進行換元，然后通過對整體結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換，使之獲解.

【例3】有一天，小華的爸爸和小華做了一個小游戲，小華的爸爸說：“你現(xiàn)在學習了二次根式，若x表示[10]的整數(shù)部分，y代表它的小數(shù)部分，我包里的錢是（[10]+x）y元，你猜一猜我包里的錢數(shù)是多少？若猜對了，包里的錢全給你.”你說，小華爸爸包里有多少錢？

【解析】因為3<[10]<4，所以[10]的整數(shù)部分是3，即x=3 ，小數(shù)部分y=[10]-3，代入得（[10]+x）y=（[10]+3）（[10]-3）=1，所以小華爸爸包里是1元錢.

四、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想，其實質(zhì)是將比較抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結(jié)合起來，可以使代數(shù)問題幾何化，也可以使幾何問題代數(shù)化.

【例4】在數(shù)軸上找出表示[5]的點.

【解析】建立一個直角坐標系，畫一個直角邊分別為2和1的直角三角形OAB，如圖1，根據(jù)勾股定理可求出斜邊為[5]，再以O(shè)為圓心，斜邊長為半徑畫弧，弧與x軸的交點C就是表示[5]的點.

（作者單位：江蘇省句容市下蜀中學）