何東山

（咸陽(yáng)師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，陜西 咸陽(yáng) 712000）

天文觀測(cè)表明現(xiàn)在的宇宙正在不斷地膨脹[1]，根據(jù)廣義相對(duì)論得到的宇宙大爆炸理論，得到科學(xué)家們的廣泛認(rèn)同，因此大爆炸模型也被稱為宇宙學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)模型。大爆炸理論表明宇宙從一個(gè)溫度極高、能量密度極大的奇點(diǎn)演化而來(lái)，在奇點(diǎn)處物理量發(fā)散，物理定律在奇點(diǎn)處失效。而量子理論表明，早期宇宙的量子效應(yīng)顯著，應(yīng)運(yùn)用量子引力理論來(lái)描述早期宇宙的演化。

引力的量子化仍然是理論物理研究領(lǐng)域的一個(gè)難題，目前人們提出的量子引力理論有弦理論、圈量子引力理論、惠勒-德維特方程等。雖然還沒(méi)有一個(gè)完整、確定的量子引力理論。但是，通過(guò)研究一些初步的量子引力理論取得了一些有意義的結(jié)果。20世紀(jì)80年代開始Hawking、Hartal、Vilenkin、Linde等人將惠勒-德維特方程應(yīng)用于宇宙學(xué)[2-5]，來(lái)研究宇宙的創(chuàng)生以及暴漲等問(wèn)題，本文作者及其合作者曾利用惠勒-德維特方程給出了無(wú)需標(biāo)量場(chǎng)的暴漲模型[6-8]。量子力學(xué)中，量子系統(tǒng)的量子態(tài)由滿足薛定諤方程的波函數(shù)描述。哥本哈根學(xué)派將波函數(shù)ψ()r的平方解釋為粒子在空間r處的概率密度。與薛定諤方程在量子力學(xué)中的作用類似，惠勒-德維特方程是量子宇宙學(xué)的基本方程，宇宙的信息包含于滿足惠勒-德維特方程的宇宙波函數(shù)中，因此很容易想到用宇宙波函數(shù)ψ的平方表示宇宙在超空間的概率密度[9]，

然而對(duì)于宇宙來(lái)說(shuō)這樣的解釋存在觀測(cè)上的困難，人類所處的宇宙只有一個(gè)，因此無(wú)法用概率詮釋來(lái)描述宇宙。根據(jù)哥本哈根詮釋，每觀測(cè)一次波函數(shù)就會(huì)坍縮，而對(duì)于人類所處的唯一的宇宙來(lái)說(shuō)無(wú)法通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)觀測(cè)來(lái)確定宇宙處于某個(gè)狀態(tài)的概率。因而，在量子宇宙學(xué)中波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋存在觀測(cè)困難。

本文在小超空間模型下，研究了波函數(shù)的物理意義，給出宇宙波函數(shù)的動(dòng)力學(xué)解釋；通過(guò)宇宙波函數(shù)收斂的要求給出算符次序因子 p的取值約束；最后，宇宙波函數(shù)的動(dòng)力學(xué)解釋表明Hawking給出的無(wú)邊界波函數(shù)在宇宙很大時(shí)給出的是一個(gè)定態(tài)解，宇宙無(wú)法演化，而Vilenkin的隧穿波函數(shù)給出了正確的宇宙演化規(guī)律。

1 惠勒-德維特方程

1967年DeWitt提出了一種對(duì)廣義相對(duì)論正則量子化的方法[10]，得到惠勒-德維特方程(Wheeler-DeWitt equation)。對(duì)于幾乎是無(wú)窮多個(gè)自由度的宇宙來(lái)說(shuō)，惠勒—德維特方程比較復(fù)雜，難以求解。常采用一些簡(jiǎn)化模型，對(duì)于均勻且各向同性的宇宙，選用具有很高對(duì)稱性的小超空間模型（minisuperspace model），可得到描述量子宇宙的惠勒-德維特方程[11]

方程中ψ(a)是宇宙波函數(shù)，包含宇宙演化的所有信息，a為表征宇宙尺度大小的宇宙尺度因子，V(a)表示宇宙勢(shì)函數(shù)，p為算符次序因子，mp表示普朗克質(zhì)量。為了簡(jiǎn)便，在后文的計(jì)算中選擇普朗克單位制，令?=c=G=1。

2 宇宙波函數(shù)的動(dòng)力學(xué)解釋

宇宙波函數(shù)是復(fù)函數(shù)，因此可以將波函數(shù)寫成

其中R（a）和S（a）都是實(shí)函數(shù)，可以得到宇宙波函數(shù)密度

量子力學(xué)中波函數(shù)密度表示粒子在空間的概率密度，即粒子在r附近處于體積為ΔV的空間內(nèi)的概率p= | ψ(r)|2ΔV。對(duì)比量子力學(xué)，宇宙學(xué)波函數(shù)密度ρ(a)表示宇宙處于狀態(tài)a的概率密度，那么(a) da表示宇宙處于a1至a2之間的概率。不同于量子力學(xué)，我們將這個(gè)概率解釋為在整個(gè)宇宙的演化時(shí)間T內(nèi)，宇宙從a1演化至a2所用的時(shí)間，用公式表示為

波函數(shù)的概率密度很??；表明宇宙處于a1至a2之間的時(shí)間很短，即宇宙膨脹（收縮）得很快。反之宇宙的概率密度大表明宇宙演化的慢，處于a1至a2之間的時(shí)間長(zhǎng)。

從惠勒-德維特方程(1)出發(fā)容易得到系統(tǒng)的守恒流 ja以及守恒方程[12-13]

其中c0為積分常數(shù)，S'表示S（a）對(duì)尺度因子a的導(dǎo)數(shù)，由于宇宙尺度因子a以及R2都大于零，因此c0的符號(hào)與S'相反。

通過(guò)量子哈密頓-雅克比理論，可以得到尺度因子a的演化方程[14-15]

式（9）表明：當(dāng) S'＞0時(shí)，a˙＜0，即宇宙收縮；而當(dāng)S'＜0時(shí)，a˙＞0，宇宙膨脹。

通過(guò)式（8）和式（9）可以得到

3 宇宙波函數(shù)動(dòng)力學(xué)解釋的應(yīng)用

3.1 算符次序因子的確定

算符次序因子 p是惠勒-德維特方程中由于算符次序不確定引入?yún)?shù)，不同的取值對(duì)應(yīng)不同的量子效應(yīng)，因此它對(duì)早期宇宙的演化有重要影響，p如何取值仍未有定論。本文要求宇宙波函數(shù)處處收斂，即宇宙概率密度ρ()a在任何時(shí)候都是一個(gè)有限值，可以給出算符次序因子的約束。

現(xiàn)代宇宙論表明宇宙在極早時(shí)期(a→0)經(jīng)歷指數(shù)暴漲時(shí)期[16]，這個(gè)階段哈勃參數(shù)HIn是有限值且變化緩慢，根據(jù)式（10）

要求ρ(a →0)有限可以得到 p+2≤0。

另一方面，尺度因子a很大時(shí)，宇宙處于暗能量主導(dǎo)時(shí)期，此時(shí)宇宙指數(shù)膨脹，哈勃參數(shù)HDE為常數(shù)，同理根據(jù)式（10）可得

要求 ρ(a →∞ )有限，可以得到另一個(gè)邊界條件p+2≥0。

因此，根據(jù)上述兩個(gè)邊界條件我們得到了算符次序因子的一個(gè)約束：p=-2。這個(gè)約束消除了惠勒-德威特方程中算符次序引起的不確定性。將p=-2代入式（10）得到

可以看出宇宙波函數(shù)密度僅與哈勃參數(shù)有關(guān)，即宇宙波函數(shù)密度只與宇宙膨脹或收縮的速度成反比。

圖1 Hawking-Hartle給出的無(wú)邊界波函數(shù)示意圖

圖2 無(wú)邊界波函數(shù)給出的哈勃參數(shù)演化規(guī)律

3.2 宇宙波函數(shù)的選擇

惠勒-德維特方程(10)為二階微分方程，完全確定波函數(shù)需要合適的邊界條件。目前有兩種類型的宇宙波函數(shù)方案，一種是Hawking、Hartle根據(jù)歐氏空間的路徑積分給出的無(wú)邊界方案(no-boundary propose)[2]，另一種是Vilenkin根據(jù)量子隧穿的思想得到的隧穿方案[3]，這兩種方案哪種正確仍存在爭(zhēng)論[17-18]。我們將波函數(shù)的動(dòng)力學(xué)解釋應(yīng)用于這兩種方案，研究?jī)煞N方案下宇宙的演化情況。

對(duì)于包含宇宙學(xué)常數(shù)Λ的封閉宇宙，宇宙的勢(shì)函數(shù)可以寫為

將式（12）代入惠勒-德維特方程（1），根據(jù)霍金和哈托給出了無(wú)邊界波函數(shù)方法，可以得到宇宙波函數(shù)為

圖1為無(wú)邊界波函數(shù)示意圖，圖中實(shí)線為宇宙勢(shì)能曲線，虛線為宇宙波函數(shù)。宇宙很小時(shí)(a2Λ≤1)，宇宙處于量子時(shí)期。從圖中可看出，在a=0時(shí)波函數(shù)ψNB為有限值，即量子宇宙中在a=0處無(wú)奇點(diǎn)。當(dāng)宇宙很大時(shí)(a2Λ＞1)，宇宙波函數(shù)不斷震蕩，震蕩的頻率隨著尺度因子a的增加而增加。此時(shí)波函數(shù)為純實(shí)數(shù)，可以看做是時(shí)空膨脹態(tài)和收縮態(tài)波函數(shù)的疊加。根據(jù)波函數(shù)動(dòng)力學(xué)解式（11）可以得到哈勃參數(shù)的演化規(guī)律，圖2為根據(jù)無(wú)邊界波函數(shù)得到的宇宙演化規(guī)律，圖2中點(diǎn)線表示哈勃參數(shù)的演化情況，在宇宙很大時(shí)，哈勃參數(shù)在快速震蕩，很顯然這并不滿足現(xiàn)在的觀測(cè)結(jié)論。

在此模型下，宇宙勢(shì)函數(shù)相當(dāng)于一個(gè)勢(shì)壘，量子力學(xué)中粒子穿過(guò)勢(shì)壘后只有出射波。根據(jù)量子隧穿模型Vilenkin提出了隧穿邊界條件，得到宇宙波函數(shù)為

圖3和圖4分別畫出了隧穿模型下宇宙波函數(shù)和哈勃參數(shù)的演化規(guī)律。隧穿模型中，波函數(shù)只包含一支出射波（膨脹態(tài)波函數(shù)）。從圖4可看出隧穿模型下，哈勃參數(shù)為常數(shù)，宇宙處于指數(shù)加速膨脹狀態(tài)，這與現(xiàn)在的天文觀測(cè)結(jié)果相一致。

圖3 Vilenkin給出的隧穿波函數(shù)示意圖

圖4 隧穿波函數(shù)給出的哈勃參數(shù)的演化規(guī)律

4 結(jié)論

本文提出了宇宙波函數(shù)的動(dòng)力學(xué)解釋。在此解釋中，宇宙波函數(shù)的概率密度ρ(a) Δa 表示在整個(gè)宇宙演化的時(shí)間T內(nèi)，宇宙處于Δa的概率，其正比于宇宙處于此狀態(tài)的時(shí)間Δt。通過(guò)計(jì)算得到了宇宙波函數(shù)密度與哈勃參數(shù)之間的關(guān)系（式（10）），這樣將宇宙波函數(shù)密度與可觀測(cè)量哈勃參數(shù)聯(lián)系起來(lái)。其次要求波函數(shù)密度收斂，得到了算符次序因子的約束條件。最后，將概率解釋用于無(wú)邊界波函數(shù)和隧穿模型波函數(shù)，計(jì)算表明隧穿模型波函數(shù)更能反映宇宙的演化規(guī)律。