關(guān)于數(shù)列教學(xué)中一點(diǎn)想法

陳焦 沈言生

摘要：本文通過不動點(diǎn)理論的思想方法討論了函數(shù)列的性質(zhì)，并用來解決一類數(shù)列問題。最后我們總結(jié)了解該類問題的一般思想方法。

關(guān)鍵詞：不動點(diǎn)；數(shù)列；函數(shù)列

不動點(diǎn)定理在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支都發(fā)揮了重要作用。對很多微積分里的問題采用不動點(diǎn)的思想，能夠幫助我們簡化問題。

定義1.1設(shè)f（x）在區(qū)間[a，b]上有定義，方程f（x）=x在[a，b]上的解x*稱為f（x）在[a，b]上的不動點(diǎn)。

下面我們用不動點(diǎn)理論來探討在閉區(qū)間上單調(diào)遞減時(shí)函數(shù)序列的簡單性質(zhì)及應(yīng)用。

同理，迭代序列{a2n+1}單調(diào)且c

綜上知，符合條件的c存在，且其中一個(gè)值即為不動點(diǎn)14。

當(dāng)?shù)蛄袑儆谀抽]區(qū)間且迭代函數(shù)在該區(qū)間單調(diào)遞減時(shí)，由性質(zhì)1.2可以知道，迭代序列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別位于序列極限（即不動點(diǎn)）的兩側(cè)，且奇數(shù)項(xiàng)序列和偶數(shù)項(xiàng)序列分別單調(diào)收斂于該不動點(diǎn)，這與迭代函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)增時(shí)是不同的。對于上述兩道例題，便是該種情形，迭代函數(shù)在由兩初值構(gòu)成的閉區(qū)間內(nèi)封閉且遞減，此時(shí)迭代序列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均單調(diào)收斂于不動點(diǎn)。

此時(shí)其幾何意義如圖所示，對于迭代序列{xn}，伴隨著下標(biāo)n的增大，序列{x2n}和{x2n+1}分別從兩側(cè)向不動點(diǎn)x*逼近。

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M]（第4版）.高等教育出版社，2010.

[2]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M]（第2版）.高等教育出版社，2006.

作者簡介：

陳焦，重慶市，重慶師范大學(xué)；沈言生，北京市，北京師范大學(xué)。