基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂重建——“三三三”學(xué)案教學(xué)法

□ 海南省農(nóng)墾中學(xué) 肖世琥

史寧中教授在 “數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)”這個(gè)專題報(bào)告中指出：數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，幫助學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生會(huì)用“數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”“數(shù)學(xué)的思維分析世界”和“數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”，這是制定數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的依據(jù)。具體要素包括:數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六個(gè)維度。而“三三三”學(xué)案教學(xué)法，就是把“知識(shí)點(diǎn)”與“例題”，通過(guò)精心的設(shè)計(jì)，融入到三組系列問(wèn)題中，再通過(guò)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，合作學(xué)習(xí)，教師深入淺出的點(diǎn)撥，達(dá)到提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的良好效果。筆者反思整個(gè)教學(xué)實(shí)踐歷程，從以下三個(gè)維度來(lái)考慮和操作，是可以解決上述問(wèn)題的具體做法：

一、“三三三”學(xué)案教學(xué)法的形成與解讀

從1984年9月至1987年7月，筆者使用中國(guó)科學(xué)院心理研究所盧仲衡教授編寫的《中學(xué)數(shù)學(xué)自學(xué)輔導(dǎo)教材》，按“啟、讀、練、知、結(jié)”五步進(jìn)行教材與教法改革實(shí)驗(yàn)。1987年9月至2003年7月，將“啟、讀、練、知、結(jié)”五步教學(xué)法移植到統(tǒng)編教材，形成了具有個(gè)性化的“啟、讀、議、練、結(jié)”五步教學(xué)法。在2003年9月至今任教高中數(shù)學(xué)以來(lái)，自己一直致力于高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革，尤其是近三年間在高一的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，基于落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的原則性要求，又將五步教學(xué)法發(fā)展為“三三三”學(xué)案教學(xué)法。

第一個(gè)“三”是：課堂教學(xué)有三個(gè)環(huán)節(jié)。第一個(gè)環(huán)節(jié)是“閱讀思考”，第二個(gè)環(huán)節(jié)是“探究新課”，第三個(gè)環(huán)節(jié)是“鞏固提升”。第二個(gè)“三”是：每個(gè)環(huán)節(jié)中，設(shè)計(jì)有梯度的三個(gè)問(wèn)題，使之形成問(wèn)題鏈。第三個(gè)“三”是：針對(duì)三類不同層次的學(xué)生提出不同的學(xué)習(xí)要求，即對(duì)于“閱讀思考”中的三個(gè)問(wèn)題，要求所有學(xué)生在課前要認(rèn)真閱讀教材，一般用15分鐘左右完成；對(duì)于“探究新課”中的三個(gè)問(wèn)題，要求中等以上的學(xué)生全體達(dá)標(biāo),而學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生只需部分達(dá)標(biāo)即可。對(duì)于“鞏固提升”中的三個(gè)問(wèn)題，要求成績(jī)優(yōu)秀學(xué)生達(dá)到目標(biāo),中等水平學(xué)生部分達(dá)標(biāo)，其他學(xué)生不作要求。

關(guān)于學(xué)案中問(wèn)題的設(shè)計(jì),“閱讀思考”是以圍繞新知識(shí)點(diǎn)生長(zhǎng)為主脈，一般有一個(gè)診斷性問(wèn)題，它的作用是承前啟后，既復(fù)習(xí)了舊知識(shí)，又激發(fā)學(xué)生閱讀教材的動(dòng)機(jī)和主動(dòng)性。另外兩個(gè)問(wèn)題最好是學(xué)生通過(guò)閱讀教材中部分段落后，從文本中就能找到，或者是教材練習(xí)中的相關(guān)問(wèn)題，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)課本的能力。在教學(xué)進(jìn)程中，一般通過(guò)提問(wèn)的方式落實(shí)“閱讀思考”中的三個(gè)問(wèn)題，教師從學(xué)生的回答當(dāng)中積累素材，作適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥和講解。在設(shè)計(jì)“探究新課”中的三個(gè)問(wèn)題時(shí)，盡量地將教材中的重、難點(diǎn)，設(shè)計(jì)成有層次的三個(gè)問(wèn)題，通過(guò)師生共同探究，使學(xué)生掌握重、難點(diǎn)知識(shí)的形成和發(fā)展過(guò)程，明確注意點(diǎn)及解題方法。在設(shè)計(jì)“鞏固提升”的三個(gè)問(wèn)題時(shí)，既有檢測(cè)本節(jié)課學(xué)生所學(xué)知識(shí)的相關(guān)性問(wèn)題，也有綜合前面所學(xué)知識(shí)的問(wèn)題，或者適當(dāng)有超越課本內(nèi)容的創(chuàng)新性問(wèn)題。有時(shí)對(duì)最后這個(gè)問(wèn)題可讓學(xué)生課后完成。在實(shí)施過(guò)程中，通過(guò)合作討論，師生互動(dòng)，就是“三三三”學(xué)案教學(xué)法的目的所在。

二、“三三三”學(xué)案教學(xué)法的實(shí)施案例分解

1.方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的學(xué)案。

（1）閱讀思考。掌握函數(shù)零點(diǎn)的概念及沒(méi)有區(qū)間限制的函數(shù)零點(diǎn)的存在問(wèn)題。

【問(wèn)題1】閱讀教材P86至P88探究上面的內(nèi)容，回答：

①方程x2-2x-3=0的根為 __________；

②函數(shù)y=x2-2x-3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)____；

③函數(shù)y=x2-2x-3的零點(diǎn)為_(kāi)_________。

歸納：“方程 f（x）=0 的根”“函數(shù) y=f（x）圖像與 x軸的交點(diǎn)”與“函數(shù) y=f（x）的零點(diǎn)”可互相_______。

【問(wèn)題 2】若函數(shù) f（x）=x+a 的零點(diǎn)為 2，則函數(shù) g（x）=x2-ax的零點(diǎn)為_(kāi)______________。

【問(wèn)題3】若函數(shù)y=x2-x+a存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)___________________ ．

（2）探究新課。探究有區(qū)間限制的函數(shù)零點(diǎn)的存在問(wèn)題。

【問(wèn)題 4】觀察函數(shù) f（x）=x2-2x-3 的圖像，從中可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)在區(qū)間［-2，1］上有零點(diǎn)嗎？其中滿足f（-2）·f（1）_______________；

其中也滿足 f（-2）·f（1）__________ ；

【問(wèn)題 6】函數(shù) f（x）=3x-x2在區(qū)間（-1，0）上有零點(diǎn)嗎？你能說(shuō)明理由嗎？

歸納函數(shù)零點(diǎn)存在定理：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］ 上的圖像是_______的一條曲線，且有_____，則函數(shù) y=f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點(diǎn)。（3）鞏固提升。通過(guò)下列問(wèn)題歸納函數(shù)零點(diǎn)的三種解題思路。

A 3 B 2 C 1 D 0

【問(wèn)題 8】在下列區(qū)間中，函數(shù) f（x）=1nx+2x-6 的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）。

A （0,1） B （1,2） C （2，3） D （3,4）

【問(wèn)題 9】函數(shù) f（x）=ex-x3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）。

A 0 B 1 C 2 D 3

2.“閱讀思考”環(huán)節(jié)的教學(xué)實(shí)錄。

逐一提問(wèn)三位學(xué)生回答“閱讀思考”中的三個(gè)問(wèn)題。（注：學(xué)生1、2、3均為學(xué)困生）

學(xué)生 1：（1）3，-1；（2）（3，0），（-1，0）；（3）3，-1.

教師：你從問(wèn)題1中的三個(gè)小問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生 1： “方程 f（x）=0 的根”“函數(shù) y=f（x）圖像與x軸的交點(diǎn)”與“函數(shù) y=f（x）的零點(diǎn)”可互相轉(zhuǎn)化。（教師同時(shí)板書）

教師：函數(shù)的零點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)方程的根。

學(xué)生 2：0，-2。

教師：怎么求的？

學(xué)生3：根據(jù)題意得，x=2是方程x+a=0的根，求得a=-2，代入得方程x2+2x=0，解方程求得結(jié)果。

教師：這個(gè)問(wèn)題反復(fù)利用函數(shù)的零點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)方程的根來(lái)求解。

教師：如何思考的？

學(xué)生3：根據(jù)題意得，函數(shù)y=x2-x+a圖像與a軸有公共點(diǎn)，利用根的判別式△=1-4a≥0可求得結(jié)果。

教師：這位同學(xué)是將“存在零點(diǎn)”轉(zhuǎn)化成“圖像與軸有公共點(diǎn)”，實(shí)際上，也可以轉(zhuǎn)化成“對(duì)應(yīng)的方程有實(shí)數(shù)根”來(lái)思考。這道具體問(wèn)題的解答，可幫助學(xué)生理解教材 P87中，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的實(shí)數(shù)根與二次函數(shù) y=ax2+bx+c=0（a≠0）與 x軸的交點(diǎn)，及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的相互轉(zhuǎn)化。

3.“探究新課”環(huán)節(jié)的教學(xué)實(shí)錄。

逐一提問(wèn)三位學(xué)生回答“教學(xué)新課”中的三個(gè)問(wèn)題。（注：學(xué)生4、5、6均為中等生）

學(xué)生 4：有零點(diǎn)， f（-2）·f（1）=-20＜0。

教師：你是如何看出有零點(diǎn)的？請(qǐng)同學(xué)們看教材P87探究中的內(nèi)容。

學(xué)生 4： 函數(shù) f （x）=x2-2x-3圖像在區(qū)間［-2，1］上與x軸有交點(diǎn)。

教師：函數(shù) f（x）=x2-2x-3 在區(qū)間［-2，1］上，滿足端點(diǎn)的函數(shù)值互異，即在x軸上方有圖像，在x軸下方也有圖像，并且穿越了x軸，自然有交點(diǎn)。

學(xué)生 5：沒(méi)有零點(diǎn)， f（-2）·f（1）=-2＜0。

教師：這里也滿足端點(diǎn)的函數(shù)值互異，怎么就沒(méi)有零點(diǎn)呢？

教師：若類似于問(wèn)題 4、問(wèn)題 5，先畫函數(shù) f（x）=3x-x2在區(qū)間（-1，0）上的圖像就難辦了，我們就只能用端點(diǎn)的函數(shù)值互異，且滿足在區(qū)間（-1，0）上函數(shù)有意義來(lái)判斷了，請(qǐng)你再填寫函數(shù)零點(diǎn)存在定理。

學(xué)生 6：若函數(shù) y=f（x）在區(qū)間［a，b］上圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，且有 f（a）·f（b）＜0，則函數(shù) y=f（x）在區(qū)間上（a，b）有零點(diǎn)。（教師同時(shí)板書）

教師：也就是說(shuō)函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間上有定義，且滿足端點(diǎn)的函數(shù)值互異，則在開(kāi)區(qū)間上就有零點(diǎn)；但沒(méi)有回答有多少個(gè)零點(diǎn)，是不是只有一個(gè)呢？如果端點(diǎn)的函數(shù)值同號(hào)，是不是就沒(méi)有零點(diǎn)呢？請(qǐng)同學(xué)們課后去討論一下這兩個(gè)問(wèn)題。

4.“鞏固提升”環(huán)節(jié)的教學(xué)實(shí)錄。

逐一提問(wèn)三位學(xué)生回答“鞏固提升”中的三個(gè)問(wèn)題．（注：學(xué)生 7、8、9 均為優(yōu)秀生）

學(xué)生 7：選 B。

教師：你是如何求解的？

學(xué)生7：當(dāng)x≤0時(shí)，解方程x2+2x-3=0得x=-3或 x=1（舍去）；當(dāng) x＞0 時(shí)，解方程-2+1n x=0 得，x=e2。

教師：你能歸納一下本題的解題思路嗎？

學(xué)生7：通過(guò)解方程求零點(diǎn)。（教師同時(shí)板書）

教師：函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，首先是考慮通過(guò)解方程求零點(diǎn)；同學(xué)們課后可以畫出函數(shù)圖像，觀察其圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)求解。

學(xué)生 8：選 C。

教師：你是如何求解的？

學(xué)生8：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理，計(jì)算端點(diǎn)的函數(shù)值，f（1）=-4＜0，f（2）=1n2-2＜0,f（3）=1n3＞0。

教師：你為什么不通過(guò)解方程求解呢？

學(xué)生8：方程1n x+2x-6=0解不了。

教師：我們把1n x+2x-6=0叫做超越方程（即超出我們能力范圍內(nèi)的方程）；有同學(xué)會(huì)問(wèn)，在其他區(qū)間內(nèi)還可能有零點(diǎn)呀！請(qǐng)同學(xué)們看教材P88例1，教材中是通過(guò)列表分析函數(shù) f（x）=1n x+2x-6 在（0，+∞）上是單增的；實(shí)際上，y=1n x與 y=2x-6在（0，+∞）上均單增，由“和函數(shù)”的單調(diào)性可知 f（x）=1n x+2x-6 在（0，+∞）上也單增。本題的解題思路是：利用端點(diǎn)函數(shù)值互異，估計(jì)零點(diǎn)的范圍（常針對(duì)單調(diào)函數(shù)而言）。（教師同時(shí)板書）

學(xué)生9：好像是選B。

教師：你是如何思考的？能通過(guò)解方程求零點(diǎn)嗎？能利用端點(diǎn)函數(shù)值互異，估計(jì)零點(diǎn)的范圍嗎？

學(xué)生9：超越方程不能解，不是單調(diào)函數(shù)，不好估計(jì)零點(diǎn)的范圍。

教師：將方程ex-x3=0變形為ex=x3，方程實(shí)根的個(gè)數(shù)相當(dāng)于函數(shù)y=ex與y=x3圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手在同一直角坐標(biāo)系中畫這兩個(gè)函數(shù)的圖像。

學(xué)生畫圖，教師巡視。發(fā)現(xiàn)有些同學(xué)兩個(gè)圖像沒(méi)有交點(diǎn)，有些同學(xué)只有一個(gè)交點(diǎn)，只有少數(shù)同學(xué)有兩個(gè)交點(diǎn)，展示有兩個(gè)交點(diǎn)的同學(xué)的解法。

教師：注意當(dāng) x=3 時(shí)，ex＜x3；當(dāng) x=5 時(shí)，ex＞x3；且在后面函數(shù)y=ex是“爆炸式增長(zhǎng)”，所以兩個(gè)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，正確選C。本題的解題思路是：分成兩個(gè)函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)得函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)。