抓住應(yīng)用本質(zhì) 厘清錯誤本因

吳曉剛

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)目的就是為了解決生活中的問題.同學(xué)們在面對一些實際問題時，要有這樣的應(yīng)用意識：分析問題，尋找其中的等量關(guān)系，運用方程模型來解決問題.而當我們用一元二次方程來解決問題時，錯誤就相應(yīng)增多了.本文旨在幫助同學(xué)們厘清這些錯誤的本因，準確地解決這類實際問題.

例1（2017·西藏）某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪的傳播就會有144臺電腦被感染.請你用學(xué)過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？

【錯解】設(shè)每輪感染中平均一臺電腦會感染x臺電腦，根據(jù)題意得：x2=144，解得：x1=12，x2=-12（不合題意，舍去）.答：每輪感染中平均一臺電腦會感染12臺電腦.

【剖析】每輪感染中平均一臺電腦會感染x臺電腦，錯解中兩輪后感染的臺數(shù)為x·x=x2，漏掉了原來感染的電腦.而實際上原來有一臺電腦被感染，一輪感染x臺電腦，共有（x+1）臺電腦被感染，則第二輪被感染的電腦為（1+x）x臺，由此得到總共被感染的電腦為1+x+（1+x）x臺.

【正解】設(shè)每輪感染中平均一臺電腦會感染x臺電腦，根據(jù)題意得：1+x+（1+x）x=144，整理得：x2+2x-143=0，解得：x1=11，x2=-13（不合題意，舍去）.答：每輪感染中平均一臺電腦會感染11臺電腦.

【點評】本題在解答時要抓住的本質(zhì)是原來被感染的電腦的臺數(shù)，這樣才能準確得到下一輪被感染的電腦的臺數(shù)及總臺數(shù).

例2某工廠從今年1月份起使用新設(shè)備，當月生產(chǎn)收入達100萬元，1至3月份生產(chǎn)收入以相同的百分率逐月增長，累計達364萬元.求使用新設(shè)備后，2月、3月生產(chǎn)收入的月增長率.

【錯解】設(shè)每月的增長率為x，由題意得：100（1+x）2=364，解得x≈0.91，或x≈-2.91（不合題意舍去）.答：每月的增長率是91%.

【剖析】本題的錯誤是將364萬元當成了3月份的生產(chǎn)收入，而實質(zhì)上364萬元是1至3月份的總收入.題目條件中“累計”一詞已明確告知.1月份生產(chǎn)收入100萬元，每月的增長率為x，則2月份收入為100（1+x）萬元，3月份收入為100（1+x）2萬元，三個月的收入相加為總收入364萬元.

【正解】設(shè)每月的增長率為x，由題意得：100+100（1+x）+100（1+x）2=364，解得x=0.2，或x=-3.2（不合題意，舍去）.答：每月的增長率是20%.

【點評】本題在解答時應(yīng)抓住的本質(zhì)是“累計”達到的收入，忽視對關(guān)鍵詞的理解會讓你“滿盤皆輸”.

例3某商店進了一批服裝，每件成本為50元，如果按每件60元出售，可銷售800件；如果按每件提價0.5元出售，其銷售量就減少10件.如果商店銷售這批服裝要獲得利潤12000元，同時要使顧客得到實惠，那么這種服裝售價應(yīng)定為多少元？

【錯解1】設(shè)這種服裝售價應(yīng)為x元，由題意，得（x-50）［800-10×0.5×（x-60）］=12000.

【錯解2】設(shè)這種服裝售價應(yīng)為x元，由題意，得解這個方程，得x1=70，x2=80.答：每件服裝定價為70元或80元.

【剖析】對于每件服裝的利潤，同學(xué)們沒有問題，但對于服裝的銷售數(shù)量，很多同學(xué)不知所云，導(dǎo)致出現(xiàn)錯解1中的情況.同學(xué)們思考的障礙在于“如果按每件提價0.5元出售，其銷售量就減少10件”，應(yīng)當把它轉(zhuǎn)化為“每件提價1元出售，其銷售量就減少20件”.有些同學(xué)碰上小數(shù)就發(fā)怵，如果條件是“如果按每件提價5元出售，其銷售量就減少100件”，他們就沒問題了.錯解2中沒有抓住“要使顧客得到實惠”這句話，沒有將定價高的答案舍去.

【正解】設(shè)這種服裝售價應(yīng)為x元，由題意，得解這個方程，得x1=70，x2=80.∵商店要使顧客得到實惠，∴定價為每件80元不合題意，應(yīng)舍去.答：每件服裝定價為70元.

【點評】本題在解答時應(yīng)抓住的本質(zhì)是服裝銷售數(shù)量的關(guān)系式，這個關(guān)系式的實質(zhì)內(nèi)涵是隨著售價的變化，銷售數(shù)量是如何變化的.本題另一個關(guān)鍵是驗根，一元二次方程都有兩個根，在求解無誤的前提下也必須要檢驗，要看這兩個根是否有實際意義，是否滿足題目限制條件.

小試牛刀

1.如圖，利用一面墻（墻EF最長可利用28米），圍成一個矩形花園ABCD.與墻平行的一邊BC上要預(yù)留2米寬的入口（如圖中MN所示，不用砌墻）.圍花園的材料長60米，當矩形的長BC為多少米時，矩形花園的面積為300平方米？

2.某香蕉經(jīng)營戶以4元/kg的價格購進一批香蕉，以6元/kg的價格出售，每天可售出200kg.為了盡快售罄，該經(jīng)營戶決定降價促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種香蕉每降價0.1元/kg，每天可多售出50kg.另外，經(jīng)營期間每天還需支出固定成本50元.該經(jīng)營戶要想每天盈利650元，應(yīng)將每千克香蕉的售價降低多少元？