張向東

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識體系的基石，是理解并掌握數(shù)學(xué)理論和方法的基礎(chǔ)。初中數(shù)學(xué)教材常用非嚴(yán)格的語言（范例+描述）對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行簡潔、形象、定性的陳述，我們稱之為描述性定義。如二元一次方程組的概念，湘教版是這樣定義的：像這樣，把兩個含有相同未知數(shù)的二元一次方程（或者一個二元一次方程，一個一元一次方程）聯(lián)立起來組成的方程組，叫做二元一次方程組。

從數(shù)學(xué)科學(xué)的角度講，每個概念的表述應(yīng)該是嚴(yán)密、精確的，但從數(shù)學(xué)教育的角度來看，對一些概念給出嚴(yán)格的定義是沒必要的，有時也是不可能的，如二次根式、函數(shù)的定義。如何權(quán)衡二者的關(guān)系，蘇步青先生有一句名言：中小學(xué)教材可以混而不錯。不錯是大前提，關(guān)注的是大方向、本質(zhì)；混是放松嚴(yán)格性的要求，現(xiàn)階段講不清楚的問題用寫意的方式說明，但仍不失其真。因此，教師們不妨從以下兩個方面來理解描述性定義的適當(dāng)性。

1.從當(dāng)前的教育需求看描述性定義夠用。

2.從學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)實(shí)看描述性定義好用。

數(shù)學(xué)概念具有抽象概括性、嚴(yán)密的邏輯關(guān)系以及運(yùn)動、變化、聯(lián)系的思想等特性，而初中學(xué)生抽象概括水平不高、邏輯思維能力偏低、易受思維定式束縛。綜合考慮數(shù)學(xué)概念的特性和學(xué)生的可接受性，對一些概念給出描述性的定義，學(xué)生可以通過閱讀通俗易懂、簡潔明了的語言，結(jié)合范例和描述，從具象到抽象，快速領(lǐng)悟概念的實(shí)質(zhì)。

總之，描述性定義從數(shù)學(xué)教育的立場上尊重了學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)實(shí)與學(xué)習(xí)需求，雖然從數(shù)學(xué)科學(xué)的立場上有失嚴(yán)謹(jǐn)性，但整體上有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此在初中階段對一些概念僅給出描述性定義是適當(dāng)?shù)?，也是必需的?/p>

課程改革從“一綱一本”到“一標(biāo)多本”，教材觀也隨之發(fā)生變化。在統(tǒng)一教材的時代，教科書是教學(xué)活動的唯一載體，教科書在教學(xué)過程中是神圣的、不可替代的。在“一標(biāo)多本”的時代，教科書不再是包辦一切的登山纜車，而是學(xué)生攀登科學(xué)高峰的助力工具；教材不再是固化定型的統(tǒng)一模具，而是培養(yǎng)人才的重要載體之一；所選用的教材不再是“圣經(jīng)”，書中的結(jié)論也不再是“圣旨”。

教學(xué)實(shí)踐中，不少教師認(rèn)為概念的定義應(yīng)該是百密而無一疏。經(jīng)常有教師對教材中諸如二（三）元一次方程組、相似等概念的描述性定義提出異議，甚至有教師囿于描述性定義的文字內(nèi)容進(jìn)行錯誤判斷。教師只有更新教材觀，了解描述性定義的特點(diǎn)，才能消除因描述性定義的嚴(yán)謹(jǐn)性不夠帶來的教學(xué)困擾。

對于概念的描述性定義的教學(xué)，教師既要立足當(dāng)前，關(guān)注概念在當(dāng)下教學(xué)的地位與作用，滿足學(xué)生現(xiàn)時數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需求；又要著眼于長遠(yuǎn)，關(guān)注概念的本源與在學(xué)生學(xué)習(xí)歷程中的流向，有利于學(xué)生后續(xù)在數(shù)學(xué)上的發(fā)展。

引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分運(yùn)用不同形式的定義。初中數(shù)學(xué)教材中，既有描述性定義界定的概念，又有通過歸納類比或抽象給出嚴(yán)格定義的概念，如平行四邊形的定義。嚴(yán)格定義中給出了充要條件，其逆命題也是成立的。描述性定義因嚴(yán)謹(jǐn)性不夠，要防止學(xué)生死搬硬套定義；對于接受能力強(qiáng)的學(xué)生提出有關(guān)延伸性問題，教師要站在教材編寫的角度與更高的知識高度對學(xué)生進(jìn)行說明，激勵學(xué)生通過下一階段的學(xué)習(xí)提升認(rèn)識。

引導(dǎo)學(xué)生全面準(zhǔn)確地認(rèn)識描述性定義。教師自身要站在數(shù)學(xué)科學(xué)的高度把握描述性定義的本質(zhì)，在課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生由表及里，由局部到整體形成全面準(zhǔn)確的認(rèn)識。首先要結(jié)合范例和描述了解概念的實(shí)質(zhì)，再根據(jù)概念的形成或同化過程細(xì)細(xì)品味其未盡之意。如人教版關(guān)于一元二次方程是這樣定義的：

像這樣，等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

上述定義并未涉及一元二次方程的判斷前提。在概念的形成過程中，教材（含章節(jié)前言）呈現(xiàn)了3個實(shí)例，得到了3個方程x2+2x-4=0、x2-75x+350=0、x2-x=56。以上3個方程都是經(jīng)過整理（移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)）后所成。結(jié)合概念的形成過程，就會知道判斷一個方程是否為一元二次方程的前提是“方程經(jīng)過整理后”。

引導(dǎo)學(xué)生逐步深入地認(rèn)識描述性定義。對于描述性定義，隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生對所刻畫的數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識由單一到全面、從模糊到精確。在教學(xué)中，可以通過后續(xù)相關(guān)概念的學(xué)習(xí)，從概念的比較與聯(lián)系中矯正錯誤、深化認(rèn)識。

首先要引導(dǎo)學(xué)生抓住同類概念的共同屬性。如湘教版關(guān)于相似是這樣定義的：“直觀上，把一個圖形放大（或縮?。┑玫降膱D形與原圖形是相似的?！倍x本身只是描述這樣的圖形是相似的，但學(xué)生易錯認(rèn)為相似的圖形一定是大小不等的。在后續(xù)相似三角形的學(xué)習(xí)中，學(xué)生就會認(rèn)識到全等形也是相似形，這樣上下結(jié)合能幫助學(xué)生抓住相似形的本質(zhì)屬性，防止以偏概全。

其次要引導(dǎo)學(xué)生對概念的邏輯關(guān)系進(jìn)行分析。如在學(xué)習(xí)矩形、正方形后，對二者的關(guān)系進(jìn)行辨析，完善小學(xué)關(guān)于長方形的認(rèn)識，正確認(rèn)識長方形的長與寬的大小關(guān)系。

恰當(dāng)處理相關(guān)概念的訓(xùn)練問題。首先，描述性定義是為了便于學(xué)生認(rèn)識、方便交流，不必傾注過多精力在描述性定義的應(yīng)用訓(xùn)練中，對這些概念的內(nèi)涵與外延進(jìn)行拓展訓(xùn)練就更沒有教學(xué)意義，如下列問題就不宜作為學(xué)生訓(xùn)練與教學(xué)評價材料。

教材中稱整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，從更高的視角看，整數(shù)也是分?jǐn)?shù)，整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)的說法是欠妥的。教材中稱單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式，從更高的視角看，單項(xiàng)式可以看作多項(xiàng)式。教材之所以這樣表述，是為了使學(xué)生在認(rèn)知可能的前提下對有理數(shù)、整式的意義有一個初步的認(rèn)識，便于學(xué)生掌握。實(shí)際教學(xué)中既要關(guān)注其對立性，又要關(guān)注其統(tǒng)一性，過于強(qiáng)化對立性，不利于培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維?！颈疚南岛鲜〗逃茖W(xué)“十三五”規(guī)劃立項(xiàng)課題“初中數(shù)學(xué)‘自主·深度教學(xué)的實(shí)踐研究”（課題號：XJK016BZXX040）的階段性成果】

（作者單位：沅江市教育局教育研究室）