俞燎宏，榮見(jiàn)華，唐承鐵，李方義

1.長(zhǎng)沙理工大學(xué) 汽車(chē)與機(jī)械工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410114 2.宜春學(xué)院 物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院，宜春 336000 3.長(zhǎng)沙理工大學(xué) 工程車(chē)輛安全性設(shè)計(jì)與可靠性技術(shù)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410114

結(jié)構(gòu)和材料優(yōu)化設(shè)計(jì)已從傳統(tǒng)的單一材料擴(kuò)展到了多相材料的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。Thomsen[1]較早采用均勻化方法研究了兩相材料拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。Yin和Ananthasuresh[2]將峰值函數(shù)引入到SIMP (Solid Isotropic Material with Penalty)方法，并開(kāi)展了柔性機(jī)構(gòu)多相材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。孫士平和張衛(wèi)紅[3-4]提出了多相材料微結(jié)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，并針對(duì)多相材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中出現(xiàn)的棋盤(pán)格現(xiàn)象，提出了新的周長(zhǎng)約束控制方法。Gao和Zhang[5]提出了以質(zhì)量為約束的多相材料優(yōu)化模型，并對(duì)多相材料的插值模型進(jìn)行了比較研究。Stegmann和 Lund[6]提出了一種用于復(fù)合材料鋪層優(yōu)化的離散材料優(yōu)化(Discrete Material Optimization，DMO)方法。在該方法中，將離散的纖維方向特征化為一種材料，DMO插值方案也是SIMP的擴(kuò)展。而后，Hvejsel和Lund 通過(guò)統(tǒng)一參數(shù)化將SIMP和RAMP (Rational Approximation of Material Properties)推廣到多相材料結(jié)構(gòu)優(yōu)化[7]。Blasques等[8-9]利用改進(jìn)的SIMP多相材料插值模型，開(kāi)展了復(fù)合材料層合梁的多相材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。由于在該類(lèi)基于SIMP的多相材料插值的模型[6-9]中，剛度矩陣明顯存在同一單元的不同設(shè)計(jì)變量的乘積項(xiàng)，故采用可分離和凸展開(kāi)的移動(dòng)漸近線方法(MMA或GCMMA)很難求解含2個(gè)以上約束的多相材料拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。最近，DMO拓展到了層壓復(fù)合材料的穩(wěn)健屈曲優(yōu)化和并發(fā)的多尺度優(yōu)化，并形成了較完善的材料插值模型和求解框架[10-12]。Stegmann和 Lund[6]指出DMO模型的一個(gè)困難是優(yōu)化問(wèn)題的總體設(shè)計(jì)空間為非凸空間，并采用僅有2個(gè)單元的簡(jiǎn)單復(fù)合材料單層板設(shè)計(jì)例子展示了優(yōu)化問(wèn)題的多解性、優(yōu)化解與初始解的關(guān)聯(lián)性。對(duì)于擁有大量變量的多相材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，采用現(xiàn)有基于SIMP的方法進(jìn)行多相材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化求解難于獲得全局優(yōu)化解[6,12-13]。

Tavakoli和Mohseni[14]提出了交替主動(dòng)相算法求解多相材料優(yōu)化問(wèn)題，先將多相材料優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為序列二元相材料優(yōu)化子問(wèn)題，然后采用傳統(tǒng)優(yōu)化準(zhǔn)則法進(jìn)行求解。之后，Tavakoli進(jìn)一步改進(jìn)該方法，并求解了彈性動(dòng)載荷下的復(fù)合材料設(shè)計(jì)問(wèn)題[15]。Lieu和Lee[16]基于序列二元相拓?fù)鋬?yōu)化子問(wèn)題求解思路和等幾何分析措施，研究了多相材料多分辨率的結(jié)構(gòu)柔順度拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。Park和Sutradhar[17]研究了三維多相材料多分辨率的結(jié)構(gòu)柔順度拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。在上述方法的序列二元相材料優(yōu)化子問(wèn)題模型中，僅考慮了一相材料體積約束，且沒(méi)有涉及到對(duì)不同初始優(yōu)化拓?fù)涞亩鄻有栽O(shè)計(jì)研究和比較。Zuo和Saitou[18]提出了序列多相材料SIMP插值方法，考慮質(zhì)量和成本為約束，開(kāi)展了結(jié)構(gòu)柔順度最小化的多相材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。杜義賢等[19]將該模型推廣到了多相材料柔性機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，然而該模型使得結(jié)構(gòu)性能函數(shù)在多相材料懲罰模型曲線的材料變相點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不存在。賈嬌等[20]提出了一種基于多相材料的一體化模型，研究了穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。張憲民等[21]提出一種并行策略，研究了多相材料柔順機(jī)構(gòu)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。龍凱等[22]在結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)要求下，提出了基于多相材料的動(dòng)態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化方法。另外, 還有水平集方法[23-24]、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法[25]和相場(chǎng)法[26-27]也用于多相材料的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。

多相材料連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化是典型的非線性問(wèn)題，存在大量的局部解[6,28]。從而無(wú)法確保基于凸規(guī)劃的梯度方法優(yōu)化獲得其全局最優(yōu)解。依據(jù)工程實(shí)際需求，王博等[28]提出了一種連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化多樣性設(shè)計(jì)方法。但不同初始拓?fù)鋵?dǎo)致優(yōu)化解差異性的研究文獻(xiàn)較少。如何獲得多相材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的多個(gè)不同的局部解，并最終得到較好的優(yōu)化解，值得深入研究。本文基于近年來(lái)榮見(jiàn)華等提出的可行域調(diào)整方法[29-31]，構(gòu)建與原優(yōu)化問(wèn)題等效的多個(gè)含2個(gè)主動(dòng)材料相的拓?fù)鋬?yōu)化子問(wèn)題，改進(jìn)交替主動(dòng)相算法，并采用光滑化對(duì)偶算法求解。最后，通過(guò)算例驗(yàn)證本文方法的可行性和穩(wěn)健性, 并說(shuō)明本文方法解決多相材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題的工程價(jià)值。

1 多相材料的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型

1.1 多相材料插值模型

參考文獻(xiàn)[29-31]，采用RAMP模型，構(gòu)建單元體積和單元?jiǎng)偠染仃嚨谋磉_(dá)式為

(1a)

(1b)

(2)

(3)

(4)

1.2 多相材料拓?fù)鋬?yōu)化模型及其近似模型

考慮多工況作用，則第l組工況載荷作用下的結(jié)構(gòu)柔順度Cl(ρ)表達(dá)式為

l=1,2,…,L

(5)

式中：K(ρ)為結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣；Fl為第l組工況載荷；lu為第l組工況載荷作用下所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)位移向量；L為工況數(shù)。

借鑒文獻(xiàn)[32]，采用η范數(shù)凝聚函數(shù)將多個(gè)工況的結(jié)構(gòu)柔順度優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)單目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題。以結(jié)構(gòu)柔順度最小化為目標(biāo)、實(shí)體材料體積為約束的多相材料拓?fù)鋬?yōu)化模型表示為

(6)

為了增強(qiáng)優(yōu)化算法的尋優(yōu)能力和穩(wěn)健性，參考文獻(xiàn)[31]，引進(jìn)變體積限可行域調(diào)整技術(shù)，將優(yōu)化模型式(6)轉(zhuǎn)化為近似優(yōu)化模型，即

(7)

(8a)

(8b)

式中：ρs,(k)為第k外循環(huán)迭代步求解獲得的結(jié)構(gòu)中第s相材料的拓?fù)渥兞肯蛄?；βs為經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，其取值范圍為[0.002, 0.02]。

(9)

(10)

式(9)中，結(jié)構(gòu)柔順度的2階導(dǎo)數(shù)采用MMA近似式[33-34]近似獲得。為了處理數(shù)值不穩(wěn)定性問(wèn)題，采用文獻(xiàn)[25,30]中的靈敏度過(guò)濾方法對(duì)上述目標(biāo)函數(shù)的1階、2階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行過(guò)濾。

2 改進(jìn)的交替主動(dòng)相算法及求解優(yōu)化

2.1 改進(jìn)的交替主動(dòng)相算法

(11a)

(11b)

(12)

將優(yōu)化模型式(7)的求解轉(zhuǎn)化為式(13)二元相拓?fù)鋬?yōu)化子模型的求解，

(13)

如果a和b兩相材料均為實(shí)體材料。根據(jù)式(9)，結(jié)構(gòu)柔順度對(duì)主動(dòng)設(shè)計(jì)變量的1階導(dǎo)數(shù)和2階導(dǎo)數(shù)可分別表示為

(14)

(15)

根據(jù)式(10)，材料體積對(duì)主動(dòng)設(shè)計(jì)變量的1階導(dǎo)數(shù)和2階導(dǎo)數(shù)可分別表示為

(16)

(18)

(19)

如果第a相材料為實(shí)體材料，第b相材料為空洞材料。根據(jù)式(9)，結(jié)構(gòu)柔順度對(duì)主動(dòng)設(shè)計(jì)變量的1階導(dǎo)數(shù)和2階導(dǎo)數(shù)分別表示為

(20)

(21)

材料體積對(duì)主動(dòng)設(shè)計(jì)變量的1階導(dǎo)數(shù)和2階導(dǎo)數(shù)，可由式(16)和式(17)得到。

因此，二元相拓?fù)鋬?yōu)化子模型式(13)中近似目標(biāo)函數(shù)和材料體積可分別表示為

(22)

(23)

如果第b相材料為空洞相材料，則只有與第a相材料相關(guān)的體積約束和其近似函數(shù)。

2.2 拓?fù)鋬?yōu)化子模型的求解

參考文獻(xiàn)[29-31]，將人工變量w=[w1w2…wmλ]T引入近似優(yōu)化子模型式(13)。在y0鄰域范圍內(nèi)可形成與優(yōu)化子模型式(13)近似等效的m(m-1)/2個(gè)二次規(guī)劃優(yōu)化模型，即

(24)

式中：r+1表示第k+1外循環(huán)迭代步兩相材料優(yōu)化設(shè)計(jì)迭代的組號(hào)；第k+1外循環(huán)迭代步的前(m-1)(m-2)/2組兩相材料優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，mλ=2；第k+1外循環(huán)迭代步的最后的m-1組兩相材料優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，mλ=1。其中，

(25)

s=a,b

(26)

為了減少計(jì)算量，采用光滑化對(duì)偶方法求解優(yōu)化模型式(24)，其求解詳細(xì)步驟見(jiàn)文獻(xiàn)[29]。

當(dāng)滿足式(27a)和式(27b)時(shí)，優(yōu)化迭代收斂。

(27a)

(27b)

式中：εs和ε為收斂參數(shù)，取εs=ε=0.001。

2.3 交替主動(dòng)相優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

假設(shè)結(jié)構(gòu)由m相材料(含空洞材料)組成，按材料彈性模量值從大到小的順序，依次用數(shù)字1, 2, …,m表示材料相。在交替主動(dòng)相求解過(guò)程中，首先，選取第1相和第2相材料，記a=1,b=2，形成二元相拓?fù)鋬?yōu)化子模型，采用光滑化對(duì)偶算法求解該子模型，更新設(shè)計(jì)變量。然后，判斷b=m是否成立，如果不成立，則設(shè)置b=b+1，形成新的二元相拓?fù)鋬?yōu)化子模型，求解并更新設(shè)計(jì)變量；如果b=m成立，則判斷a=m-1是否成立，如果不成立，則設(shè)置a=a+1及b=a+1，形成另一個(gè)新的二元相拓?fù)鋬?yōu)化子模型，求解并更新設(shè)計(jì)變量；以此類(lèi)推。最后，如果a=m-1成立，則判斷優(yōu)化的收斂性。結(jié)構(gòu)中所有材料按照上述方式兩兩組合，依次求解優(yōu)化，最后達(dá)到多相材料的合理布局。交替主動(dòng)相優(yōu)化設(shè)計(jì)流程圖如圖1所示。

采用文獻(xiàn)[14]中的方法進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，也需按材料彈性模量值從大到小的順序，依次用數(shù)字1, 2, …,m表示不同材料相。如果m=3，第1相材料必須設(shè)為彈性模量最大的材料，第2相材料設(shè)為彈性模量次之的材料，第3相材料設(shè)為彈性模量最小的材料。如果調(diào)換上述材料相順序，則文獻(xiàn)[14]的程序?qū)o(wú)法運(yùn)行。采用本文方法進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，按照上述主動(dòng)相方案和材料相順序進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，獲得的優(yōu)化結(jié)果更佳。如果調(diào)換上述材料相順序，獲得的優(yōu)化結(jié)果相對(duì)較差。

采用改進(jìn)的交替主動(dòng)相方案，將2個(gè)材料體積約束與式(8)變體積約束限配合使用，使得該方法適用于不同的初始拓?fù)渥兞浚鰪?qiáng)了該方法對(duì)多相材料初始拓?fù)溥x擇的靈活性，而且優(yōu)化過(guò)程更為穩(wěn)健。與單相材料的拓?fù)鋬?yōu)化方法以及沒(méi)有兩相主動(dòng)相材料子模型分解的多相材料優(yōu)化問(wèn)題的求解方法相比，該方法只需要增加額外的內(nèi)循環(huán)迭代步。

3 優(yōu)化算例

3.1 單工況多相材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

采用文獻(xiàn)[14]中的梁式結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)算例，用來(lái)驗(yàn)證本文方法的可行性和有效性，并研究本文方法獲得多個(gè)局部?jī)?yōu)化解及尋找較好的優(yōu)化解的能力。圖2為梁式結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域，采用無(wú)量綱表示，長(zhǎng)度L=96，高度H=48，厚度為1。在結(jié)構(gòu)底邊的點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C鉛垂方向分別作用載荷F、2F和F，其中F=1。將圖2所示的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域劃分為96×48個(gè)等尺寸四節(jié)點(diǎn)平面應(yīng)力單元。

本算例設(shè)置2個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，在優(yōu)化問(wèn)題1中，假設(shè)結(jié)構(gòu)由兩相實(shí)體材料和一相空洞材料組成。第1相和第2相實(shí)體材料的彈性模量分別為2.0和1.0，第3相材料(空洞材料)的彈性模量設(shè)為1.0×10-9。所有材料的泊松比為0.3。第1相和第2相實(shí)體材料目標(biāo)體積比分別預(yù)定為35%和25%。

對(duì)于優(yōu)化問(wèn)題2，假設(shè)結(jié)構(gòu)由三相實(shí)體材料和一相空洞材料組成。第1相、第2相和第3相實(shí)體材料的彈性模量分別為9.0、3.0和1.0，第4相材料(空洞材料)的彈性模量設(shè)為1.0×10-9。所有材料的泊松比為0.3。第1相、第2相和第3相實(shí)體材料目標(biāo)體積比分別預(yù)定為20%、10%和10%。

文獻(xiàn)[28]提出了一種連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化多樣性設(shè)計(jì)方法，在該方法中，將目標(biāo)函數(shù)定義為多個(gè)設(shè)計(jì)構(gòu)型的目標(biāo)性能加權(quán)之和，加入多樣性度量的約束條件，并形成了基本的優(yōu)化列式和求解方法?？紤]到多相材料連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題的多解性[6,28]，本算例設(shè)置了不同的初始拓?fù)渥兞?，?gòu)建多個(gè)不同的優(yōu)化初始拓?fù)洌芯坎煌跏纪負(fù)鋵?duì)優(yōu)化結(jié)果的影響。采用本文和文獻(xiàn)[14]的方法求解本算例時(shí)，過(guò)濾長(zhǎng)度尺寸rmin=3.0Δmin(Δmin為結(jié)構(gòu)所有單元邊長(zhǎng)的最小尺寸)。

由表1可見(jiàn)，基于8個(gè)不同的初始多相材料結(jié)構(gòu)拓?fù)?，采用文獻(xiàn)[14]方法程序獲得的8個(gè)局部最優(yōu)多相材料結(jié)構(gòu)構(gòu)型相似度很大，僅能找出3種有細(xì)微差別的局部最優(yōu)多相材料結(jié)構(gòu)拓?fù)?見(jiàn)表1中(a)、(b)和(d))，且其結(jié)構(gòu)柔順度大小相差不大。即文獻(xiàn)[14]方法程序分別從8個(gè)不同的初始多相材料結(jié)構(gòu)拓?fù)溟_(kāi)始優(yōu)化設(shè)計(jì)，最后僅僅得到3種有細(xì)微差異的局部最優(yōu)多相材料結(jié)構(gòu)構(gòu)型。究其原因，采用基于準(zhǔn)則法的傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化求解過(guò)程中，設(shè)計(jì)變量的變化范圍僅由移動(dòng)限參數(shù)move控制[35]。當(dāng)移動(dòng)限參數(shù)move取小值，比如0.01, 傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化方法[35]可以確保兩外循環(huán)迭代步的拓?fù)渥兞渴噶吭谝恍〉泥徲騼?nèi)變化，從而可確保結(jié)構(gòu)柔順度的1階近似式有較好的精度，即傳統(tǒng)準(zhǔn)則迭代式所用的結(jié)構(gòu)柔順度導(dǎo)數(shù)有較好的精度[35]。然而，當(dāng)移動(dòng)限參數(shù)move取小值時(shí)，基于傳統(tǒng)準(zhǔn)則迭代式獲得的優(yōu)化拓?fù)渫嬖诓黄谕纳倭炕叶刃?gòu)件，即該構(gòu)件的偽密度變量處于0和1之間，很難從最后拓?fù)渲刑崛M足約束要求的清晰優(yōu)化拓?fù)鋄35-36]。故Sigmund等建議移動(dòng)限參數(shù)move取較大的值[35-36]，比如0.05或者更大的值。由于一般初始拓?fù)溥h(yuǎn)離最優(yōu)拓?fù)?，?dāng)移動(dòng)限參數(shù)move取較大的值時(shí)，傳統(tǒng)準(zhǔn)則迭代式使得初始迭代的兩外循環(huán)迭代步的拓?fù)渥兞渴噶砍２惶幱谝恍〉泥徲騼?nèi)，其結(jié)構(gòu)柔順度的1階近似式誤差很大，即傳統(tǒng)準(zhǔn)則迭代式所用的結(jié)構(gòu)柔順度導(dǎo)數(shù)誤差也很大。因此，初始的一些迭代步獲得的解在一定程度上喪失了優(yōu)化特性。實(shí)質(zhì)上，文獻(xiàn)[14]方法繼承了該特點(diǎn)。盡管文獻(xiàn)[14]方法的程序是一個(gè)教育版程序，但它基本反映了文獻(xiàn)[14]方法的特征。

圖3給出了與表1中(a)～(e)相對(duì)應(yīng)的起始幾個(gè)外循環(huán)迭代步的結(jié)構(gòu)柔順度變化曲線圖。圖4給出了采用相應(yīng)于表1的不同初始多相材料拓?fù)浜臀墨I(xiàn)[14]方法求解優(yōu)化問(wèn)題1獲得的第8外循環(huán)迭代步的多相材料結(jié)構(gòu)拓?fù)浼捌淙犴樁戎怠?/p>

表1采用本文方法和文獻(xiàn)[14]方法求解優(yōu)化問(wèn)題1獲得的局部最優(yōu)結(jié)構(gòu)拓?fù)浼捌淙犴樁戎?/p>

Table1LocaloptimalstructuraltopologiesandtheircompliancesobtainedbyproposedmethodandmethodinRef.[14]tosolveoptimizationproblem1

序號(hào)實(shí)體材料的初始拓?fù)渥兞勘疚姆椒ㄎ墨I(xiàn)[14]方法局部最優(yōu)結(jié)構(gòu)柔順度局部最優(yōu)結(jié)構(gòu)柔順度(a)ρ1,(0)i=0.35ρ2,(0)i=0.2541.899 057.585 2(b)ρ1,(0)i=0.40ρ2,(0)i=0.3039.629 957.362 1(c)ρ1,(0)i=0.99ρ2,(0)i=0.0139.900 557.620 9(d)ρ1,(0)i=0.80ρ2,(0)i=0.2039.521 257.638 2(e)ρ1,(0)i=0.60ρ2,(0)i=0.4039.551 157.6412(f)ρ1,(0)i=0.50ρ2,(0)i=0.5039.672 357.630 8(g)ρ1,(0)i=0.30ρ2,(0)i=0.7057.967 257.611 7(h)ρ1,(0)i=0.10ρ2,(0)i=0.9056.870 257.630 1

由圖3和圖4可見(jiàn)，初始幾個(gè)迭代步的結(jié)構(gòu)柔順度變化很大，多相材料結(jié)構(gòu)拓?fù)湟沧兓艽?，這些都進(jìn)一步表明文獻(xiàn)[14]方法具有上述特點(diǎn)。從而，多相材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化特性的部分喪失導(dǎo)致迭代后期的優(yōu)化解與初始多相材料拓?fù)涞年P(guān)聯(lián)特性的部分喪失。從圖4可知，僅需8個(gè)迭代步，原來(lái)5個(gè)差異較大的初始多相材料拓?fù)渥優(yōu)?個(gè)相似度很大的多相材料結(jié)構(gòu)拓?fù)洹＜仁购罄^的優(yōu)化迭代比較穩(wěn)健, 最終獲得的5個(gè)局部最優(yōu)多相材料結(jié)構(gòu)構(gòu)型的相似度也大。因?yàn)槎嘞嗖牧线B續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題存在大量的局部解，以及無(wú)法確?；谕挂?guī)劃的梯度方法優(yōu)化獲得其全局最優(yōu)解。因此，當(dāng)尋求多相材料連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題的較好局部解時(shí)，上述特點(diǎn)成為文獻(xiàn)[14]方法的弱點(diǎn)。

表2給出了結(jié)構(gòu)上下部分的初始拓?fù)渥兞咳≈挡煌瑫r(shí)，采用本文方法求解優(yōu)化問(wèn)題1獲得的局部最優(yōu)結(jié)構(gòu)拓?fù)浼捌淙犴樁戎怠谋?和表2可見(jiàn)，從不同的初始多相材料拓?fù)溟_(kāi)始優(yōu)化設(shè)計(jì)，采用本文方法獲得的局部最優(yōu)多相材料結(jié)構(gòu)構(gòu)型基本不同。

表2結(jié)構(gòu)上下部分的初始拓?fù)渥兞咳≈挡煌瑫r(shí)采用本文方法求解優(yōu)化問(wèn)題1獲得的局部最優(yōu)結(jié)構(gòu)拓?fù)浼捌淙犴樁戎?/p>

Table2Localoptimalstructuraltopologiesandtheircompliancesobtainedbyproposedmethodtosolveoptimizationproblem1whentheupperandlowerpartsofstructurehavedifferentinitialtopologicalvariables

梁式結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域?qū)嶓w材料的初始拓?fù)渥兞烤植孔顑?yōu)結(jié)構(gòu)柔順度(a)上半部分初始拓?fù)渥兞喀?,(0)i=0.60, ρ2,(0)i=0.40(b)下半部分初始拓?fù)渥兞喀?,(0)i=0.30, ρ2,(0)i=0.2039.857 9(a)上半部分初始拓?fù)渥兞喀?,(0)i=0.30, ρ2,(0)i=0.20(b)下半部分初始拓?fù)渥兞喀?,(0)i=0.60, ρ2,(0)i=0.4039.893 9

表3采用本文方法和文獻(xiàn)[14]方法求解優(yōu)化問(wèn)題2獲得的局部最優(yōu)結(jié)構(gòu)拓?fù)浼捌淙犴樁戎?/p>

Table3LocaloptimalstructuraltopologiesandtheircompliancesobtainedbyproposedmethodandmethodinRef.[14]tosolveoptimizationproblem2

序號(hào)實(shí)體材料的初始拓?fù)渥兞勘疚姆椒ㄎ墨I(xiàn)[14]方法局部最優(yōu)結(jié)構(gòu)柔順度局部最優(yōu)結(jié)構(gòu)柔順度(a)ρ1,(0)i=0.50ρ2,(0)i=0.30ρ3,(0)i=0.2016.857 522.375 4(b)ρ1,(0)i=0.20ρ2,(0)i=0.30ρ3,(0)i=0.5020.884 622.398 8(c)ρ1,(0)i=0.40ρ2,(0)i=0.30ρ3,(0)i=0.3017.768 822.379 2(d)ρ1,(0)i=0.30ρ2,(0)i=0.30ρ3,(0)i=0.4019.444 322.635 8

因此，無(wú)論是三相或者四相材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，本文方法獲得多個(gè)局部?jī)?yōu)化解及尋找較好的優(yōu)化解的能力比文獻(xiàn)[14]方法強(qiáng)得多。最近，Sanders等[12]提出了一種新的多相材料連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法, 在該方法中獨(dú)立地更新與每一相材料的體積約束相關(guān)的拉格朗日乘子，并采用ZPR(Zhang-Paulino-Ramos)設(shè)計(jì)變量更新方案求解優(yōu)化問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上該方法是傳統(tǒng)的基于準(zhǔn)則的迭代法[35]在多相材料連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中的推廣。在本文方法中，結(jié)構(gòu)柔順度靈敏度計(jì)算量是主要的工作量，與現(xiàn)有方法的計(jì)算量相同[12]，多個(gè)子模型優(yōu)化求解所需工作量不多，故對(duì)三相或者四相材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題來(lái)說(shuō)，本文方法的計(jì)算效率與Sanders等[12]方法的計(jì)算效率是相近的。對(duì)于更多相材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，本文方法的計(jì)算效率略有欠缺。然而，在現(xiàn)有的一些多相材料連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法中，如果采用自動(dòng)滿足與式(4)類(lèi)似要求的多相材料插值方案[9], 則獲得沒(méi)有實(shí)體材料重疊的優(yōu)化結(jié)構(gòu)拓?fù)湫韬芏嗟耐庋h(huán)迭代步；如果采用不能自動(dòng)滿足式(4)要求的多相材料插值方案[12]，則需在迭代算法中引入一些啟發(fā)式處理措施以確保與式(4)類(lèi)似的要求和實(shí)體材料不重疊的要求[12]，從而降低了獲得的優(yōu)化解的優(yōu)化特性。這些情況和上述算例結(jié)果表明，本文方法具有更重要的工程應(yīng)用價(jià)值。

3.2 多工況載荷下多相材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

圖9為矩形結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域，長(zhǎng)L=3.0 m，高H=1.0 m，厚度為0.01 m。假設(shè)第1相實(shí)體材料的彈性模量為200 GPa，第2相實(shí)體材料的彈性模量為100 GPa，兩相實(shí)體材料的泊松比均為0.3。將初始設(shè)計(jì)域劃分為120×40個(gè)等尺寸的平面應(yīng)力單元，并指定兩相實(shí)體材料目標(biāo)體積比均為20%。

兩工況載荷下結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題(見(jiàn)圖9(a))：矩形結(jié)構(gòu)左右兩側(cè)固定，受2個(gè)工況載荷作用。工況1：集中載荷F1=10 kN沿鉛垂方向作用在結(jié)構(gòu)下邊中間點(diǎn)A1；工況2：集中載荷F2=10 kN沿鉛垂方向作用在結(jié)構(gòu)上邊中間點(diǎn)A2。

三工況載荷下結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題(見(jiàn)圖9(b))：矩形結(jié)構(gòu)左右兩側(cè)中點(diǎn)固定，受3個(gè)工況載荷作用。工況1：集中載荷F1=10 kN沿鉛垂方向作用在結(jié)構(gòu)下邊中間點(diǎn)B1；工況2：集中載荷F2=10 kN沿鉛垂方向作用在結(jié)構(gòu)上邊左端點(diǎn)B2；工況3：集中載荷F3=10 kN沿鉛垂方向作用在結(jié)構(gòu)上邊右端點(diǎn)B3。

由圖10和圖13可見(jiàn)，采用本文方法也能較好地解決多工況多相材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，可以找到結(jié)構(gòu)柔順度更小的優(yōu)化解，再次驗(yàn)證了本文方法的可行性和有效性。

4 結(jié) 論

針對(duì)多相材料結(jié)構(gòu)柔順度拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，引進(jìn)可行域調(diào)整技術(shù)，改進(jìn)交替主動(dòng)相算法，提出了一種新的尋優(yōu)能力強(qiáng)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。通過(guò)理論推導(dǎo)和數(shù)值算例驗(yàn)證，得出以下結(jié)論：

1) 多相材料連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化是典型的非線性問(wèn)題，存在大量的局部解。從而，無(wú)法確?；谕挂?guī)劃的梯度方法優(yōu)化獲得其全局最優(yōu)解。

2) 設(shè)置不同的優(yōu)化初始拓?fù)?，采用本文方法能夠獲得不同的優(yōu)化結(jié)構(gòu)，從中可以找到一個(gè)更優(yōu)的多相材料結(jié)構(gòu)拓?fù)洹Ｅc文獻(xiàn)[14]方法相比，本文方法具有強(qiáng)的尋找較好優(yōu)化解的能力。

3) 引入變體積約束限調(diào)整技術(shù)和改進(jìn)的交替主動(dòng)相算法，使得采用本文方法獲得的結(jié)構(gòu)拓?fù)渚哂休^好的互不重疊的實(shí)體材料分布特征。