張友安，梁勇，劉京茂，孫玉梅

1. 煙臺(tái)南山學(xué)院 電氣與電子工程系，煙臺(tái) 265713 2. 海軍航空大學(xué) 岸防兵學(xué)院，煙臺(tái) 264001 3. 山東南山國(guó)際飛行有限公司，煙臺(tái) 265713

隨著艦艇反導(dǎo)防御系統(tǒng)的發(fā)展和升級(jí)，反艦導(dǎo)彈要想突破其層層防御，可以采用飽和攻擊策略。這要求參與攻擊的多枚反艦導(dǎo)彈能夠從不同方向同時(shí)到達(dá)目標(biāo)，即反艦導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)必須具有控制導(dǎo)彈攻擊時(shí)間和攻擊角度的能力。近年來，以飽和攻擊為應(yīng)用背景的導(dǎo)彈攻擊時(shí)間與攻擊角度控制等多約束末制導(dǎo)與協(xié)同制導(dǎo)受到越來越多學(xué)者的關(guān)注[1-5]。文獻(xiàn)[6-18]的方法都屬于時(shí)間與角度反饋控制方法，不屬于軌跡成型方法，這里不再詳細(xì)地展開介紹。文獻(xiàn)[19-20]的方法屬于軌跡成型方法。相比一般的時(shí)間與角度反饋控制方法，軌跡成型方法基于幾何學(xué)原理，具有方法簡(jiǎn)明直觀、無需假設(shè)接近碰撞三角等優(yōu)點(diǎn)。Zhao等[19]通過軌跡成型的方法來實(shí)現(xiàn)同時(shí)對(duì)攻擊時(shí)間和攻擊角度的控制，但該方法仍然不可避免地需要通過復(fù)雜的計(jì)算過程實(shí)時(shí)地計(jì)算出待飛軌跡的長(zhǎng)度，而且該計(jì)算方法默認(rèn)假設(shè)彈道傾角為小角度，但實(shí)際的彈道傾角可能為大角度，這時(shí)采用這種方法的估計(jì)誤差將會(huì)比較大。Tsalik和Shima[20]根據(jù)“當(dāng)導(dǎo)彈從初始點(diǎn)沿著圓弧軌跡向固定目標(biāo)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，導(dǎo)彈的當(dāng)前位置與導(dǎo)彈初始點(diǎn)和固定目標(biāo)點(diǎn)所形成的圓周角(Inscribed Angle)為常值”的原理，提出了一種新的三點(diǎn)軌跡成型制導(dǎo)，該軌跡成型制導(dǎo)概念可以看成是對(duì)經(jīng)典的三點(diǎn)視線制導(dǎo)概念的推廣，但是該方法沒有考慮對(duì)攻擊時(shí)間的控制。

本文以氣動(dòng)舵作為控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)的反艦導(dǎo)彈為研究對(duì)象，并假設(shè)其能夠提供圓弧段所需的法向過載,基于Tsalik和Shima[20]的部分研究成果，提出一種軌跡成型方法，在此基礎(chǔ)上，提出一種虛擬目標(biāo)跟蹤控制方法，可以同時(shí)對(duì)攻擊角度和攻擊時(shí)間進(jìn)行控制。相比于Tsalik和Shima[20]的工作，本文的貢獻(xiàn)在于，既考慮了對(duì)攻擊角度的控制，又考慮了對(duì)攻擊時(shí)間的控制，而Tsalik和Shima[20]的方法沒有考慮對(duì)攻擊時(shí)間的控制。

相比于Zhao等[19]的軌跡成型方法，本文的方法是通過一段圓弧加一段直線來進(jìn)行軌跡成型的，而Zhao等[19]的軌跡成型方法是通過一個(gè)特別的擬合多項(xiàng)式來實(shí)現(xiàn)的。另外，本文提出的虛擬目標(biāo)跟蹤控制方法,不同于現(xiàn)有的虛擬目標(biāo)比例導(dǎo)引方法[21]，因?yàn)楝F(xiàn)有的虛擬目標(biāo)比例導(dǎo)引方法沒有考慮對(duì)時(shí)間的控制問題，而本文的虛擬目標(biāo)跟蹤控制方法既考慮了對(duì)所規(guī)劃軌跡的跟蹤，又考慮了對(duì)時(shí)間的控制問題。這里需要注意的是，雖然通過軌跡成型所規(guī)劃的飛行軌跡考慮了對(duì)時(shí)間的控制，但這只是時(shí)間控制的第一步。為了實(shí)現(xiàn)時(shí)間控制，第二步是設(shè)計(jì)一個(gè)合適的虛擬目標(biāo)沿所規(guī)劃的軌跡運(yùn)動(dòng)(注意虛擬目標(biāo)在所規(guī)劃軌跡上的位置是具有時(shí)間標(biāo)記的)，通過適當(dāng)?shù)目刂圃O(shè)計(jì)使導(dǎo)彈跟蹤虛擬目標(biāo)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)時(shí)間的控制。而一般的軌跡跟蹤控制只需要將導(dǎo)彈控制到規(guī)劃的軌跡上，不考慮軌跡上不同點(diǎn)的時(shí)間標(biāo)記問題。

1 軌跡成型

根據(jù)圖1的幾何關(guān)系，容易得到

ξ=∠AST+∠ATS

(1)

∠ATS=η-θf

(2)

(3)

(4)

(5a)

(5b)

導(dǎo)彈沿整條規(guī)劃軌跡飛行的時(shí)間tf滿足：

tf=T1+T2

(6)

2 迭代求解算法

(7)

(8)

(9)

y=yT+kL(x-xT)

(10)

kL=tanθf

(11)

因此，有

ya=yT+kL(xa-xT)

(12)

將式(8)～式(12)代入式(7)，可得

tfVM≈

(13)

假設(shè)xT>xa，該假設(shè)表示待定的點(diǎn)A(xa,ya)處于目標(biāo)點(diǎn)T(xT,yT)的左側(cè)，因此，式(13)可進(jìn)一步寫為

(14)

將式(14)兩邊平方，上述二次方程恰好簡(jiǎn)化為一次方程:

bxa+c≈0

(15)

式中：

(16)

(17)

容易求出式(15)的唯一的近似解為

xa≈-c/b

(18)

將該近似解記為

(19)

(20)

根據(jù)式(6)，可得

(21)

為方便，式(21)進(jìn)一步寫成

(22)

(23)

(24)

(25)

首先處理式(25)右邊的最后一項(xiàng)，即

(26)

式中：

(27)

考慮到式(28)和式(29):

Δya=kLΔxa

(28)

(29)

式(26)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

(30)

同理，處理式(25)右邊的第1項(xiàng)，可得

(31)

(32)

(33)

將式(30)～式(31)代入式(25)，可得

(34)

由式(34)和式(28)可得

(35)

Δya=kLΔxa

(36)

逼近A(xa,ya)的迭代算法可總結(jié)如下：

1) 給定導(dǎo)彈起點(diǎn)S(x0,y0)、目標(biāo)點(diǎn)T(xT,yT)、導(dǎo)彈飛行速度VM；指定導(dǎo)彈攻擊時(shí)間tf和導(dǎo)彈末端攻擊角度θf；給定攻擊時(shí)間估計(jì)的精度ε。

2) 計(jì)算下列各式

kL=tanθf

η=arctan[(y0-yT)/(x0-xT)]

(yT-y0-kLxT)2

3) 計(jì)算下列各式

∠ATS=η-θf

Δya=kLΔxa

4) 按步驟3)再算一遍，類似算得

5) 計(jì)算均值

7) 迭代結(jié)束。

上述迭代算法實(shí)質(zhì)上是先將非線性代數(shù)方程在近似解處線性化(注意當(dāng)近似解誤差較大時(shí)，線性化模型誤差也較大)，再通過求解線性代數(shù)方程得到近似解與精確解之間的偏差，并利用這一偏差對(duì)近似解進(jìn)行修正(更新)，得到一個(gè)較精確的近似解，再將非線性代數(shù)方程在這個(gè)較精確的近似解處線性化(較精確的近似解處對(duì)應(yīng)的線性化模型誤差也較小)，隨著迭代過程的進(jìn)行，線性化模型誤差越來越小，最終可得到一定逼近精度的數(shù)值解。這里的迭代算法依據(jù)直觀的經(jīng)驗(yàn)法則，雖然未能針對(duì)迭代算法給出嚴(yán)格的收斂性分析與證明，但實(shí)踐證明這種處理方法的確非常有效。本文迭代算法的處理思路與文獻(xiàn)[22]的處理思路有點(diǎn)類似，但要解決的問題不同,文獻(xiàn)[22]是為了估算慣性導(dǎo)航位置誤差。

3 軌跡跟蹤

假想虛擬目標(biāo)與導(dǎo)彈同時(shí)從導(dǎo)彈起點(diǎn)S(x0,y0)出發(fā)，它們的飛行速度大小相同。虛擬目標(biāo)嚴(yán)格沿著規(guī)劃的軌跡飛行。如果導(dǎo)彈與虛擬目標(biāo)的初始速度方向相同，它們受到的側(cè)向加速度也相同，則導(dǎo)彈也嚴(yán)格沿著規(guī)劃的軌跡飛行，虛擬目標(biāo)與導(dǎo)彈的位置在任何時(shí)刻都是重合的。但在實(shí)際飛行中，虛擬目標(biāo)與導(dǎo)彈的初始速度方向可能不相同，使其飛行軌跡偏離規(guī)劃的軌跡。

本文針對(duì)圓弧段提出一種基于虛擬目標(biāo)的跡跟蹤控制方案——一種前饋加反饋的復(fù)合控制方案，前饋控制量即虛擬目標(biāo)的側(cè)向加速度，反饋控制即虛擬目標(biāo)與導(dǎo)彈的飛行航跡角之差的比例控制。考慮到軍艦是可以移動(dòng)的，且反艦導(dǎo)彈的命中精度又必須足夠高，因此，通過圓弧段虛擬目標(biāo)軌跡跟蹤控制、基本滿足到達(dá)時(shí)間和攻擊角度的要求之后，在直線段必須切換到導(dǎo)引頭末端導(dǎo)引——一種帶角度控制的比例導(dǎo)引方案，直接攻擊真實(shí)目標(biāo)，以保證足夠的命中精度。

1) 圓弧段的軌跡跟蹤控制

虛擬目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程為

虛擬目標(biāo)的初始條件為

初始位置：(xt(0),yt(0))=(x0,y0)。

∠ATS=η-θf

ξ(0)=∠AST+∠ATS

虛擬目標(biāo)的初始飛行航跡角為

θt(0)=ξ(0)+∠AST+η

T1=(2R/VM)ξ(0)

導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)方程為

導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)的初始條件為

(xM(0),yM(0))=(x0,y0)

θM(0)=θt(0)+ΔθM(0)

式中：ΔθM(0)為假設(shè)的導(dǎo)彈的初始航向誤差。

轉(zhuǎn)彎段制導(dǎo)律為

aM=at+kp(θM-θt)

(37)

下面基于Lyapunov穩(wěn)定性理論對(duì)式(37)所示的轉(zhuǎn)彎段制導(dǎo)律進(jìn)行嚴(yán)格證明。

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，制導(dǎo)律式(37)能夠迫使導(dǎo)彈沿著圓弧段飛行且使θM→θt。

2) 在直線段帶角度控制的比例導(dǎo)引

(38)

4 可能的軌跡成型情形及可行的攻擊時(shí)間

根據(jù)彈目相對(duì)位置關(guān)系及落角的正負(fù)，有4種可能的軌跡成型情形：情形A、情形B、情形C、情形D(詳見下文)。

情形A對(duì)應(yīng)于圖1，目標(biāo)點(diǎn)T(xT,yT)在導(dǎo)彈起點(diǎn)S(x0,y0)的右邊，xT>0,yT≥0或者yT≤0,θf<0，這時(shí)

π/2>∠ATS=η-θf>0

θt(0)=ξ(0)+∠AST+η

情形B對(duì)應(yīng)于圖1關(guān)于橫坐標(biāo)軸鏡像對(duì)稱，目標(biāo)點(diǎn)T(xT,yT)在導(dǎo)彈起點(diǎn)S(x0,y0)的右邊，xT>0,yT≥0或者yT≤0,θf>0，這時(shí)

π/2>∠ATS=θf-η>0

θt(0)=-ξ(0)-∠AST+η

情形C對(duì)應(yīng)于圖1關(guān)于縱坐標(biāo)軸鏡像對(duì)稱，目標(biāo)點(diǎn)T(xT,yT)在導(dǎo)彈起點(diǎn)S(x0,y0)的左邊，xT<0,yT≥0或者yT≤0,θf>0，這時(shí)

π/2>∠ATS=θf-η>0

θt(0)=π-ξ(0)-∠AST+η

情形D對(duì)應(yīng)于圖1先關(guān)于縱坐標(biāo)軸鏡像對(duì)稱，再關(guān)于橫坐標(biāo)軸鏡像對(duì)稱，目標(biāo)點(diǎn)T(xT,yT)在導(dǎo)彈起點(diǎn)S(x0,y0)的左邊，xT<0,yT≥0或者yT≤0,θf<0，這時(shí)

π/2>∠ATS=η-θf>0

θt(0)=π+ξ(0)+∠AST+η

下面估算可行的攻擊時(shí)間范圍。

可行的攻擊時(shí)間tf的取值范圍為

tf≥tf,min

(39a)

tf,min=(dST/VM)×(∠ATS/sin∠ATS)

(39b)

式(39a)～式(39b)雖然是由圖1得到的，但對(duì)于情形A～情形D都是適用的。

5 仿真分析

不失一般性，取導(dǎo)彈M為原點(diǎn)(0,0) m，取迭代算法中攻擊時(shí)間估計(jì)的精度ε=0.01 s,仿真步長(zhǎng)取為0.001 s。軌跡跟蹤控制與末制導(dǎo)律中，取kp=2 000,kz,p=2.5,kz,d=2.5。本節(jié)對(duì)文中4種情形均進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

5.1 情形A

取目標(biāo)T(5 000, 1 500) m，θf=-30°,tf=13 s，導(dǎo)彈初始飛行方向相對(duì)于理想規(guī)劃軌跡的偏差為ΔθM(0)=30°，導(dǎo)彈速度VM=500 m/s。仿真結(jié)果如圖2所示。用迭代算法迭代2次得到逼近點(diǎn)A(xa,ya)的坐標(biāo)為(4 017.6, 2 067.2) m，ξ(0)為57.2°，導(dǎo)彈的時(shí)間控制誤差不超過0.124 5 s。導(dǎo)彈相對(duì)于目標(biāo)的脫靶量為0.236 9 m(實(shí)際脫靶量應(yīng)該遠(yuǎn)小于該值，因?yàn)槠渲凳艿剿》抡娌介L(zhǎng)大小的影響)。

本文仿真過程中沒有考慮導(dǎo)彈過載受限的情況。如果導(dǎo)彈過載受限,必然會(huì)延長(zhǎng)將導(dǎo)彈實(shí)際飛行軌跡控制到理想飛行軌跡的時(shí)間，從而產(chǎn)生一定的時(shí)間控制誤差。當(dāng)導(dǎo)彈過載受限不大時(shí)，例如，在圖2(b)中，如果導(dǎo)彈過載限幅是8g，則導(dǎo)彈過載出現(xiàn)飽和的時(shí)間很短，約為0.1 s，這時(shí)對(duì)時(shí)間控制誤差的影響不大。但如果導(dǎo)彈過載能力嚴(yán)重不足，例如限幅到2g，則導(dǎo)彈過載出現(xiàn)飽和的時(shí)間較長(zhǎng)，達(dá)到約0.6 s，這時(shí)對(duì)時(shí)間控制誤差的影響較大。為了避免出現(xiàn)這種情況，需要盡量減小導(dǎo)彈初始速度方向誤差，使其盡量與規(guī)劃軌跡的初始切線方向一致，從而降低初始時(shí)刻導(dǎo)彈的過載需求。

5.2 情形B～情形D

情形B的仿真分析取目標(biāo)T(5 000, -1 500) m，θf=30°，其他參數(shù)同情形A。仿真結(jié)果如圖3所示。用迭代算法迭代2次得到逼近點(diǎn)A(xa,ya)的坐標(biāo)為(4 017.6, 2 067.2) m，ξ(0)=57.2°。

情形C的仿真分析取目標(biāo)T(-5 000, -1 500) m，θf=30°，其他參數(shù)同情形A。仿真結(jié)果如圖4所示。用迭代算法迭代2次得到逼近點(diǎn)A(xa,ya)的坐標(biāo)為(-841.1, 901.2) m，ξ(0)=77.0°。

情形D的仿真分析取目標(biāo)T(-5 000, -1 500) m，θf=-30°，其他參數(shù)同情形A。仿真結(jié)果如圖5所示。用迭代算法迭代3次得到逼近點(diǎn)A(xa,ya)的坐標(biāo)為(-4 018.8, -2 066.5) m，ξ(0)=57.2°。

由仿真曲線可以看出，各種情形都得到了正確的仿真結(jié)果。

6 結(jié) 論

1) 給出了一種同時(shí)滿足攻擊角度和攻擊時(shí)間約束的軌跡成型方法及其迭代求解算法。

2) 給出了一種基于虛擬目標(biāo)跟蹤的圓弧段軌跡跟蹤復(fù)合控制方法，結(jié)合直線段的帶角度控制比例導(dǎo)引方法, 可以在滿足時(shí)間與角度控制約束前提下準(zhǔn)確命中目標(biāo)。

3) 分析總結(jié)了4種可能的軌跡成型情形及可行的攻擊時(shí)間范圍。

導(dǎo)彈在實(shí)際飛行過程中，除了虛擬目標(biāo)與導(dǎo)彈的初始速度方向可能不一致之外，導(dǎo)彈還可能受到外界的干擾(例如風(fēng)的干擾)，導(dǎo)彈的飛行速度也可能是時(shí)變的，目標(biāo)也可能是運(yùn)動(dòng)的，這些因素都會(huì)直接導(dǎo)致產(chǎn)生時(shí)間控制誤差。如何進(jìn)一步將本文的離線軌跡成型算法擴(kuò)展成為在線軌跡成型算法，以消除上述因素產(chǎn)生的時(shí)間控制誤差，是值得進(jìn)一步研究的問題。