侯元軍

【摘要】數(shù)學(xué)基礎(chǔ)所積累的思維方式運(yùn)用到對(duì)空間格子的認(rèn)識(shí)，回顧便可得知，思維發(fā)展之初已在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進(jìn)程中遵循了“點(diǎn)”的聚集，由此形成的空間思維，不過是“點(diǎn)”的有序排列，只是結(jié)晶學(xué)學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上更加強(qiáng)化空間意識(shí)。

【關(guān)鍵詞】點(diǎn)線面 空間格子 對(duì)稱軸 定向

結(jié)晶學(xué)具有的空間性、抽象性、邏輯性等特點(diǎn)，對(duì)其認(rèn)識(shí)的一個(gè)簡單方法從數(shù)學(xué)知識(shí)入手，甚至可直接運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來支撐對(duì)晶體的認(rèn)識(shí)或研究。

數(shù)學(xué)知識(shí)從自然數(shù)開始擴(kuò)大到正整數(shù)，每個(gè)數(shù)字的表示可看作“點(diǎn)”的標(biāo)記，1、2、3、4、5……，“加減乘除”四則運(yùn)算實(shí)際上可以看作是對(duì)“點(diǎn)”混合認(rèn)識(shí)。其后，是分?jǐn)?shù)，在之前的基礎(chǔ)上上了一個(gè)臺(tái)階，“點(diǎn)”可以進(jìn)一步切割劃分，甚至可以無休止地劃分下去，基于僅為運(yùn)算這一單一目的，知識(shí)結(jié)構(gòu)仍停留在“點(diǎn)”的范圍內(nèi)?！包c(diǎn)”是混沌的，可看作任何方向都是同一的，也即無方向性或異向性。

升級(jí)到數(shù)軸學(xué)習(xí)，規(guī)定了方向性，以“零”為界線即有正有負(fù)之分，實(shí)則因一條數(shù)軸的具有方向性，由單一的“點(diǎn)”上升到了“點(diǎn)”與“點(diǎn)”的聯(lián)結(jié)而形成的“線”。線段是只有長短的標(biāo)量，射線是既有長短又有方向的矢量，再到數(shù)軸有正有負(fù)方向且延伸，實(shí)際上建立起了一個(gè)方向性維度，思維也就由“點(diǎn)”延伸到“線”。然后，再需把兩條“線”聯(lián)系起來使之相互垂直，形成“線”與“線”之間由無數(shù)“點(diǎn)”來展布，構(gòu)成了平面直角坐標(biāo)的二個(gè)維度，此二維度既可討論“線”也可討論“面”的問題，這是解析幾何學(xué)內(nèi)容。在此基礎(chǔ)上，由原點(diǎn)發(fā)出與前兩條相互垂直的第三條射線，可看作原先沿展的平面被拉伸拔高，建立了三維的一個(gè)可容納“體”的空間，此空間充滿了無數(shù)的“點(diǎn)”構(gòu)成的“線”或“面”，以及由“面”構(gòu)成的“體”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進(jìn)程可看作“點(diǎn)”的立體聚集，也可當(dāng)作結(jié)晶學(xué)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)。

自然界的礦物質(zhì)，絕大多數(shù)以結(jié)晶質(zhì)體形態(tài)出現(xiàn)。顧名思義，結(jié)晶就是礦物質(zhì)點(diǎn)（離子、原子、分子等）在三維空間有規(guī)律、重復(fù)排列，形成了具有封閉的幾何多面體外形的物體。正因?yàn)榫w的內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)在三維空間成周期性重復(fù)排列，其內(nèi)部形成了晶體的格子構(gòu)造。學(xué)習(xí)過程中，為便于簡潔明了地認(rèn)識(shí)晶體形象，把其中相同位置的質(zhì)點(diǎn)抽象出來，組成的等位點(diǎn)聯(lián)系起來即結(jié)晶學(xué)中所謂的空間格子，且“點(diǎn)”與“點(diǎn)”之間以不可或缺物質(zhì)健的聯(lián)結(jié)。其實(shí)，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上所積累的思維方式運(yùn)用到對(duì)空間格子的認(rèn)識(shí)，回顧便可得知，思維發(fā)展之初已在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進(jìn)程中遵循了“點(diǎn)”的聚集，由此形成的空間思維，不過是“點(diǎn)”的有序排列，只是結(jié)晶學(xué)學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上更加強(qiáng)化空間意識(shí)。

結(jié)點(diǎn)是空間格子相當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，在實(shí)際晶體中，結(jié)點(diǎn)的位置為同種質(zhì)點(diǎn)（離子、原子或分子）所占據(jù)，但結(jié)點(diǎn)本身并不代表任何質(zhì)點(diǎn)，它僅僅是一個(gè)幾何點(diǎn)。

結(jié)點(diǎn)在一條線上形成了行列，行列上相鄰兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的距離構(gòu)成了結(jié)點(diǎn)間距，同一行列上結(jié)點(diǎn)間距都相等，且相互平行的行列其結(jié)點(diǎn)間距亦相等。

結(jié)點(diǎn)在平面上的分布構(gòu)成面網(wǎng)。面網(wǎng)中單位面積內(nèi)結(jié)點(diǎn)的密度即面網(wǎng)密度，在同一面網(wǎng)內(nèi)面網(wǎng)密度相等?？臻g格子中任意不在同一行列上的結(jié)點(diǎn)就可以連結(jié)形成一個(gè)面網(wǎng)。相互平行的面網(wǎng)，面網(wǎng)密度相等，而不平行的面網(wǎng)，面網(wǎng)密度一般不相等。相互平行且相鄰的兩個(gè)面網(wǎng)之間的垂直距離構(gòu)成面網(wǎng)間距。

由一個(gè)維度的結(jié)點(diǎn)，到行列由“點(diǎn)”組成了“線”，再到由“線”一行列組成的面網(wǎng)，再到由三個(gè)維度的面網(wǎng)組成了“體”，即結(jié)晶體。

結(jié)晶學(xué)中對(duì)結(jié)點(diǎn)組成的“體”進(jìn)行了詳細(xì)剖析研究，僅由8個(gè)結(jié)點(diǎn)就可聯(lián)結(jié)形成單位平行六面體，空間格子的形狀，可由平行六面體來表示。其聯(lián)結(jié)方式出現(xiàn)各具特色的7種原始格子（立方格子、四方格子、斜方格子、單斜格子、三斜格子、六方格子、菱面格子）。又因?yàn)楦褡訕?gòu)造中的面、體上還可能出現(xiàn)結(jié)點(diǎn)，也就多了幾種形式的面心、體心、底心等三類格子特征，統(tǒng)共組合成14種布拉維格子，這量化性地探討了結(jié)點(diǎn)所組成格子的形態(tài)問題。結(jié)點(diǎn)、棱、面網(wǎng)之間的有序規(guī)律，可用點(diǎn)之間的距離、棱之間的夾角來約束，作為晶胞參數(shù)的a。，b。，c。分別表示三條菱的絕對(duì)長度，也即結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)的距離。a、β、y分別表示三條菱之間的夾角。

晶體的雛形可看作是單位平行六面體，即晶胞。晶胞固有形態(tài)在三維空間的特征，引入晶胞參數(shù)量化標(biāo)定格子形態(tài)，現(xiàn)代礦物學(xué)已經(jīng)可以借助精密儀器測(cè)試實(shí)際晶體的晶胞參數(shù)。

物質(zhì)結(jié)晶時(shí)首先形成晶胞，質(zhì)點(diǎn)按照自身結(jié)晶特點(diǎn)進(jìn)行排列，其格子構(gòu)造也即形成。在理想狀態(tài)下，結(jié)晶體總是按照其固有特性長成封閉的幾何多面體，即晶體自限性的外形表現(xiàn)。晶體幾何特征是固有的，這取決于結(jié)晶體本身。即便生長環(huán)境不理想狀態(tài)下晶面有可能發(fā)育不完善，但其看似不完善的或有缺損現(xiàn)象的晶面同樣遵循面角恒等法則，究其緣由仍是質(zhì)點(diǎn)有序排列。

晶體內(nèi)、外部對(duì)稱這一特點(diǎn)而開展對(duì)稱性進(jìn)行研究，可藉助一些假想的對(duì)稱軸、對(duì)稱面、對(duì)稱中心進(jìn)行對(duì)稱操作，并且分析后得出不同的對(duì)稱型，

自然界中，對(duì)稱型相同卻長成形態(tài)各異的晶體不少，僅由對(duì)稱型分析尚不夠精準(zhǔn)，無法從同一對(duì)稱型明確了解晶體具體特征。針對(duì)各個(gè)晶體的晶面出露狀況，還需解析分析。晶體形成各方位的自限表面，都可看作晶面總在一定的空間上占據(jù)一定的位置。但它們占據(jù)何方位置，如何在空間展布的，這便引出了對(duì)晶體定向的問題。對(duì)稱操作所建立起來的空間思維量化，即每個(gè)晶面在空間分布狀況分析必需建立三維坐標(biāo)系。

晶體的定向，需選擇一定的對(duì)稱軸作為晶軸，晶軸選擇的原則較便捷地為晶面研究提供技術(shù)手段，事實(shí)上也是一種較為直觀簡單的分析方法。三維直角坐標(biāo)軸與晶體對(duì)稱軸重合是最佳選擇方案，通過晶體中心建立起來的對(duì)稱軸當(dāng)作坐標(biāo)軸，既直觀又簡潔。而對(duì)于較低等級(jí)的單斜、三斜晶系，則需要選擇三條棱盡量接近垂直或晶面的法線作為定向所用的坐標(biāo)軸。

晶面以結(jié)點(diǎn)間距的整數(shù)倍向外推移，總在三維空間自由展布。占據(jù)一定位置的晶面需要標(biāo)定其特有的空間特征。一個(gè)晶面在三維坐標(biāo)系中，與某一晶軸相交，產(chǎn)生對(duì)應(yīng)截距，不相交就無截距。數(shù)學(xué)的無窮范圍內(nèi)，不相交可看作無限延伸而且截距系數(shù)無窮大，無窮大分之一則為零。在各晶軸上若有截距，說明與此軸相交，無截距說明與此軸不相交，晶面平行而過?？衫煤唵蔚慕鼐嘞禂?shù)倒數(shù)比表示（100）面，說明x軸上相截，與Y、Z軸截距為無窮大，亦即與Y、Z軸平行。特例對(duì)于三方晶系、六方晶系，在一個(gè)平面內(nèi)設(shè)立三軸，其夾角為120°，此三軸與一根豎直的軸垂直。

立體解析幾何需確定幾何面在空間的位置， 用坐標(biāo)來標(biāo)識(shí)。把晶體放入立體晶軸中，用晶面在空間位置上分別與x、y、z的截距系數(shù)來表示。通過晶面與晶軸的截距來確定每一晶面的坐標(biāo)特征，這方法簡單、直觀，即米氏符號(hào)的應(yīng)用，晶面在晶軸上的截距系數(shù)倒數(shù)比表示。

從點(diǎn)到面，從面到體，從體的對(duì)稱分析，再到晶面的定向分析，實(shí)際上是思維的一次次轉(zhuǎn)換躍升。由混沌的數(shù)字，到一維線性，到二維幾何面，到三維立體結(jié)構(gòu)，到各面幾何坐標(biāo)確立，實(shí)際上也是思維的多重轉(zhuǎn)化，并且促進(jìn)立體的空間思維建立。所謂透視，不過是晶體的各方面在空間展布關(guān)系的直觀認(rèn)識(shí)，這種直觀看到的不僅是一個(gè)“面”，而是體中的方方面面。所謂洞見，透過表面看到“面”背后的、深入的特性。所謂領(lǐng)悟，通過對(duì)一個(gè)“面”的認(rèn)識(shí)，而認(rèn)識(shí)“面”在“體”中的關(guān)系、作用，達(dá)到認(rèn)識(shí)“體”。結(jié)晶學(xué)的學(xué)習(xí)除了沿用前人的方法來認(rèn)識(shí)晶體外，實(shí)際上也是操練、發(fā)展空間思維、抽象思維的最佳課程。