邊紅霞

(河北省易縣中學(xué) 074200)

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非.”縱觀近幾年的高考試題，用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，成為高考命題的熱點(diǎn).函數(shù)是考查數(shù)形結(jié)合思想的最好載體，特別是以函數(shù)與圖象、曲線與方程、函數(shù)與不等式為模型，考查學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力.使用數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵是“以形助數(shù)”，要做到“胸中有圖，見(jiàn)數(shù)想圖”，要善于發(fā)現(xiàn)條件的幾何意義，刻畫(huà)出相應(yīng)的圖形，還要根據(jù)圖形的性質(zhì)分析數(shù)學(xué)式的幾何意義，這樣才能巧妙地利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題.

例(2016年全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅰ 理科數(shù)學(xué)第21題)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)求a的取值范圍；

(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2<2.

解函數(shù)的零點(diǎn)是指函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，確定方法是只要在區(qū)間(m,n)上滿足f(m)f(n)<0，則在(m,n)上必存在x0，使得f(x0)=0.

(1)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).討論：

①設(shè)a=0，則f(x)=(x-2)ex，f(x) 只有一個(gè)零點(diǎn).

②設(shè)a>0，則當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí)f′(x)<0，當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，f(1)是其極小值，f(1)=-e,f(2)=a,所以在(1,2)上必有唯一零點(diǎn).另一方面，如果在(-∞,1)上能夠找到一個(gè)自變量b，使得f(b)>0即可.

③若a<0由f′(x)=0解得x=1或x=ln(-2a).

又當(dāng)x≤1時(shí)，f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2<0，所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，a的取值范圍是(0,+∞).

(2)因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，因此a>0，此時(shí)由數(shù)形結(jié)合，不妨設(shè)x1f(2-x2)，即f(2-x2)<0.于是只證此式即可.由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2，為保持運(yùn)算的一致：又f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0即：a(x2-1)2=-(x2-2)ex2，所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2,設(shè)g(x)=-xe2-x-(x-2)ex，則g′(x)=(x-1)(e2-x-ex)，所以當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)<0，函數(shù)g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，而g(1)=0，故當(dāng)x>1時(shí)，g(x)<0，從而g(x2)=f(2-x2)<0，故x1+x2<2.

分析本題主要是考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，在求解過(guò)程中考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)思想，考查運(yùn)算求解能力及邏輯思維能力.此題充分利用數(shù)形結(jié)合，同時(shí)用了構(gòu)造函數(shù)求極值，證明不等式，這是這道題目的最大亮點(diǎn).

綜上，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題最重要的思想方法，特別是在高考導(dǎo)數(shù)題目中發(fā)揮著巨大作用.往往是在解決的全過(guò)程中，不斷地通過(guò)數(shù)與形的結(jié)合，將抽象的問(wèn)題具體化，通過(guò)圖形找到解決問(wèn)題的突破點(diǎn)，然后用數(shù)的推理去驗(yàn)證形的準(zhǔn)確性，使解題過(guò)程達(dá)到順暢通行！