嚴(yán)小紅

(陜西省商洛中學(xué) 726000)

一、單調(diào)性定義

1.北師大版教材中的定義

一般地對(duì)于函數(shù)y=f(x)的定義域內(nèi)的一個(gè)子集A，如果對(duì)于任意兩數(shù)x1，x2∈A，當(dāng)x1

類似地，在函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的一個(gè)子集A上，如果對(duì)于任意兩數(shù)x1，x2∈A，當(dāng)x1f(x2)，就稱函數(shù)y=f(x)在數(shù)集A上是減少的.

如果函數(shù)y=f(x)在定義域的某個(gè)子集A上是增加的或減少的，那么就稱函數(shù)y=f(x)在這個(gè)子集上具有單調(diào)性.

2.對(duì)定義的理解

(1)符號(hào)語(yǔ)言：任意x1，x2∈A，x1f(x2)，則y=f(x)是A上的減函數(shù).

(2)圖象語(yǔ)言：觀察函數(shù)y=f(x)的圖象，從左向右看，上升的為單調(diào)遞增，下降的為單調(diào)遞減.

(3)定義的雙向性：增函數(shù)：x1f(x2).

y=f(x)在A上單調(diào)遞減

3.對(duì)單調(diào)區(qū)間理解

函數(shù)單調(diào)性是一個(gè)局部概念，是針對(duì)區(qū)間而言，是區(qū)間上性質(zhì)，對(duì)于單獨(dú)點(diǎn)討論單調(diào)性毫無(wú)意義，因此寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，區(qū)間端點(diǎn)可帶可不帶，若一個(gè)函數(shù)有幾個(gè)單調(diào)遞增(或遞減)區(qū)間時(shí)，不能并起來(lái)，只能分開寫，如單調(diào)遞增區(qū)間[1，2]和[3，4]，不能寫成[1，2]∪[3，4]，為什么這樣，我們從本源問(wèn)起，為什么要引入單調(diào)區(qū)間概念？只不過(guò)是為了方便函數(shù)值比較大小而已，要比較大小，只能放在一個(gè)單調(diào)區(qū)間，而在多個(gè)區(qū)間是無(wú)法比較函數(shù)值大小.同時(shí)由此還可以看出求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，是尋求區(qū)間的最大化.如單調(diào)遞增區(qū)間為[1，3]，你不能寫成[1，2]和[2，3].

例1 若函數(shù)f(x)=x2+2(1-2a)x+6在(-∞，-1)上為減函數(shù)，求a的取值范圍.

解f(x)=[x+(1-2a)]2+6-(1-a)2，對(duì)稱軸方程為x=2a-1，則f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，2a-1)，而f(x)在(-∞，-1)為減函數(shù)，∴(-∞，-1) ?(-∞，2a-1),∴-1≤2a-1，∴a≥0.

例2 若函數(shù)f(x)=x2+2(1-2a)x+6的單調(diào)區(qū)間為(-∞，-1)，求a的值.

解f(x)對(duì)稱軸方程為x=2a-1，則f(x)單調(diào)區(qū)間為(-∞，2a-1)，即為(-∞，-1)，∴ 2a-1=-1，∴a=0.

這兩個(gè)問(wèn)題是不同的，第一個(gè)問(wèn)題說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即所給區(qū)間為單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間，第二個(gè)問(wèn)題是求單調(diào)區(qū)間問(wèn)題，要注意分清.

二、常見函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題

1.單調(diào)性證明、判斷及單調(diào)區(qū)間的確定

證明函數(shù)的單調(diào)性只能用兩種方法：①定義法(高一學(xué)生用)，對(duì)于抽象函數(shù)的單調(diào)性一般用定義法證明；②導(dǎo)數(shù)法(相對(duì)于定義證明是比較先進(jìn)的方法).判斷函數(shù)單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的確定，可以有多種方法：①定義法；②導(dǎo)數(shù)法；③性質(zhì)法(利用已知函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)和差的單調(diào)性或利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性)④圖象法(畫函數(shù)圖象從圖中看).

例3 討論f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x的單調(diào)性.

解析f(x)的定義域?yàn)?0，+∞).

2.解抽象不等式

例4 已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-2,2]，若f(x)在[0,2]上是遞減，且f(1-m)

解析∵f(x)是定義在[-2,2]上的奇函數(shù)，且f(x)在[0,2]上是減函數(shù),

∴f(x)在[-2,0] 也是減函數(shù),

∴f(x)在[-2,2] 上單調(diào)遞減.

3.利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍

只有對(duì)函數(shù)單調(diào)性的內(nèi)涵和外延有深入的理解，易混的問(wèn)題進(jìn)行有效辨析，常見問(wèn)題做到胸中有數(shù)，才能在解決函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，做到游刃有余，面對(duì)高考中的函數(shù)問(wèn)題輕松拿下.