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      巧添輔助線解答幾何疑難問題

      2018-10-11 03:44:38
      關(guān)鍵詞:位線輔助線中點

      (湖南省洞口縣文昌街道城關(guān)初級中學(xué) 湖南邵陽 422300)

      添置輔助線是解幾何題中常用的手段,在幾何問題中,添加輔助線可以說是解題的關(guān)鍵點。輔助線好比是一座橋梁,將已知條件與待解決的問題聯(lián)系起來,從而找到解決問題的方法,起到化難為易的作用。很多平面幾何都不是直接可以證明出來的,而是要借助輔助線才能證明出來。添加輔助線時,應(yīng)從題設(shè)條件和結(jié)論之間的關(guān)系來分析,使輔助線成為有效的過渡之“橋”。

      下面我舉幾個例子來說明:

      一、添加輔助線,將不規(guī)則的四邊形轉(zhuǎn)化為三角形

      例1:如圖1.已知在四邊形ABCD中,∠B=∠D=90°

      圖1

      求AD和BC的長

      分析:作輔助線、延長邊AD和BC相交于點E,將四邊形ABCD補全成△ABE再利用直角三角形性質(zhì)求解。

      解:延長BC、AD相交于點E

      ∵∠B=∠D=90°∴△ABE和△CDE都是直角三角形

      ∵∠B+∠ADC=180°∴∠A+∠BCD=180°∵∠A:∠BCD=1:2

      說明:本題采用延長補形法,將不規(guī)則的四邊形補形成為直角三角形,再利用勾股定理求解。

      二、作輔助線,將三角形整體移動,構(gòu)成特殊圖形進行計算

      例2:如圖2,已知△ABC中,∠ACB=90°

      圖2

      A C=B C,D、E是A B上的兩點,且AD=4,BE=6,∠DCE=45°,求DE的長。

      分析:已知條件中AD、BE和所求DE分布在不同的三角形中,可以在△ABC的外部做一個△CBF,使△CBF≌△CAD,從而得到BF=AD,EF=DE,將三條線段移到同一個三角形中,求解。

      解:在△ABC的外部,作△BCF,使∠BCF=∠ACD CF=CD

      連結(jié) EF

      ∵AC=BC ∠ACD=∠BCF CD=CF ∴△ACD≌△BCF

      ∴AD=BF ∠A=∠CBF ∵∠ACB=90°

      ∴∠EBF=90° ∵∠DCE=45° ∴∠ACD+∠ECB=45°

      即:∠ECF=45° ∴△DCE≌△FCE ∴DE=EF

      說明:本題采用作輔助線的方法,將△ACD移到BC邊的右側(cè),從而將不相關(guān)聯(lián)的三條線段,移至同一直角三角形中求解。

      三、利用補形法,把圖形補成有利于問題解決的基本圖形

      例3:如圖3,已知△ABC中,AO=DO,AO是∠BAC的角平分線,CD⊥AO,垂足為D,求證:AC=3AB

      圖3

      分析:延長AB、CD相交于E點,由AO平分∠BAC,AD⊥CD,可 知AC=AE,DE=DC,取BE的中點F,連接DF,利用三角形中位線性質(zhì)可得,AB=BF=EF,最后可得AC=AE=3AB。

      證明:延長AB、CD相交于點E,取BE的中點F,連接DF。

      ∵AO平分∠BAC,AD⊥CD ∴△ACD≌△AED ∴ AC=AE CD=DE

      ∵F為BE的中點∴DF∥BC 又∵AO=DO ∴AB=BF

      ∵F為BE的中點 ∴AB=BF=EF

      即:AE=3AB ∴AC=3AB

      說明:本題是將不規(guī)則圖形補形成等腰三角形,再利用三角形中位線的性質(zhì)做橋梁,得出結(jié)論。

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