廣東省東莞市東莞中學(523005) 龐進發(fā)

2018年高考結束,全國高考I卷理科數(shù)學第20題統(tǒng)計概率解答題(以下簡稱“試題”)就成為廣東省,乃至全國議論的數(shù)學熱點問題,對問題背景、設問形式以及解答等方面有不同的議論.然而2016年廣東省進入全國卷以后,統(tǒng)計概率解答題的得分都不盡人意.并且2016年和2017年全國高考I卷理科數(shù)學卷把統(tǒng)計概率解答題排在第19題位置,今年甚至排在第20題位置,相當于次壓軸題.據了解,廣大數(shù)學教師對于統(tǒng)計概率解答題復習備考也在不斷地探討,但收效甚微.究其原因,初中、高中關于統(tǒng)計概率的教學更多的停留在表面的套用公式計算上,缺乏對統(tǒng)計概率背景的了解,過程的經歷、體驗和感受少,知識本質的挖掘不透徹,對統(tǒng)計思維、隨機思想的培養(yǎng)不夠;高三復習備考時,受2016年以前統(tǒng)計概率試題的思維影響,重套公式計算,缺乏對題目背景的分析、概率模型的構建和統(tǒng)計意義的理解,并且沒有找到較多合適的訓練素材.本文以數(shù)學核心素養(yǎng),從教育價值的的視角對“試題”進行分析與提出備考建議.

試題(2018年全國高考I卷理科數(shù)學第20題)某工廠的某種產品成箱包裝,每箱200件,每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗,如檢驗出不合格品,則更換為合格品,檢驗時,先從這箱產品中任取20件作檢驗,再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗.設每件產品為不合格品的概率都為p(0＜p＜1),且各件產品是否為不合格品相互獨立.

(1)記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點p0.

(2)現(xiàn)對一箱產品檢驗了20件,結果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產品的檢驗費用為2元,若有不合格品進入用戶手中,則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.

(i)若不對該箱余下的產品作檢驗,這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求EX;

(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據,是否該對這箱余下的所有產品作檢驗?

1.近三年全國I卷理科數(shù)學試題的比較

通過比較發(fā)現(xiàn),近三年問題背景都是工業(yè)生產的抽樣檢驗決策問題,2018年“試題”問題背景為產品是否合格抽樣檢驗,廣大考生更加熟悉.統(tǒng)計概率問題作為應用性問題,題目的字符數(shù)都比較多,重點考查了考生通過閱讀,整理數(shù)據、提取信息、構建模型、進行推斷、獲得結論的數(shù)據分析過程與能力,同時考查了數(shù)學運算能力.2018年“試題”有關次函數(shù)的最值點的求解,難度更大一些.

2.解法研究

2.1 問題分析

統(tǒng)計概率問題閱讀量比較大,那么如何在題目中提取有用的信息以及對數(shù)據的整理,非常關鍵,也是解決問題的切入點.如“試題”中通過“先從這箱產品中任取20件作檢驗”和“設每件產品為不合格品的概率都為p(0＜p＜1),且各件產品是否為不合格品相互獨立.”兩個信息,考生要聯(lián)想到相應的知識—n次獨立重復試驗.而第(1)問中“記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f(p)”,考生要聯(lián)想到n次獨立重復試驗恰有k次發(fā)生的概率計算方法與公式:“試題”中考生感覺比較陌生的是以概率p為自變量的函數(shù)f(p)形式,不能把f(p)與進行對應:導致不能正確找到問題解決的切入點.還有第(1)問要求函數(shù)最大值點p0,對于大多數(shù)考生也是難點,因為考綱的要求是考生會求“不超過三次的多項式函數(shù)的最大值、最小值”.但這里是求最大值點p0,運用教材中給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則以及單調性的判定方法即可求解,考查了考生思維的靈活性.

第(2)問解決的關鍵是對“試題”中的信息“如檢驗出不合格品,則更換為合格品”和“已知每件產品的檢驗費用為2元,若有不合格品進入用戶手中,則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.”的聯(lián)系理解.也就是說如果檢驗,就沒有不合格品進入用戶手中,工廠只需要付每件產品的檢驗費用2元即可;如果不檢驗,若有不合格品進入用戶手中,則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.考查了考生對信息的重新整合理解能力.還有對“試題”中“現(xiàn)對一箱產品檢驗了20件,結果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值”這個信息的處理,應分拆開理解與應用.“現(xiàn)對一箱產品檢驗了20件,結果恰有2件不合格品”是表示已經檢驗的20件產品,工廠只需付檢驗費20×2=40元,因為2件不合格品已經更換為合格品,沒有不合格品進入用戶手中.“以(1)中確定的p0作為p的值”是應用在剩下的180件產品如果沒有檢驗,估計其不合格品的件數(shù),而這些不合格品進入用戶手中,工廠需要支付賠償費,沒有檢驗費.評卷過程中發(fā)現(xiàn),很多考生把以上兩個方面混在一起,直接把p的值等于而正確的理解是p=p0=0.1.

2.2 教育價值分析

“試題”重點對考生的數(shù)據分析核心素養(yǎng)的考查,考查了考生對統(tǒng)計概率基本概念的理解掌握,如n次獨立重復試驗、n次獨立重復試驗恰有k次發(fā)生的概率計算公式、二項分布及其數(shù)學期望的計算.“試題”特別考查了考生對信息處理能力,如何通過閱讀,獲取與整合有關統(tǒng)計信息,如把“試題”中的信息“如檢驗出不合格品,則更換為合格品”和“已知每件產品的檢驗費用為2元,若有不合格品進入用戶手中,則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.”進行整合,找到問題解決的突破口.“試題”還考查了考生概率分布模型的構建,把不服從二項分布的隨機變量X轉化為服從二項分布的隨機變量Y,并且應用數(shù)學期望的線性關系求隨機變量X期望值.除此之外,“試題”對于運算綜合能力也作了考查,如超過三次的多項式函數(shù)的求導,求最大值點.還有“試題”最后一問對統(tǒng)計決策思維考查,考查考生通過數(shù)據分析進行推斷的能力,“以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據,是否該對這箱余下的所有產品作檢驗”,即要從兩個方面計算.一方面是:如果對這箱余下的所有產品不作檢驗,則由前一問已經算出檢驗費用與賠償費用和的期望值為490元;另一方面是:如果對這箱余下的所有產品作檢驗,則只需付檢驗費用400元,檢驗費用與賠償費用和的期望值為400元.然后比較兩種情況的期望值,即可下結論:應該對余下的所有產品作檢驗.

2.3 解法剖析

2.3.1 第一問主要是根據n次獨立重復試驗恰有k次發(fā)生的概率計算公式列出有關p的函數(shù)f(p),然后再求最大值點.詳細解答如下:

解法一(1)20件產品中恰有2件不合格的概率為因此

令f′(p)=0,得p=0.1.當p∈(0,0.1)時,f′(p)＞0;當p∈(0.1,1)時,f′(p)＜0.所以f(p)的最大值點為p0=0.1.

評析有很多考生不能正確寫成f(p)解析式,其原因是對n次獨立重復試驗恰有k次發(fā)生的概率計算公式不熟悉.能正確寫成f(p)解析式的考生,又有大部分不會求最大值點,或者求導出錯、求最大值點時沒有說明單調性,表達不嚴謹?shù)?

“試題”的最大值點p0=0.1,恰好等于也可以推廣到一般的情況:

記n件產品中恰有k(0≤k≤n)件不合格品的概率為f(p),則f(p)的最大值點

實際上,n件產品中恰有k(0≤k≤n)件不合格品的概率為因此,令f′(p)=0,得當時,f′(p)＞0;當時,f′(p)＜0.所以f(p)的最大值點為

解法二(1)20件產品中恰有2件不合格的概率為

因為0＜p＜1.所以當且僅當9p=1-p即時,等號成立,即f(p)取得最大值.所以f(p)的最大值點

評析很少考生能正確應用基本不等式求f(p)的最大值點p0,基本不等式的拆項對考生能力要求較高.

2.3.2 第二問主要是在第一問的基礎上,應用二項分布期望值求解公式求出檢驗費用與賠償費用和的期望值,并進行決策判斷.詳細解答如下:

(2)由(1)知,p=0.1.

解法一令Y表示余下的180件產品中的不合格品件數(shù),依題意知Y～B(180,0.1).X=20×2+25Y即X=40+25Y,所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490(元).

評析隨機變量X表示“這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和”,不服從二項分布,而另外假設隨機變量Y表示“余下的180件產品中的不合格品件數(shù)”,服從二項分布,再建立起隨機變量X與Y的關系X=20×2+25Y,應用數(shù)學期望的線性關系公式進行求解,考查了考生轉化的能力以及概率模型意識.有部分考試直接寫出X的數(shù)學期望:沒有應用二項分布,直接應用樣本估計總體或幾何分布求解,依據不充分,思維不嚴謹.

解法二(I)設檢驗費用為X1元,賠償費用為X2元,若不對該箱余下的產品作檢驗,則檢驗費用為X1=20×2=40(元).因為已經檢驗了20件,還剩下180件沒有檢驗,設180件產品中有不合格產品n件,由(1)得即所以,E(X2)=18×25=450(元).所以,E(X)=450+40=490(元).

評析檢驗費用和賠償費用分別計算其數(shù)學期望,再進行求和.

解法三(i)X的可能取值為40,65,90,···,4540.

評析直接列出隨機變量X的所有可能取值,求出其分布列,然后再算出數(shù)學期望值,這方法理論上可以算出答案,但計算量非常大,極個別考生能夠正確表達,有些考生只能列出X的可能取值為40,65,90,···,4540.很多考生都是錯誤地列出X的可能取值為40,65,90,原因是把剩下的180件產品理解為20件產品中不合格產品可能有0,1,2件,關系上混淆.

解法四 (i)設檢驗費用為X1元,賠償費用為X2元,每一件產品賠償費用為ξ元.若不對該箱余下的產品作檢驗,則檢驗費用為X1=20×2=40(元).因為每件產品不合格的概率為0.1,若有不合格品進入用戶手中,賠償費為25元.所以

所以Eξ=0×0.9+25×0.1=2.5.所以EX2=180×2.5=450(元).E(X)=450+40=490(元).

評析在計算賠償費用時,先計算每件產品賠償費用的數(shù)學期望值,再計算剩下180件產品的賠償費用的數(shù)學期望值.

(ii)如果對余下的產品作檢驗,則這一箱產品所需要的檢驗費為400元.由于EX＞400,故應該對余下的所有產品作檢驗.

3.備考建議

3.1 以實例為載體,理解統(tǒng)計概率基本概念教學中應通過對一些典型案例的處理,使學生經歷較為系統(tǒng)的數(shù)據處理全過程,在此過程中學習數(shù)據分析的方法,理解數(shù)據分析的思路,運用所學知識和方法解決實際問題.因此,在高考復習中,統(tǒng)計概率的復習也要結合具體的實例,通過課本中的例題、習題,讓學生深刻地理解統(tǒng)計概率的基本概念.例如對于條件概率的理解,就可以通過教材中的實例“三張獎券中只有一張能中獎,現(xiàn)分別由三名同學無放回地抽取,如果已經知道第一名同學沒有抽到中獎獎券,那么最后一名同學抽到中獎獎券的概率是多少?”,讓學生從不同角度的運算,反復地理解條件概率以及運算.

3.2 加強閱讀與信息處理能力培養(yǎng)

閱讀與信息處理能力考查是近三年全國I卷理科數(shù)學統(tǒng)計概率解答題的突出特點,有文字閱讀,也有數(shù)學圖表的閱讀.如2016年全國I卷理科數(shù)學統(tǒng)計概率解答題就涉及到柱狀圖以及文字的理解,通過柱狀圖獲取到以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器三年內需更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率信息,可以得出1臺機器更換零件數(shù)為8,9,10,11的頻率分別為:0.2,0.4,0.2,0.2,從而得出2臺機器三年內共需更換的易損零件數(shù)X的所有可能取值為16,17,18,19,20,21,22,然后再求出X的分布列.復習備考時可以結合典型的例子,給學生充分的時間,引導學生閱讀,通過閱讀后,讓學生表述,提升信息處理的基本能力.

3.3 注重滲透模型化思想

高考中統(tǒng)計與概率的問題基本上是應用問題,情景的設置貼近學生的生活實際,對數(shù)學建模都有一定的要求.特別是理科試卷集中在離散型隨機變量的分布列、離散型隨機變量的期望值和方差等.例如,要求學生能夠識別題中提出的隨機變量服從什么分布,并應用相應公式,求出其分布列.如2017年試題是通過“根據長期生產經驗,可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).”和“假設生產狀態(tài)正常,記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù)”判斷隨機變量X服從二項分布.所以在復習備考時需要引導學生分析,試題給出多少個隨機變量.如果是一個隨機變量,先判斷其是否服從兩點分布、二項分布或超幾何分布,或者一般的分布;如果是兩個隨機變量,要判斷是研究線性相關問題還是獨立性檢驗問題,從而強化學生的模型意識.

3.4 突出統(tǒng)計思維培養(yǎng)

統(tǒng)計思維是一種重要的思維方式,它和確定性思維一樣成為人們不可缺少的思想武器,由不確定的數(shù)據進行推理也是同樣有力而普遍的方法.統(tǒng)計的基本思維模式是歸納,它的特征之一是通過部分的數(shù)據來推測全體數(shù)據的性質.因此,統(tǒng)計結果具有隨機性,統(tǒng)計推斷是有可能犯錯誤的,這點與確定性思維不同.近三年高考試題對統(tǒng)計思維都有考查,2016年試題是“以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據,在n=19與n=20之中選其一,應選用哪個?”,2017年試題是“(I)試說明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性;”與“用樣本平均數(shù)作為μ的估計值,用樣本標準差s作為σ的估計值,利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查?”.因此在復習備考中,特別要引導學生應用統(tǒng)計的思維來決策,一方面要有數(shù)據作為依據,另一方面要體現(xiàn)推斷的隨機性,如“估計”等.

3.5 強化運算綜合能力

運算綜合能力是解決統(tǒng)計概率問題必不可少的能力,并且高考對運算綜合能力考查要求都比較高,在復習備考中要有足夠的重視.一方面要引導學生學會相應的運算方法,另一方面要培養(yǎng)學生獨立運算能力,讓學生經歷運算的全過程.如2017年試題中“剔除之外的數(shù)據,用剩下的數(shù)據估計μ和σ(精確到0.01)”,運算方法要求比較靈活,運算量也比較大.