康愛(ài)花

(朔州師范高等?？茖W(xué)校, 山西 朔州 036000)

生態(tài)傳染病模型是生物數(shù)學(xué)的一個(gè)分支[1],它主要是研究傳染病在不同種群之間的傳播,因?yàn)樽匀唤绲姆N群之間不是孤立的,彼此之間競(jìng)爭(zhēng)棲息環(huán)境、競(jìng)爭(zhēng)食餌等。Kooi等人[2]詳細(xì)研究了傳染病在捕食者中傳播的生態(tài)傳染病模型的穩(wěn)定性。

對(duì)捕食模型添加捕撈項(xiàng)和避難項(xiàng)的相關(guān)研究是最近幾年來(lái)生物數(shù)學(xué)中的兩個(gè)研究熱點(diǎn)。避難項(xiàng)主要有兩種類型[3]:一是所謂的“常數(shù)避難”,即x-m;二是所謂的“按一定比例避難”,即(1-m)x,如文獻(xiàn)[4]建立了食餌具有避難項(xiàng)的生態(tài)傳染病模型。捕撈對(duì)被捕撈種群的數(shù)量影響也很大[5],這種影響直接取決于捕撈的方法,不合理的捕撈可能導(dǎo)致種群絕滅,也可能使種群穩(wěn)定生長(zhǎng),如文獻(xiàn)[6]建立了具有捕撈項(xiàng)的生態(tài)傳染病模型。

1 模型建立

目前很少文獻(xiàn)涉及既考慮捕撈項(xiàng)又考慮避難項(xiàng)的生態(tài)傳染病模型,本文在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上,添加了捕撈項(xiàng)和考慮避難項(xiàng),食餌具有Holling III功能性反應(yīng)的生態(tài)傳染病模型,建立模型如下:

(1)

在模型中,S(t)、I(t)、Y(t)分別表示t時(shí)刻易感食餌、感染食餌和捕食者的數(shù)量;參數(shù)r表示食餌的內(nèi)稟增長(zhǎng)率、k表示食餌的環(huán)境容納量、β是疾病的傳染率、c和d分別表示感染食餌和被捕食者的自然死亡率,(1-m)I是感染食餌躲藏捕食者的數(shù)量,q1E1、q2E2、q3E3分別是對(duì)易感食餌、感染食餌和捕食者的捕獲量。假設(shè)模型中所有參數(shù)都是非負(fù)的。

2 穩(wěn)定性分析

2.1 有界性

證明 令ω=μS+μI+Y,

對(duì)上式求導(dǎo),可得

(2)

這里

θ=min{μq1E1,(μ(c+q2E2)),(d+q3E3)},即

(3)

求解上述一階線性微分不等式,可得

I(0),Y(0))e(-θt)

(4)

2.2 平衡點(diǎn)的存在性

當(dāng)條件r>q1E1成立時(shí),平衡點(diǎn)E1存在;

當(dāng)條件rkβ>rc+rq2E2+kβq1E1成立時(shí),平衡點(diǎn)E2存在;

當(dāng)條件μ>d+q3E3,rk>(r+kβ)I*+kq1E1,βS*>c+q2E2同時(shí)成立時(shí),正平衡點(diǎn)E*存在。

2.3 平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定

(5)

通過(guò)判斷其特征根的正負(fù)來(lái)判斷相對(duì)應(yīng)平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。

(i)如果條件r

(ii)如果條件rkβ

(iii)如果條件μ

(iv)如果條件μ2α(d+q3E3)<4(μ-d-q3E3)3(1-m)2成立時(shí),正平衡點(diǎn)E*是局部穩(wěn)定的。

關(guān)于正平衡點(diǎn)E*的特征方程為

μ3+B1μ2+B2μ+B3=0

(6)

顯然B1>0,B3>0,如果μ2α(d+q3E3)<4(μ-d-q3E3)3(1-m)2時(shí),B1B2-B3>0。根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)[8]可知,正平衡點(diǎn)E*是局部穩(wěn)定的。

2.4 平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

通過(guò)構(gòu)造Lyapunov函數(shù),我們可以判斷各平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。

證明 構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為：

(7)

對(duì)式(7)求導(dǎo),可得

(8)

由此可見(jiàn),平衡點(diǎn)E0是全局穩(wěn)定的。

定理1.3 如果條件βk-c-q2E2<0成立時(shí),平衡點(diǎn)E1在區(qū)域Σ={(S,I,Y):S>0,I>0,Y>0}上是全局穩(wěn)定的。

證明 構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為：

V=μI+Y

(9)

對(duì)式(9)求導(dǎo),可得

≤μ(βk-c-q2E2)I-(d+q3E3)Y

(10)

因此,模型(1)的極限系統(tǒng)為：

(11)

顯然平衡點(diǎn)E1是全局穩(wěn)定的。

定理1.4 如果條件d-μ+q3E3>0成立時(shí),平衡點(diǎn)E2在區(qū)域Σ={(S,I,Y):S>0,I>0,Y>0}上是全局穩(wěn)定的。

證明 構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為：

V=Y

(12)

對(duì)式(12)求導(dǎo)可得

(13)

所以平衡點(diǎn)E2是全局穩(wěn)定的。

3 結(jié)論

本文建立了考慮捕撈項(xiàng)和避難項(xiàng)的生態(tài)傳染病模型,且食餌具有Holling III的功能性反應(yīng)函數(shù),主要討論了模型各平衡點(diǎn)的存在性以及局部、全局穩(wěn)定性。具體結(jié)論如下:

1)避難項(xiàng)m只影響正平衡點(diǎn)E*的局部穩(wěn)定性;

2)捕獲量q2E2、q3E3影響邊界平衡點(diǎn)E1和E2的全局穩(wěn)定性。