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      包含完全數(shù)的非線性Euler函數(shù)方程的解

      2018-10-17 01:45:36郭夢媛
      關(guān)鍵詞:因式數(shù)論奇數(shù)

      鄭 璐,高 麗,郭夢媛

      (延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 陜西 延安 716000)

      設(shè)n是正整數(shù),φ(n)為Euler函數(shù)。Euler函數(shù)φ(n)是數(shù)論中極其重要的函數(shù)之一,有關(guān)Euler函數(shù)方程求解問題成為數(shù)論研究中的一個極富意義的課題,引起了不少學(xué)者的關(guān)注,也得到了一系列重要結(jié)論,如文獻(xiàn)[1-6]。

      文獻(xiàn)[7-11]對于形如φ(ab)=k(φ(a)+φ(b))的線性Euler函數(shù)φ(n)的方程有著一定的研究,文獻(xiàn)[12]對于形如φ(mn)=aφ(m)+bφ(n)+c的非線性Euler函數(shù)φ(n)的方程,討論了a=7,b=8,c=16情形時的全部52組解。

      本文將討論c為完全數(shù)6且ab=c時,非線性Euler函數(shù)φ(n)的方程的整數(shù)解。其中,完全數(shù)又稱完美數(shù)或完備數(shù),是一些特殊的自然數(shù)。它所有的真因子(即除了自身以外的約數(shù))的和,恰好等于它本身,因此第1個完全數(shù)是6,第2個完全數(shù)是28,第3個完全數(shù)是496,后面的完全數(shù)還有8 128、33 550 336等。

      1 相關(guān)引理

      引理1[13]對任意正整數(shù)m與n,若m|n,則φ(m)|φ(n)。

      引理3[13]當(dāng)n≥2時,φ(n)

      2 定理及其證明

      定理1 方程φ(mn)=φ(m)+6φ(n)+6有正整數(shù)解(m,n)=(9,12),(11,5),(11,8),(11,10),(11,12),(14,4),(14,6),(18,4),(19,3),,(19,4),(19,6),(22,5),(26,2),(27,4),(28,2),(36,2),(38,3),(42,4),共18組解。

      證明設(shè)gcd(m,n)=d,則φ(m)=m1φ(d),φ(n)=n1φ(d),其中m1,n1∈Z+。由方程(3)得φ(d)(dm1n1-m1-6n1)=6,從而有φ(d)=1,2,3,6。由引理3可得φ(d)=1,2,6。

      情形1 當(dāng)φ(d)=1時,此時有dm1n1-m1-6n1=6,由φ(d)=1得d=1,2。

      1) 當(dāng)d=1時,有m1n1-m1-6n1=6,從而有(m1-6)(n1-1)=12,根據(jù)因式與因式的所有可能關(guān)系,建立關(guān)系式從而得到(m1,n1)=(7,13),(8,7),(9,5),(10,4),(12,3),(18,2)。

      當(dāng)(m1,n1)=(7,13),(8,7),(9,5),(12,3)時,φ(m)與φ(n)兩者中至少有一個為大于1的奇數(shù),則方程無解。

      當(dāng)(m1,n1)=(10,4)時,φ(m)=10,φ(n)=4,則m=11,22,n=5,8,10,12,從而方程有解(m,n)=(11,5),(11,8),(11,10),(11,12),(22,5)。

      當(dāng)(m1,n1)=(18,2)時,φ(m)=18,φ(n)=2,則m=19,27,38,54,n=3,4,6,從而方程有解(m,n)=(19,3),(19,4),(19,6),(27,4),(38,3)。

      2) 當(dāng)d=2時,有2m1n1-m1-6n1=6,從而有(m1-3)(2n1-1)=9,根據(jù)因式與因式的所有可能關(guān)系,建立關(guān)系式從而得到(m1,n1)=(4,5),(6,2),(12,1)。當(dāng)(m1,n1)=(4,5)時,φ(m)與φ(n)兩者中至少有一個為大于1的奇數(shù),則方程無解。

      當(dāng)(m1,n1)=(6,2)時,φ(m)=6,φ(n)=2,則m=7,9,14,18,n=3,4,6,從而方程有解(m,n)=(14,4),(14,6),(18,4)。

      當(dāng)(m1,n1)=(12,1)時,φ(m)=12,φ(n)=1,則m=13,21,26,28,36,42,n=1,2,從而方程有解(m,n)=(26,2),(28,2),(36,2),(42,2)。

      情形2 當(dāng)φ(d)=2時,此時有dm1n1-m1-6n1=3,由φ(d)=2得d=3,4,6。

      1) 當(dāng)d=3時,有3m1n1-m1-6n1=3,從而有(m1-2)(3n1-1)=5,根據(jù)因式與因式的所有可能關(guān)系,建立關(guān)系式從而得到(m1,n1)=(3,2),此時φ(m)=6,φ(n)=4,則m=7,9,14,18,n=5,8,10,12,從而方程有(m,n)=(9,12)。

      2) 當(dāng)d=4時,有4m1n1-m1-6n1=3,從而有(2m1-3)(4n1-1)=9,根據(jù)因式與因式的所有可能關(guān)系,建立關(guān)系式從而得到(m1,n1)=(3,1),此時φ(m)=6,φ(n)=2,則m=7,9,14,18,n=3,4,6,因gcd(m,n)=d=4,從而方程無解。

      3) 當(dāng)d=6時,有6m1n1-m1-6n1=3,從而有(m1-1)(6n1-1)=4,根據(jù)因式與因式的所有可能關(guān)系,不存在m1,n1∈Ζ,使其成立,因此方程無解。

      情形3 當(dāng)φ(d)=6時,此時有dm1n1-m1-6n1=1.由φ(d)=6得d=7,9,14,18.;當(dāng)d=7時,有7m1n1-m1-6n1=1,從而有(7m1-6)×(7n1-1)=13;當(dāng)d=9時,有9m1n1-m1-6n1=1,從而有(3m1-2)(9n1-1)=5;當(dāng)d=14時,有14m1n1-m1-6n1=1,從而有(7m1-3)(14n1-1)=10;當(dāng)d=18時,有18m1n1-m1-6n1=1,從而有(3m1-1)(18n1-1)=8,。

      根據(jù)因式與因式的所有可能關(guān)系,當(dāng)d=7,9,14,18時,對于dm1n1-m1-6n1=1,不存在m1,n1∈Ζ,使其成立,因此方程無解。

      綜上所述,可得方程φ(mn)=φ(m)+6φ(n)+6所有正整數(shù)解。

      定理2 方程φ(mn)=2φ(m)+3φ(n)+6有正整數(shù)解(m,n)=(7,9),(7,18),(9,7),(9,14),(14,4),(14,6),(14,9),(18,4),(18,7),(21,3),(21,6),(36,3),(42,3).共13組解。

      證明設(shè)gcd(m,n)=d,則φ(m)=m1φ(d),φ(n)=n1φ(d),其中m1,n1∈Z+,由方程(3)得φ(d)(dm1n1-2m1-3n1)=6,從而有φ(d)=1,2,3,6,由引理3可得φ(d)=1,2,6。

      情形1 當(dāng)φ(d)=1時,此時有dm1n1-2m1-3n1=6,由φ(d)=1得d=1,2。

      1) 當(dāng)d=1時,有m1n1-2m1-3n1=6,從而有(m1-3)(n1-2)=12,根據(jù)因式與因式的所有可能關(guān)系,建立關(guān)系式從而得到(m1,n1)=(4,14),(5,8),(6,6),(7,5),(9,4),(15,3)。因當(dāng)(m1,n1)=(5,8),(7,5),(9,4),(15,3)時,φ(m)與φ(n)兩者中至少有一個為大于1的奇數(shù),即方程無解。

      當(dāng)(m1,n1)=(4,14)時,φ(m)=4,φ(n)=14,此時無解。

      當(dāng)(m1,n1)=(6,6)時,φ(m)=6,φ(n)=6,則m,n=7,9,14,18,從而方程有解(m,n)=(7,9),(9,7),(7,18),(9,14),(14,9),(18,7)。

      2) 當(dāng)d=2時,有2m1n1-2m1-3n1=6,從而有(2m1-3)(n1-1)=9,根據(jù)因式與因式的所有可能關(guān)系,建立關(guān)系式從而得到(m1,n1)=(2,10),(3,4)(6,2)。因當(dāng)(m1,n1)=(3,4)時,φ(m)與φ(n)兩者中至少有一個為大于1的奇數(shù),即方程無解。

      當(dāng)(m1,n1)=(2,10)時,φ(m)=2,φ(n)=10,則m=3,4,6,n=11,12,因gcd(m,n)=d=2,從而方程無解。

      當(dāng)(m1,n1)=(6,2)時,φ(m)=6,φ(n)=2,則m=7,9,14,18,n=11,12,從而方程有解(m,n)=(14,4),(14,6),(18,4)。

      情形2 當(dāng)φ(d)=2時,此時有dm1n1-2m1-3n1=3,由φ(d)=2得d=3,4,6。

      1) 當(dāng)d=3時,有3m1n1-2m1-3n1=3,從而有(m1-1)(3n1-2)=5,根據(jù)因式與因式的所有可能關(guān)系,建立關(guān)系式從而得到(m1,n1)=(6,1)。

      當(dāng)(m1,n1)=(6,1)時,φ(m)=12,φ(n)=2,則m=13,21,26,28,36,42,n=3,4,6,

      從而方程有解(m,n)=(21,3),(21,6),(36,3),(42,3)。

      2) 當(dāng)d=4時,有4m1n1-2m1-3n1=3,從而有(4m1-3)(2n1-1)=9,根據(jù)因式與因式的所有可能關(guān)系,建立關(guān)系式從而得到(m1,n1)=(1,5),(3,1)。

      當(dāng)(m1,n1)=(1,5)時,φ(m)=2,φ(n)=10,則m=3,4,6,n=11,22,。因gcd(m,n)=d=4,從而方程無解。

      當(dāng)(m1,n1)=(3,1)時,φ(m)=6,φ(n)=2,則m=7,9,14,18,n=3,4,6,

      因gcd(m,n)=d=4,從而方程無解。

      情形3 當(dāng)φ(d)=6時,此時有dm1n1-2m1-3n1=1。由φ(d)=6得d=7,9,14,18。

      1) 當(dāng)d=7時,有7m1n1-2m1-3n1=1,從而有(7m1-3)(7n1-2)=13;

      2) 當(dāng)d=9時,有9m1n1-2m1-3n1=1,從而有(3m1-1)(9n1-2)=5;

      3) 當(dāng)d=14時,有14m1n1-2m1-3n1=1,從而有(14m1-3)(7n1-1)=10;

      4) 當(dāng)d=18時,有18m1n1-2m1-3n1=1,從而有(6m1-1)(9n1-1)=4,。

      根據(jù)因式與因式的所有可能關(guān)系,當(dāng)d=7,9,14,18時,對于dm1n1-2m1-3n1=1,不存在m1,n1∈Ζ,使其成立,因此方程無解。

      綜上所述,可得方程φ(mn)=2φ(m)+3φ(n)+6的所有正整數(shù)解。

      3 結(jié)束語

      Euler函數(shù)φ(n)是數(shù)論中的一個重要函數(shù),關(guān)于Euler函數(shù)的一些重要性質(zhì)與之有關(guān)的不定方程的正整數(shù)解,目前仍是數(shù)論中的一個重要問題。

      本文討論了φ(mn)=aφ(m)+bφ(n)+c(c為完全數(shù)且ab=c),當(dāng)c=6時的非線性Euler函數(shù)φ(n)方程的整數(shù)解問題。結(jié)果表明:當(dāng)a=1,b=6時有正整數(shù)解18組;當(dāng)a=2,b=3時有正整數(shù)解13組。

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