鄧圭恩

微積分是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。微積分是指求函數(shù)曲線的切線斜率、求函數(shù)圖形的面積、求圖形的體積的一種方法和過(guò)程，在高中物理概念、物理定律都包涵微積分的思想。本文分析了微積分在高中物理的一些具體應(yīng)用，目的是理解微積分思想的同時(shí)也能熟練地運(yùn)用微積分來(lái)解決物理中的問(wèn)題。

數(shù)學(xué)作為物理學(xué)中的重要工具，它即能準(zhǔn)確而又簡(jiǎn)潔地表達(dá)物理概念和規(guī)律，也能為物理提供思維語(yǔ)言和方法。運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決物理問(wèn)題是高中階段學(xué)習(xí)目標(biāo)之一，高中生掌握求導(dǎo)和積分的思想及方法，是為物理學(xué)習(xí)提供了即方便實(shí)用又強(qiáng)大的工具。

1微積分在高中動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用

1.1利用微積分解決變速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

在高中階段，變速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題往往是許多同學(xué)的難點(diǎn)，很多變速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的模型都很難建立，對(duì)許多同學(xué)甚至是教師的思維能力都是一個(gè)很大的考驗(yàn)。但微積分知識(shí)和思想能幫助大家用更簡(jiǎn)潔普適的模型來(lái)解決這方面的問(wèn)題，比如對(duì)于下面這一道題：

例2：狐貍沿半徑R的圓軌道以恒定速率v奔跑，在狐貍出發(fā)的同時(shí)，獵犬從圓心O出發(fā)以相同的速率v追擊過(guò)程中，圓心、獵犬和狐貍始終連成一直線。

（1）建立相應(yīng)坐標(biāo)系，求出獵犬運(yùn)動(dòng)的軌道方程，并畫出軌道曲線。

（2）判斷獵犬能否追上狐貍。

這道題是一道經(jīng)典的物理競(jìng)賽題，現(xiàn)在也是被選入許多高校的自招理論試題，其經(jīng)典解法有很多，但絕大多數(shù)都復(fù)雜冗長(zhǎng)，很多同學(xué)并不能很好的理解。而如果我們選用微積分的方法，就會(huì)得到很容易為大家所接受，也較容易的解法了。

獵犬的軌道曲線如圖中虛線所示。是半徑為 且與原R圓相切于（ ， ）點(diǎn)的半圓。

獵犬、狐貍以相同速率 ，在相同時(shí)間內(nèi)分別經(jīng)過(guò)半徑為 的半圓和半徑為R的四分之一圓，一起到達(dá)圖中的P點(diǎn)，獵犬在此追上狐貍。

從這道題的解題中，能明顯看出微積分工具的優(yōu)越性，追擊的復(fù)雜模型用微積分很清晰的表達(dá)了出來(lái)，我們可以省略掉運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)一些我們難以描述的狀態(tài)的研究，使我們很輕松的解出了此題。

1.2利用微積分解決變力功率問(wèn)題

高中階段物理對(duì)于功與功率的探究在課本中內(nèi)容較少，但卻引申出了許多高考難題。很多同學(xué)對(duì)此不得不以刷很多的相關(guān)題型來(lái)記背，這對(duì)同學(xué)們對(duì)物理的熱情產(chǎn)生了很大的打擊，更損傷了同學(xué)們了學(xué)科思維。如果我們借助微積分來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題，不僅能較快解出問(wèn)題，更能深化對(duì)相關(guān)物理量如力、速度的理解。我們分析一下下題：

例1：系統(tǒng)如圖所示，很小的定滑輪與輕繩間無(wú)摩擦，繩的A端由變力F拉動(dòng)，使A始終具有水平勻速度 ；系統(tǒng)的其他參量均已在圖中示出，求F的功率P。

顯然，此題我們緊扣 與 的關(guān)系來(lái)解，由受力與牛頓第二定律解出 便解出了此題。以此推論，我們?cè)谔幚砀咧械墓εc功率時(shí)緊扣住公式 與 即可。用這種方法也更方便我們?nèi)ダ斫馕锢碓谶@方面的理論與思想。

2微積分在高中電磁學(xué)中的應(yīng)用

2.1利用微積分理解交流電有效值

課本上我們了解到交流電的有效值由其熱效應(yīng)來(lái)定義，并直接告訴了大家正弦交流電的有效值為其電流峰值的 ，但并沒(méi)有給我們能輕松理解的解釋，其實(shí)，只要利用簡(jiǎn)單微積分知識(shí)就可以得出這個(gè)結(jié)論。

例3：求正弦交流電 的有效值。

我們通過(guò)定義可知，關(guān)鍵在于求出該電流在一個(gè)周期之內(nèi)產(chǎn)生的熱量。我們知道焦耳定律 是用來(lái)求電流產(chǎn)生熱量的。

在電流為變量時(shí)，我們考慮極短時(shí)間內(nèi)的情況：

對(duì)該式進(jìn)行積分：

即：

設(shè)一恒定電流 在交流電的一個(gè)周期時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的熱量與上式的結(jié)果相同，那么，這個(gè)恒定電流的值即為該交流電的有效值。

即

解得這個(gè)恒定電流的值

這就得出了書上的結(jié)論了，而且這個(gè)方法相對(duì)來(lái)說(shuō)十分容易理解，并且，我們可以推論其他交流電電流有效值的求法同樣是設(shè)好 在進(jìn)行簡(jiǎn)單的積分即可。

2.2利用微積分快速求解場(chǎng)強(qiáng)

求解場(chǎng)強(qiáng)的問(wèn)題向來(lái)是競(jìng)賽入門與自招的熱點(diǎn)，同時(shí)，也是對(duì)很多同學(xué)物理概念理解的考察。學(xué)會(huì)利用微積分來(lái)求解場(chǎng)強(qiáng)問(wèn)題讓我們?cè)趯W(xué)會(huì)一種快速解題方法的同時(shí)，也更能讓我們更好的理解場(chǎng)強(qiáng)的產(chǎn)生。

例4：一半徑為R、厚度不計(jì)且均勻帶電的圓環(huán)，環(huán)上線電荷密度為 ，求過(guò)環(huán)心垂直于環(huán)面的中軸線上的一點(diǎn)A（0，0，z）的電場(chǎng)強(qiáng)度。

如圖，在圓環(huán)上任取一線電荷元 ，它在A點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為 .

由對(duì)稱性可知，整個(gè)圓環(huán)在A點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度只有沿z軸的分量.于是，只需要求的 的z軸分量即可.

易得：

對(duì)它積分即可求得圓環(huán)在A點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度

由這里我們很容易看到微積分在求解這類電場(chǎng)強(qiáng)度問(wèn)題時(shí)的優(yōu)越性，原本很難理解的模型進(jìn)行微分后便十分容易描述了，在進(jìn)行積分即可求出我們想要的東西。其實(shí)對(duì)于類似的物理量如磁場(chǎng)都可以如此求解。

結(jié)語(yǔ)：從以上我們可以很明顯的認(rèn)識(shí)到微積分在高中物理中的重要作用。然而筆者從日常學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)即使在數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)了一定的微積分知識(shí)后仍然不會(huì)在物理學(xué)科中去使用。而數(shù)學(xué)作為理科中作為基礎(chǔ)的學(xué)科，其知識(shí)在其他學(xué)科中的應(yīng)用是非常重要的。希望本文能讓大家更樂(lè)于去在物理中使用微積分或其他的數(shù)學(xué)知識(shí)。

（作者單位：湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)）