安春霖

【摘 要】函數(shù)的思想是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得解決.函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識(shí)或函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和解決問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)思想；一元二次函數(shù)；數(shù)學(xué)模型

就中學(xué)數(shù)學(xué)而言，函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題：二是在問(wèn)題的研究中，通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的目的. 函數(shù)思想主要有：（1）引入變量，確定函數(shù)關(guān)系；（2）選定主元，揭示函數(shù)關(guān)系；（3）選取變?cè)瑯?gòu)造函數(shù)關(guān)系；（4）實(shí)際問(wèn)題，建立函數(shù)關(guān)系；（5）特殊函數(shù)，轉(zhuǎn)化函數(shù)關(guān)系。下面我們結(jié)合幾個(gè)具體的例子來(lái)看看函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用。

例1.已知 ，（ 、 、 ），則有（ ）

A. B. C. D.

【點(diǎn) 撥】解法一通過(guò)化簡(jiǎn)，敏銳地抓住了數(shù)與式的特點(diǎn)： 看作是方程 的一個(gè)實(shí)根，再利用一元二次方程有根的充要條件 求得；解法二轉(zhuǎn)化為 是 、 的函數(shù)，運(yùn)用重要不等式解題.

【解答過(guò)程】解法一：依題設(shè)有

∴ 是實(shí)系數(shù)一元二次方程 的一個(gè)實(shí)根；∴

∴ 故選B.

解法二：去分母，移項(xiàng)，兩邊平方得：

∴ 故選B.

【易錯(cuò)點(diǎn)】不能合理地轉(zhuǎn)化為 是 、 的函數(shù)或構(gòu)造 來(lái)解題。

例2.已知 ，若關(guān)于 的方程 有實(shí)根，則 的取值范圍 .

【點(diǎn)撥】求參數(shù) 的范圍，可以先將 分離出來(lái)，表示為 的函數(shù)，求出函數(shù)的值域，進(jìn)而得到參數(shù) 的范圍。

【解答過(guò)程】方程即 ，

即

當(dāng) 時(shí)， 變?yōu)?，故 無(wú)解

當(dāng) 時(shí)， 變?yōu)?，故

當(dāng) 時(shí)， 變?yōu)?，故 無(wú)解

總之， 的取值范圍是

例3.已知函數(shù) .

（1）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）已知函數(shù) 的圖象與函數(shù) 的圖象關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng)，證明當(dāng) 時(shí)， ；

（3）如果 ，且 ，證明 .

【點(diǎn)撥】（1）利用導(dǎo)數(shù)，列出表格，求函數(shù)的單調(diào)性與極值；（2）首先根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求出 的解析式，再構(gòu)造函數(shù) ，轉(zhuǎn)化為只需利用單調(diào)性證明 ；（3）首先判斷 的范圍，再利用前兩問(wèn)的結(jié)論單調(diào)性，要證 ，只需證

【解答過(guò)程】（1）解： ，令 ，解得

當(dāng) 變化時(shí)， ， 的變化情況如下表：

1

+ 0 -

極大值

所以 在 內(nèi)是增函數(shù)，在 內(nèi)是減函數(shù)。

函數(shù) 在 處取得極大值 。

（2）證明：由題意可知 ，得

令 ，即 于是

當(dāng) 時(shí)， ，從而 ，由 ， ，從而函數(shù) 在 是增函數(shù)。

又 ，所以 時(shí)，有 ，即 .

（3）證明：1）若 ，由（1）及 ，則 與 矛盾。

2）若 由（1）及 ，則 與 矛盾。

根據(jù)1），2）得 ，不妨設(shè)

由（Ⅱ）可知， ，則 ，所以 ，從而 .因?yàn)?，所以 ，又由（Ⅰ）可知函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)是增函數(shù)，所以 ，即 。

【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)時(shí)容易出錯(cuò)；（2）在構(gòu)造函數(shù) 上存在問(wèn)題；（3）在做第3問(wèn)時(shí)，不知道合理利用前2問(wèn)的結(jié)論。

例4.已知雙曲線(xiàn)以?xún)蓷l坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，焦點(diǎn)在y軸上。它的實(shí)軸長(zhǎng)為2sinq（ ≤q≤ ），又這雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)M（1，0）的最短距離為 ，求該雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍。

【點(diǎn) 撥】雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為 =1，解題的首要環(huán)節(jié)是以點(diǎn)P的坐標(biāo)為變量建立|PM|的函數(shù)表達(dá)式，并用b，sinq表示其最小值，爾后由題設(shè)可建立b和sinq之間的關(guān)系式，把離心率e表示成b或sinq的函數(shù)，研究它的取值范圍。

【解題過(guò)程】設(shè)雙曲線(xiàn)方程為 =1。

|PM|2=（x-1）2+y2=（x-1）2+sin2q（1+ ）=（1+ ）x2-2x+1+sin2q

∵ x∈R，∴ |PM|2的最小值為1+sin2q- ，因此1+sin2q- = ，即b2= . 由b2>0，及 ≤q≤ ，得

函數(shù)思想作為中學(xué)數(shù)學(xué)的主線(xiàn)，其思想的高瞻性、應(yīng)用的廣泛性、解法的多樣性、思維的創(chuàng)造性確定了它在高考數(shù)學(xué)試卷中函數(shù)的比重仍然很大，不僅會(huì)出現(xiàn)有關(guān)函數(shù)性質(zhì)巧妙組合的小題，而且會(huì)出現(xiàn)融入各方面知識(shí)的函數(shù)的壓軸題，考查學(xué)生推理、論證的能力，以適合高校選拔人才的需要。

函數(shù)思想是對(duì)問(wèn)題建立函數(shù)模型，并利用函數(shù)概念和性質(zhì)解決問(wèn)題的重要方法。函數(shù)思想是高中數(shù)學(xué)中的一種重要思想方法，有意識(shí)地滲透函數(shù)思想，有助于提高學(xué)生的思維品質(zhì)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，為進(jìn)入大學(xué)進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打好基礎(chǔ)。通過(guò)以上幾個(gè)例題說(shuō)明了函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的廣泛應(yīng)用，表明了在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中滲透函數(shù)思想的重要性。

（作者單位：沁陽(yáng)市第一中學(xué)高三（5）班）