李 飛，秦國(guó)軍，莊圣賢

（1.西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，成都 610031； 2.湖南緯拓信息科技有限公司，長(zhǎng)沙 423038）

壓縮感知(Compressed Sensing)是D Donoho、E Candés及華裔科學(xué)家T Tao等人在2006年提出的一種突破了傳統(tǒng)香農(nóng)－奈奎斯特信號(hào)采樣定理的信息獲取與數(shù)據(jù)采集理論，其核心思想是將壓縮過(guò)程和采樣過(guò)程合并，直接針對(duì)信號(hào)所蘊(yùn)含信息進(jìn)行采樣，然后根據(jù)相應(yīng)的重構(gòu)算法恢復(fù)出原始信號(hào)[1–3]。但目前壓縮感知重構(gòu)算法都存在一些無(wú)法改善的缺點(diǎn)，如算法復(fù)雜、重構(gòu)誤差、含噪信號(hào)重構(gòu)效果差等[4]。

雙譜是高階譜中應(yīng)用最廣泛的一種分析方法，在理論上可完全抑制高斯噪聲，且保留了相位信息，可定量描述信號(hào)中的二次相位耦合，是分析非線(xiàn)性、非平穩(wěn)信號(hào)的有力工具，在故障診斷及特征提取領(lǐng)域的應(yīng)用研究不斷發(fā)展[5–6]，取得了較理想的應(yīng)用效果。

本文提出一種基于擴(kuò)展雙譜的壓縮信號(hào)特征提取方法，避免了尚存問(wèn)題的信號(hào)重構(gòu)過(guò)程，直接對(duì)壓縮信號(hào)進(jìn)行分析。仿真及工程應(yīng)用均表明了該方法可以有效地提取壓縮信號(hào)故障特征，為機(jī)械故障診斷提供有力的依據(jù)。

1 擴(kuò)展雙譜的基本原理

式中：E[]表示數(shù)學(xué)期望，f1和f2為頻率變量，表示頻譜，的復(fù)共軛。

為了實(shí)現(xiàn)壓縮信號(hào)的特征提取，需對(duì)雙譜的定義進(jìn)行推廣。如果權(quán)重因子{w1,w2,w3}滿(mǎn)足，則基于權(quán)值的擴(kuò)展雙譜可以定義為

很明顯，雙譜是權(quán)重因子均取1時(shí)的擴(kuò)展雙譜特例。當(dāng)w1=w2=1，w3=2時(shí)，另一種雙譜，中頻雙譜(Middle frequency bispectra，MFB)可以定義為

1.1 壓縮采樣

與傳統(tǒng)模數(shù)轉(zhuǎn)換過(guò)程不同，壓縮感知理論采用模擬信息轉(zhuǎn)換器實(shí)現(xiàn)由模擬信號(hào)到信息的轉(zhuǎn)換(Analog to Information Conversion，AIC)。調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器模型(Modulated Wideband Converter，MWC)是一種較成熟的模擬信息轉(zhuǎn)換模型，硬件實(shí)現(xiàn)較簡(jiǎn)單，特別適合信號(hào)頻域信息的采樣及重構(gòu)，本文采用MWC模型實(shí)現(xiàn)壓縮采樣。

圖1 調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器系統(tǒng)框圖

在調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)中，信號(hào)x(t)同時(shí)由m路采樣通道采集。各支路中的信號(hào)x(t)首先與偽隨機(jī)序列pi(t)混頻實(shí)現(xiàn)頻譜搬移，使低頻段包含整個(gè)頻譜范圍的信息。

M序列是一個(gè)常用的偽隨機(jī)序列，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于硬件實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，因此采用M序列作為混頻函數(shù)，其周期為T(mén)p，幅值隨機(jī)取±1，每個(gè)周期分為W個(gè)等間隔區(qū)間，可將其表示為

圖2 混頻函數(shù)pi(t)

pi(t)頻譜由一系列間距為fp的譜線(xiàn)組成，其傅立葉級(jí)數(shù)為

式中傅立葉系數(shù)cil隨頻率而變化，可表示為

以fp=3 kHz的M序列為例，其頻譜由一系列間距為fp的譜線(xiàn)組成，如圖3所示。

圖3 fp=3 kHz的混頻函數(shù)頻譜圖

混頻后信號(hào)經(jīng)過(guò)一個(gè)低通濾波器濾掉高頻部分，再通過(guò)采樣率為fs的低速ADC進(jìn)行采樣，獲得m組不同的低頻采樣序列yi[n]，至此完成了原始模擬信號(hào)到壓縮感知信息的轉(zhuǎn)化過(guò)程，即壓縮采樣過(guò)程。

1.2 壓縮信號(hào)的擴(kuò)展雙譜分析

令原始齒輪振動(dòng)信號(hào)為x(t)，齒輪轉(zhuǎn)頻為fr，齒數(shù)為Z，混頻M序列為m(t)，周期fp=Zfr。

忽略測(cè)量噪聲，x(t)的頻譜可以表示為

混頻時(shí)原始信號(hào)與混頻函數(shù)在時(shí)域上相乘，即在頻域上作卷積。由于混頻函數(shù)頻譜為一系列間距為fp的譜線(xiàn)，因此頻域卷積相當(dāng)于將原始信號(hào)頻譜進(jìn)行多次搬移并疊加，搬移量為kfp，k=±1，±2，±3，…?；祛l后信號(hào)的離散傅立葉變換為

通過(guò)低通濾波器后，采樣序列yi[n]的離散傅立葉變換為

根據(jù)式(5)，式(6)及傅立葉變換性質(zhì)，可將式(8)表示為

當(dāng)頻率為mfr時(shí)可表示為

在頻率對(duì)(m1fr,m2fr)處的雙譜為

齒輪振動(dòng)信號(hào)這樣的相位耦合信號(hào)，其相位滿(mǎn)足

故

當(dāng)M序列一個(gè)周期中脈沖數(shù)足夠多時(shí)，其在kfp處的相位譜總是均勻分布在( ]-π,π ，故

由上式可知，傳統(tǒng)雙譜無(wú)法表現(xiàn)相位耦合現(xiàn)象，因此需要另一種類(lèi)型的雙譜—中頻雙譜。

2 實(shí)驗(yàn)分析

2.1 仿真分析

下面對(duì)齒輪振動(dòng)仿真信號(hào)x(t)進(jìn)行分析，其表達(dá)式如下

Z=23，n(t)是高斯分布噪聲。

仿真信號(hào)及其頻譜如圖4所示，圖中可以看到與115 Hz，230 Hz，345 Hz相對(duì)應(yīng)的三個(gè)譜峰及邊頻帶分量。

令M序列一周期脈沖數(shù)W=63，則其時(shí)鐘頻率應(yīng)為5 Hz×23×63=7.245 kHz。M序列及其頻譜如圖5所示，其頻譜間隔為115 Hz。63個(gè)正交M序列的相位譜如圖6所示，其相位譜均勻分布在(0，2π]。混頻信號(hào)及其頻譜，濾波后頻譜如圖7所示：

圖4 x(t)及其頻譜圖

圖5 m(t)及其頻譜圖

圖6 M序列前5個(gè)譜線(xiàn)相位譜分布

圖7 混頻信號(hào)及其頻譜，濾波后頻譜

對(duì)混頻信號(hào)進(jìn)行中頻雙譜分析，結(jié)果如圖8所示。

圖8 混頻信號(hào)中頻雙譜

上圖可明顯看到在(5 Hz，15 Hz)，(5 Hz，25 Hz)，(10 Hz，20 Hz)處存在3個(gè)與(fr，3fr)，(fr，5fr)及(2fr，4fr)對(duì)應(yīng)的譜峰。因此，中頻雙譜可以用于識(shí)別相位耦合，即齒輪故障識(shí)別。

2.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)自英國(guó)哈德斯菲爾德大學(xué)，包括齒輪磨損整個(gè)生命周期的數(shù)據(jù)，試驗(yàn)臺(tái)系統(tǒng)由兩個(gè)串聯(lián)安裝的工業(yè)齒輪箱組成，如圖9所示，主要參數(shù)如表1所示。

圖9 試驗(yàn)臺(tái)系統(tǒng)示意圖

表1 試驗(yàn)臺(tái)主要參數(shù)

利用GB2齒輪自然磨損的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析，圖10為其時(shí)域及頻譜圖。原始信號(hào)有兩級(jí)嚙合頻率，這里只需要分析與故障更相關(guān)的一級(jí)嚙合頻率及其諧波，不相關(guān)部分通過(guò)低通濾波濾掉。

為了保留相位耦合信息，混頻M序列時(shí)鐘頻率應(yīng)為63×fm1，頻譜間隔fm1=200.36 Hz。對(duì)混頻信號(hào)進(jìn)行中頻雙譜分析，其結(jié)果如圖11。

由于轉(zhuǎn)速波動(dòng)及異常頻率影響，中頻雙譜圖中無(wú)法看到明顯的故障特征，需對(duì)方法進(jìn)行改進(jìn)。

圖10 振動(dòng)信號(hào)及其頻譜

圖11 混頻信號(hào)中頻雙譜

2.3 方法改進(jìn)及驗(yàn)證

為了消除轉(zhuǎn)速影響，引入階次分析，將信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)化為角度域，從頻域分析轉(zhuǎn)化為階次域分析。同時(shí)采用角域同步平均，以加強(qiáng)與轉(zhuǎn)速相關(guān)的同步振動(dòng)分量，減小非同步分量及噪聲。其原理框圖如圖12所示。

圖12 改進(jìn)方法原理框圖

振動(dòng)信號(hào)階次譜及濾波后階次譜如圖13所示

圖13 振動(dòng)信號(hào)階次譜及濾波后階次譜

混頻M序列時(shí)鐘頻率應(yīng)為63×fm，頻譜間隔fm=13。M序列及混頻信號(hào)階次譜如圖14所示

圖14 M序列階次譜及混頻信號(hào)階次譜

混頻信號(hào)通過(guò)截止頻率為5的低通濾波器后進(jìn)行低頻采樣，再通過(guò)角域平均消除非同步分量，得到角域壓縮信號(hào)，結(jié)果如圖15所示

圖15 濾波及平均后混頻信號(hào)階次譜

對(duì)角域壓縮信號(hào)進(jìn)行中頻雙譜分析，不同故障階段的結(jié)果如圖16所示。

圖16 濾波及平均后混頻信號(hào)階次譜

可以看到在(3，1)，(2，4)和(5，3)處存在3個(gè)與(3fr，fr)，(2fr，4fr)及(5fr，3fr)對(duì)應(yīng)的譜峰，其幅值隨故障程度而明顯增加，可用于識(shí)別齒輪故障。

3 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)齒輪壓縮信號(hào)頻域特性進(jìn)行了研究，對(duì)壓縮信號(hào)特征提取方法——中頻雙譜進(jìn)行了理論推導(dǎo)，通過(guò)仿真及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的有效性。

（1）滿(mǎn)足一定條件的混頻M序列能將高頻信息搬移到低頻并保留相位耦合特征，中頻雙譜能夠提取壓縮信號(hào)中的相位耦合特征，識(shí)別齒輪故障。

（2）雖然實(shí)際應(yīng)用中存在轉(zhuǎn)速波動(dòng)，非相關(guān)分量的影響，但這些問(wèn)題可以通過(guò)引入階次分析，角域同步平均等技術(shù)消除，得到很好的結(jié)果。