“平面”教學(xué)設(shè)計(jì)的理性突圍

胡浩

【摘要】“平面”是高中數(shù)學(xué)立體幾何的原始概念.學(xué)生舊有的認(rèn)知基礎(chǔ)和傳統(tǒng)的教學(xué)設(shè)計(jì)，阻礙了學(xué)生對(duì)平面“無(wú)限延展性”的理解，從而導(dǎo)致作圖教學(xué)遇到瓶頸.革新傳統(tǒng)的教學(xué)設(shè)計(jì)，融入數(shù)學(xué)史素材，借助信息技術(shù)的強(qiáng)大功能，創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)，對(duì)平面的教學(xué)進(jìn)行理性突圍，進(jìn)而，對(duì)原始概念的教學(xué)及其設(shè)計(jì)提出自己的思考.

【關(guān)鍵詞】平面；無(wú)限延展性；意象；創(chuàng)新設(shè)計(jì)；理性突圍；價(jià)值取向

1作圖教學(xué)中產(chǎn)生的困惑

“平面”是幾何學(xué)中的原始概念，是高中數(shù)學(xué)幫助學(xué)生建立空間觀念、培養(yǎng)空間想象能力及空間認(rèn)知能力的“第一粒鈕扣”.但在教學(xué)實(shí)踐中，教師通常不重視此概念的教學(xué)，表現(xiàn)在只是通過(guò)類(lèi)比直線(xiàn)，借助“平靜的水面”、“光滑的桌面”等物象展開(kāi)告知式的教學(xué)，過(guò)高地估計(jì)學(xué)生的原有認(rèn)知基礎(chǔ)，導(dǎo)致后續(xù)的作圖教學(xué)遇到了瓶頸：學(xué)生不能順暢地作出兩個(gè)平面的交線(xiàn)，進(jìn)而不能畫(huà)出幾何體中符合要求的截面，更不能解決諸如多面體各面延伸分空間部分問(wèn)題.章建躍博士曾說(shuō)：“作圖是立體幾何學(xué)習(xí)的‘第一大事”；2017年6月，代欽教授在北京師范大學(xué)舉行的“中學(xué)數(shù)學(xué)課程與教材國(guó)際論壇”上，也指出：“作圖是幾何教育的根基.”如何把數(shù)學(xué)想清楚，如何把數(shù)學(xué)講明白，如何使學(xué)生會(huì)思考，這是數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)和教學(xué)睿智的剛性要求.基于此，筆者通過(guò)調(diào)研，得出：其根源還是學(xué)生對(duì)平面及其性質(zhì)，尤其是對(duì)平面“無(wú)限延展性”理解不到位，進(jìn)而表明傳統(tǒng)的教學(xué)設(shè)計(jì)或大多數(shù)設(shè)計(jì)，對(duì)學(xué)情的分析有偏差，目中有人，但影像模糊，偏離了教學(xué)的宗旨——成就和發(fā)展學(xué)生.

2平面的意象和認(rèn)知基礎(chǔ)

學(xué)習(xí)立體幾何，學(xué)生對(duì)平面的意象主要是生活實(shí)踐、舊有知識(shí)中的物象，顯性認(rèn)知是直線(xiàn)，而隱性的認(rèn)知是研究幾何對(duì)象的思想.

（1）從概念意象上看，主要是學(xué)生無(wú)意識(shí)積累的一些關(guān)于平面的生活類(lèi)、舊知類(lèi)和圖形類(lèi)的初步認(rèn)識(shí)[1]，如：平靜的水面、光滑的桌面，長(zhǎng)方體、正方體的面，等.

（2）從知識(shí)基礎(chǔ)上看，主要是學(xué)生關(guān)于直線(xiàn)的知識(shí)（定義、表示、直線(xiàn)公理等），主要基于學(xué)生對(duì)直線(xiàn)“無(wú)頭無(wú)尾”性質(zhì)的想象與理解.

（3）從研究思路上看，研究一個(gè)幾何對(duì)象，有一條“慣常線(xiàn)路”：先是結(jié)合生活實(shí)際，抽象出幾何對(duì)象，然后下定義，用文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示對(duì)象；接下來(lái)研究其性質(zhì)，主要是構(gòu)成圖形的一些要素之間的關(guān)系，包括位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系、與其它幾何對(duì)象的關(guān)系等.這條線(xiàn)路，學(xué)生雖已多次體驗(yàn)，但未加留意，也未必熟悉.這取決于教師的教育理念，取決于教學(xué)活動(dòng)的寬度與高度，取決于教學(xué)行為的品位與品質(zhì)，在平時(shí)的教學(xué)中教師是否注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行“系統(tǒng)思維”的歷練和養(yǎng)成.

3傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)及其弊端

在各級(jí)各類(lèi)考評(píng)課、優(yōu)質(zhì)課、示范課、公開(kāi)課中，“平面”的教學(xué)設(shè)計(jì)大體框架如下：

（1）回顧直線(xiàn)的概念（生活抽象，特征：直的、無(wú)限延伸、沒(méi)有長(zhǎng)短、沒(méi)有粗細(xì)），類(lèi)比得出平面的概念（平的、無(wú)限延展性，沒(méi)有邊界、沒(méi)有厚?。?

（2）類(lèi)比直線(xiàn)的畫(huà)法與表示，讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)：讀一讀，畫(huà)一畫(huà)，寫(xiě)一寫(xiě)，說(shuō)一說(shuō)，得出平面的畫(huà)法與表示.

（3）結(jié)合學(xué)具（直線(xiàn)、平面），提煉出直線(xiàn)在平面內(nèi)、平面與平面重合、平面與平面相交這三種位置關(guān)系，從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)或分布規(guī)律，多媒體輔助，展開(kāi)三個(gè)公理的教學(xué).

物質(zhì)的本質(zhì)是運(yùn)動(dòng).筆者認(rèn)為，根據(jù)這樣的設(shè)計(jì)展開(kāi)平面概念的教學(xué)，學(xué)生得到的只是靜態(tài)的、僵化的、沒(méi)有遷移能力和發(fā)展?jié)摿Φ闹R(shí)，不能真正突破平面無(wú)限延展性的“圍堵”，有明顯的弊端或不足.

學(xué)生對(duì)“平面”的認(rèn)知基礎(chǔ)和意象主要來(lái)自直線(xiàn)，但是，由于學(xué)生對(duì)直線(xiàn)的理解只是停留在“一維”區(qū)間中，不能升級(jí)到“二維”域的層面，因而導(dǎo)致傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)表面芳華，卻不能生根.事實(shí)上，由直線(xiàn)類(lèi)比出平面，需要舍棄對(duì)象所有的物理性質(zhì)，抽象出對(duì)象的數(shù)學(xué)屬性（即把對(duì)象數(shù)學(xué)化），需要學(xué)生有很強(qiáng)的空間想象能力和數(shù)學(xué)直覺(jué)思維能力，這對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)，思維跨度太大，能力要求過(guò)高.另外，“平靜的水面”、“光滑的桌面”等物象，只能形成學(xué)生平面“平”的形象，不能形成學(xué)生平面“無(wú)邊”的意象，反而容易產(chǎn)生平面“是有邊界”、“是個(gè)封閉圖形”的思維干擾.教科書(shū)中，“用平行四邊形表示平面”的說(shuō)法，實(shí)屬不妥，應(yīng)調(diào)整為“用平行四邊形表示平面的局部”，實(shí)際上，平面是不可以畫(huà)出全貌的，這就給研究空間中點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系帶來(lái)很大不便.如何解決？用平行四邊形表示平面的局部，再輔以平面具有“無(wú)限延展性”的想象，問(wèn)題迎刃而解.基于此，筆者又查閱了一些經(jīng)典的教學(xué)設(shè)計(jì)文獻(xiàn)，如《名師授課錄（中學(xué)數(shù)學(xué)）·高中版》、文衛(wèi)星著《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法研究》等，大體上按以上設(shè)計(jì)展開(kāi)教學(xué).筆者沉思，平面的教學(xué)設(shè)計(jì)難道就是如此的固步自封，自我囚禁，不能與時(shí)俱進(jìn)？一定不是，傳統(tǒng)的教學(xué)設(shè)計(jì)必須要革新！

4創(chuàng)新設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)理性突圍

化學(xué)家傅鷹指出：“一門(mén)科學(xué)的歷史是那門(mén)科學(xué)最寶貴的一部分，因?yàn)榭茖W(xué)只能給我們知識(shí)，而歷史卻給我們智慧”.平面的概念在歷史上經(jīng)過(guò)了漫長(zhǎng)的發(fā)展，眾多數(shù)學(xué)家都對(duì)平面作過(guò)刻畫(huà)[2].

古希臘哲學(xué)家巴門(mén)尼德（Parmenides）將平面定義為“一個(gè)二維對(duì)象、直的表面.”

歐幾里得（Euclid）將平面定義為“與其上直線(xiàn)一樣平放著的面.”

海倫（Heron）將平面定義為“平面是具有以下性質(zhì)的面，它向四周無(wú)限延展，平面上的直線(xiàn)都與之相合，且若一條直線(xiàn)上有兩點(diǎn)與之相合，則整條直線(xiàn)在任意位置與之相合.”

傅里葉（Fourier）對(duì)平面的定義為“平面由經(jīng)過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直的所有直線(xiàn)構(gòu)成.”

萊布尼茲（G.W.Leibniz）將平面看成“平面是與兩點(diǎn)等距離的點(diǎn)的集合.”

數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南，教育取向的數(shù)學(xué)史研究為課堂教學(xué)提供了豐富的素材.通過(guò)回顧歷史，我們不難發(fā)現(xiàn)：平面的認(rèn)知基礎(chǔ)和意象的確是直線(xiàn).但是，采用告知式的教學(xué)方式，顯然不能對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)研究方法的滲透，不能對(duì)學(xué)生進(jìn)行理性精神的培養(yǎng).因此，立足教材，著眼學(xué)生，對(duì)平面的教學(xué)進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計(jì)意義重大.

（1）回顧直線(xiàn)的概念.生活抽象，特征：直的、無(wú)限延伸、沒(méi)有長(zhǎng)短、沒(méi)有粗細(xì).教師指出，描述直線(xiàn)概念時(shí)，我們是舍棄了其物理性質(zhì)：粗細(xì)、輕重、顏色等，保留其數(shù)學(xué)屬性：直的、無(wú)限延伸，因而直線(xiàn)是沒(méi)有長(zhǎng)短的.

（2）由“平靜的水面”、“光滑的桌面”等物象，抽象出“平”的形象；用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)展示，歷史上數(shù)學(xué)家傅里葉對(duì)平面的理解：“平面由經(jīng)過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直的所有直線(xiàn)構(gòu)成”，如圖1.圖1

（3）結(jié)合幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生思考、探究和感悟：直線(xiàn)m在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，由于始終與直線(xiàn)l垂直，再加上m是直的，所以直線(xiàn)m掃過(guò)的圖形應(yīng)該是“平的”；又因?yàn)橹本€(xiàn)m是無(wú)限延伸的，無(wú)頭無(wú)尾，因而其運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的圖形應(yīng)該是“無(wú)限延展的”，無(wú)邊無(wú)際.在還原數(shù)學(xué)家傅里葉探究平面概念之旅的過(guò)程中，學(xué)生的形象思維與抽象思維能力，幾何直觀意識(shí)與數(shù)學(xué)理性精神，得到一次刻骨銘心的歷煉，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)受到一次扎實(shí)有效的培育.在抽象出平面“平的”、“無(wú)限延展的”的特征之后，我們可以用怎樣形象化的語(yǔ)言來(lái)描述平面呢？——“無(wú)邊無(wú)垠”、“坦蕩如砥”！

（4）引導(dǎo)學(xué)生對(duì)平面進(jìn)行小結(jié)：點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)，線(xiàn)動(dòng)成面.平面是：平的，無(wú)限延展、沒(méi)有邊界、沒(méi)有大小，沒(méi)有厚薄.教師指出，描述平面概念時(shí)，我們是舍棄了其物理性質(zhì)：厚薄、輕重、顏色等，抽象其數(shù)學(xué)屬性：平的、無(wú)限延展，因而平面是沒(méi)有邊界的，其面積是不可求的.

（5）類(lèi)比直線(xiàn)的畫(huà)法與表示，讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)：讀一讀，畫(huà)一畫(huà)，寫(xiě)一寫(xiě)，說(shuō)一說(shuō)，得出平面的畫(huà)法與表示.教師強(qiáng)調(diào)，用平行四邊形表示的只是平面的局部，但是卻為我們研究空間圖形的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)帶來(lái)很大的方便.

（6）結(jié)合學(xué)具（直線(xiàn)、平面），提煉出直線(xiàn)在平面內(nèi)、平面與平面重合、平面與平面相交這三種位置關(guān)系，從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)或分布規(guī)律，多媒體輔助，展開(kāi)三個(gè)公理的教學(xué).為什么兩個(gè)平面只要有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們就有且只有一條經(jīng)過(guò)該公共點(diǎn)的公共直線(xiàn)？“無(wú)限延展性”必然導(dǎo)致兩平面“相交”，“平的”則保證交線(xiàn)“有且只有一條”.

孔凡哲、史寧中教授認(rèn)為：“培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，需要教師幫助學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程，獲得理解性掌握，在獲知過(guò)程中提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).”章建躍博士進(jìn)一步指出：“當(dāng)前，在幾何教材中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，就是要在‘何由以知其所以然上進(jìn)行突破與創(chuàng)新.”[3]

要使學(xué)生對(duì)平面的概念獲得理解性掌握，就必須要?jiǎng)?chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì).平面的教學(xué)不但要建立在生活以及舊有知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行，而且又要考慮融入數(shù)學(xué)史的角度進(jìn)行教學(xué)[1].借助信息技術(shù)直觀形象的演示功能，添加數(shù)學(xué)史素材，能有效地刺激學(xué)生大腦的溝回，激發(fā)學(xué)生的形象思維和抽象思維；能夠十分有效地化解“無(wú)限延展性”的學(xué)習(xí)障礙，實(shí)現(xiàn)由平面意象到平面形象，再到平面意境，直到平面概念的精準(zhǔn)落地與華麗轉(zhuǎn)身.5原始概念教學(xué)價(jià)值取向

“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進(jìn)教學(xué).”是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》四大基本理念之一.新課標(biāo)要求普通高中數(shù)學(xué)課程要以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展和終身學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件.數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注如何幫助學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)、技能、思想方法，更應(yīng)當(dāng)關(guān)注如何引導(dǎo)學(xué)生會(huì)學(xué)習(xí)、會(huì)思考、會(huì)應(yīng)用，不斷引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值.

在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“六核三觀”的引領(lǐng)下，除了單純的知識(shí)與技能的習(xí)得，學(xué)生還需要擁有“在特定情境中，能夠運(yùn)用包括知識(shí)、技能與態(tài)度在內(nèi)的心理的、社會(huì)的資源，應(yīng)對(duì)復(fù)雜問(wèn)題的能力.”要培育這種創(chuàng)新能力，意味著以知識(shí)傳授為主體的課堂教學(xué)范式需要轉(zhuǎn)型，從“知識(shí)本位”的被動(dòng)地應(yīng)試學(xué)習(xí)，轉(zhuǎn)型為“素養(yǎng)本位”的能動(dòng)地深度學(xué)習(xí).

數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，概念是數(shù)學(xué)的樁基.要從總體上理解數(shù)學(xué)，必須要構(gòu)建概念的結(jié)構(gòu)體系，結(jié)構(gòu)體系不僅是知識(shí)之間的鏈接，也是數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生認(rèn)知之間的鏈接.核心概念的教學(xué)既要解構(gòu)也要建構(gòu)，解構(gòu)為的是幫助教師把握數(shù)學(xué)的本身；建構(gòu)為的是幫助教師將數(shù)學(xué)傳授給學(xué)生.這是建立結(jié)構(gòu)體系的兩個(gè)基石[4].

原始概念的教學(xué)，其流程導(dǎo)圖一般如圖2所示.

原始概念的教學(xué)，其模式一般有兩種：一種是基于學(xué)科本身，圍繞“教”而謀；一種是基于教育對(duì)象，圍繞“學(xué)”而做.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)觀的原始概念教學(xué)，要把師生的教學(xué)活動(dòng)當(dāng)作一個(gè)有機(jī)整體，雙管齊下，多點(diǎn)聯(lián)動(dòng)，而不是將“教”與“學(xué)”各作一方來(lái)處理.原始概念的教學(xué)也是師生為實(shí)現(xiàn)教學(xué)任務(wù)和目標(biāo)，圍繞教學(xué)內(nèi)容，共同參與，通過(guò)對(duì)話(huà)、溝通和合作活動(dòng)，產(chǎn)生交互影響，以動(dòng)態(tài)生成的方式推進(jìn)教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程.首先，從課程的角度來(lái)看，概念教學(xué)要厘清其“前世今生”，探究的內(nèi)容要有價(jià)值，要貼近學(xué)生，利于學(xué)習(xí)；其次，從教學(xué)的角度來(lái)看，要搞清楚學(xué)生在形成概念，吸納知識(shí)、方法和思想時(shí)，可能的困惑點(diǎn)及其成因.學(xué)生已經(jīng)理解了什么，學(xué)生不理解的怎么處理，講解到什么程度，教師要有應(yīng)對(duì)的策略；再次，從教師的角度來(lái)看，完成概念教學(xué)要有哪些知識(shí)儲(chǔ)備，具備哪些專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)、教學(xué)技術(shù)和教育藝術(shù)，教師要先知先覺(jué)，胸有成竹.

原始概念的教學(xué)，要遵循其產(chǎn)生發(fā)展的歷史，教學(xué)過(guò)程必須符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，順應(yīng)人性的發(fā)展.要探究原始概念生成的過(guò)程，講解描述性語(yǔ)義背后的“故事”，重溫概念產(chǎn)生的文化場(chǎng)景，揭示概念的結(jié)構(gòu)與本質(zhì).防止由于泛化的類(lèi)比和直白的告知，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念的理解產(chǎn)生“飄移”，而不得不采用大量重復(fù)的練習(xí)，來(lái)對(duì)概念的理解和應(yīng)用進(jìn)行錨定.原始概念的教學(xué)是“慢”的藝術(shù)，講究“焐”的過(guò)程，走走停停，想想探探，會(huì)看到更多的瑰麗風(fēng)景.

原始概念的教學(xué)，更要進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計(jì)，可以作為“主題教學(xué)”的素材，指導(dǎo)學(xué)生模擬微科研進(jìn)行“項(xiàng)目研究”，收集、閱讀相關(guān)的歷史資料，結(jié)合其發(fā)展過(guò)程撰寫(xiě)研究報(bào)告.從數(shù)學(xué)的歷史中尋找智慧，運(yùn)用信息技術(shù)、畫(huà)圖軟件甚至人工智能，獲取各種相應(yīng)的教學(xué)資源，利用可視化數(shù)據(jù)處理的方法和技術(shù)，及時(shí)分析概念教學(xué)中的各種案例和問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)概念理解的理性突圍.原始概念的教學(xué)，不僅考驗(yàn)教師的專(zhuān)業(yè)素質(zhì)和教學(xué)水準(zhǔn)，體現(xiàn)教師反思研究的能力，而且又能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，進(jìn)行科學(xué)研究的實(shí)踐能力.

原始概念教學(xué)的背后，是教師對(duì)教育的感悟，是對(duì)數(shù)學(xué)的把握，是對(duì)教學(xué)的理解，是對(duì)學(xué)生健康成長(zhǎng)方式的認(rèn)識(shí).學(xué)習(xí)即體驗(yàn)，成長(zhǎng)即經(jīng)歷，讓我們以理念浸潤(rùn)設(shè)計(jì)，用智慧點(diǎn)亮課堂，為學(xué)生成長(zhǎng)而教！

參考文獻(xiàn)

[1]沈中宇，沈金興.高一學(xué)生關(guān)于平面概念的意象[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2017，56（12）：2126.

[2]李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].（第2版）北京：高等教育出版社，2000.

[3]章建躍.核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的立體幾何教材變革（1）[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2017，56（11）：16；18.

[4]朱成萬(wàn).函數(shù)概念的教學(xué)解構(gòu)與建構(gòu)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（4）：100102.

[5]人民教育出版社等編著.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)2（必修A版）[M]（第2版）.北京：人民教育出版社，2007.

[6]中華人民共和國(guó)教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2018.