丁菁 劉明

摘 要：根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的基本理念和要求，教師要特別重視“課程內(nèi)容”中各個(gè)主題或單元的引言課教學(xué)?！安坏仁健敝黝}的引言課圍繞三個(gè)根本的問題展開，在“為什么”中提升學(xué)生的抽象能力與建模能力，在“是什么”中培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)與探究能力，在“怎么辦”中發(fā)展學(xué)生的整體觀念與元認(rèn)知能力，并特別注意讓學(xué)生浸潤在數(shù)學(xué)文化中，獲得豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：課標(biāo)理念 引言課 不等式

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（即“新課標(biāo)”）在“學(xué)科核心素養(yǎng)與課程目標(biāo)”中指出：“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)……在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)生能夠發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)?！痹凇罢n程結(jié)構(gòu)”中指出：“數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容……數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)?！庇衷凇敖虒W(xué)建議”中指出：“學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的達(dá)成不是一蹴而就的，具有階段性、連續(xù)性、整合性等特點(diǎn)。教師應(yīng)理解不同數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的具體要求，不僅關(guān)注每一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，更關(guān)注主題、單元的教學(xué)目標(biāo)……

在教學(xué)活動(dòng)中，應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)合適的情境和問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題，用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言描述問題，用數(shù)學(xué)思想、方法解決問題……教師要

以學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，抓住函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)等內(nèi)容主線，明晰數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在內(nèi)容體系形成中表現(xiàn)出的連續(xù)性和階段性，引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握課程，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展?！?/p>

根據(jù)這些理念和要求，教師要特別重視“課程內(nèi)容”中各個(gè)主題或單元（或相應(yīng)教材中各個(gè)章節(jié)）的引言課（開啟、引領(lǐng)相應(yīng)主題或單元教學(xué)的第一課時(shí)）教學(xué)：整體把握數(shù)學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)體系及其分支之間的關(guān)系，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)；充分滲透數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程及其與人類生活和社會(huì)發(fā)展的關(guān)系，感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值。從而更好地激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，開拓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科視野，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識(shí)以及人文素養(yǎng)。

一、引言課的設(shè)計(jì)思路

除了實(shí)現(xiàn)上述課標(biāo)理念和要求之外，引言課還具有先行組織的作用，旨在勾勒相關(guān)內(nèi)容的研究藍(lán)圖，促進(jìn)學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)。因此，引言課的設(shè)計(jì)應(yīng)該重視總體立意，弱化具體內(nèi)容，也就是說引導(dǎo)學(xué)生明確研究的方向，感悟研究的方法，而對(duì)具體內(nèi)容點(diǎn)到即止?？梢?，引言課更豐富地彰顯了特定內(nèi)容的文化價(jià)值。

具體來說，我們可以圍繞“為什么（why）”“是什么（what）”“怎么辦（how）”這三個(gè)根本的問題設(shè)計(jì)引言課的教學(xué)：展現(xiàn)相應(yīng)主題或單元內(nèi)容的起源和作用，滲透相應(yīng)主題或單元的核心概念與結(jié)論及其結(jié)構(gòu)與關(guān)系，揭示相應(yīng)主題或單元的重要思想方法（基本研究套路），讓學(xué)生大致整體地認(rèn)識(shí)為什么學(xué)（研究價(jià)值）、學(xué)什么（研究內(nèi)容）、如何學(xué)（研究方法），從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，使得學(xué)生能夠從已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，主動(dòng)地獲取新的知識(shí)，形成新的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展認(rèn)知水平。

總體而言，引言課可分為三類：知識(shí)層面的引言課、方法層面的引言課和文化層面的引言課。我們可以根據(jù)具體內(nèi)容，按知識(shí)發(fā)展、研究思想、知識(shí)應(yīng)用、重要人物等線索進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。

二、引言課的教學(xué)案例：“不等式”

（一）教學(xué)過程

1.從生活到數(shù)學(xué)，感悟研究意義和價(jià)值。

（教師出示情境1和情境2。）

情境1 圖1所示為從南師附中到金陵中學(xué)的路線圖。從兩種公共交通出行方式的比較選擇中，感受生活中存在著相等關(guān)系和不等關(guān)系。

情境2 從氣溫的比較中，感受生活中存在著相等關(guān)系和不等關(guān)系。

師 從上述情境中，我們感受到生活中存在著相等關(guān)系和不等關(guān)系，你還能舉出例子嗎？

生 小賣部賣的兩種飲料，它們的容量都是350 mL，但是價(jià)格不一樣。

……

師 生活中我們經(jīng)常要進(jìn)行大小、多少的比較，因此相等關(guān)系和不等關(guān)系是大量存在的。

（教師出示情境3。）

情境3 圖2所示是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)。圖3所示是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖。

師 可以看出，國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)上的圖案來源于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖。有同學(xué)知道趙爽設(shè)計(jì)弦圖的意圖是什么嗎？

生 證明勾股定理。

師 是的，非常好！你知道他是怎樣證明勾股定理的嗎？

生 我們可以用兩種方法計(jì)算大正方形的面積：一種是根據(jù)邊長直接計(jì)算，另一種是轉(zhuǎn)化成其中四個(gè)全等的直角三角形的面積和一個(gè)小正方形的面積之和。從而可以得到等式c2=4×12ab+（a-b）2，化簡得c2=a2+b2。

師 很好！那么如果只考慮大正方形的面積和四個(gè)直角三角形的面積，我們可以得到怎樣的關(guān)系呢？

生 a2+b2≥2ab。

師 何時(shí)取等號(hào)？

生 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)。

師 我們不僅可以從圖形上發(fā)現(xiàn)這個(gè)不等關(guān)系，而且可以從代數(shù)的角度證明這個(gè)不等關(guān)系成立：將（a-b）

2≥0展開、移項(xiàng)即可。（稍停）實(shí)際上，相等關(guān)系和不等關(guān)系是大量存在的，反映在數(shù)學(xué)上，它們是最基本的數(shù)量關(guān)系。

（教師出示問題1。學(xué)生回答。）

問題1 用數(shù)學(xué)的語言怎樣表達(dá)這些數(shù)量關(guān)系？

師 （投影）用不等符號(hào)（<、>、≤、≥、≠）連接的式子叫作不等式。這一章，我們要深入研究不等式。

[設(shè)計(jì)意圖：首先，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，從具體情境中感受生活中存在著大量的相等關(guān)系和不等關(guān)系，以及反映在數(shù)學(xué)上就是最基本的數(shù)量關(guān)系，從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)新知識(shí)的意義和價(jià)值；其次，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行表達(dá)，激活并強(qiáng)化學(xué)生之前就有的“用等式表示相等關(guān)系，用不等式表示不等關(guān)系”的經(jīng)驗(yàn)，從而為后續(xù)的教學(xué)做鋪墊。此外，情境3也為后續(xù)基本不等式的研究埋下伏筆。]

2.從等式到不等式，感悟研究內(nèi)容和方法。

（教師出示情境4。）

情境4 班長打算組織同學(xué)們春游，已知門票為每位45元，50人以上（含50人）的團(tuán)體票8折優(yōu)惠。

師 從這個(gè)情境中，你能想到什么問題？

生 我想到的是“怎樣買票劃算”的問題。如果人數(shù)超過50人，當(dāng)然買團(tuán)體票。如果人數(shù)不足50人，怎樣買票呢？

師 哦，那么這里有三種情況：（1）買團(tuán)體票的錢數(shù)少；（2）買個(gè)人票的錢數(shù)少；（3）兩者相等。請(qǐng)你用代數(shù)式表示這三種數(shù)量關(guān)系，并研究何時(shí)選擇哪種方案。

生 表達(dá)這三種情況分別有以下式子：（1）45x-1800>0；（2）45x-1800<0；

（3）45x-1800=0。

師 這里，（1）和（2）是一元一次不等式，（3）是一元一次方程，都是同學(xué)們?cè)诔踔芯脱芯窟^的。下面請(qǐng)同學(xué)們展示求解的過程。

（學(xué)生給出兩種思路：（1）利用等式和不等式的性質(zhì)求解；（2）借助一次函數(shù)y=45x-1800理解不等式和方程的解。）

師 可見，等式和不等式是密切聯(lián)系的，它們有很大的相似性。

（教師出示問題2。學(xué)生回答。）

問題2 從這個(gè)問題的解決過程中，你認(rèn)為如何研究不等式？

（教師引導(dǎo)學(xué)生回憶等式的研究內(nèi)容，即基本性質(zhì)、常見形式、求解過程等，遷移認(rèn)識(shí)到對(duì)于不等式也可以從這些角度開展研究；然后回憶等式的研究方法，即等式的基本性質(zhì)是推導(dǎo)和求解的依據(jù)，遷移認(rèn)識(shí)到不等式的基本性質(zhì)也是推導(dǎo)和求解的依據(jù)。）

[設(shè)計(jì)意圖：通過情境問題，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中感悟：（1）相等關(guān)系和不等關(guān)系是密切聯(lián)系的，等式和不等式在很多方面都非常相似，因此可以類比等式的研究內(nèi)容和方法來研究不等式；（2）一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式也是密切相關(guān)的，因此可以借助函數(shù)來解決方程和不等式問題。由此讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到可遷移已知的內(nèi)容和方法來學(xué)習(xí)新知識(shí)。此外，情境4可激活學(xué)生關(guān)于一元一次不等式的記憶。]

3.初步嘗試，體會(huì)研究思路和過程。

（教師出示問題3。學(xué)生思考、交流、記錄、匯報(bào)。）

問題3 你能類比等式的性質(zhì)，談?wù)劜坏仁接心男┬再|(zhì)嗎？

（教師投影展示表1，讓學(xué)生具體闡述是怎樣類比的，并對(duì)可乘性進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼f理。然后，教師出示問題4。）

問題4 經(jīng)統(tǒng)計(jì)，公園以每人50元的價(jià)格出售門票，每周約有游客2萬人。經(jīng)調(diào)查，門票價(jià)格（每人）每降低1元，游客數(shù)量（每周）就會(huì)增加1000人。若門票價(jià)格降低了x（x∈N*）元，要使公園每周的門票收入大于120萬元，x應(yīng)定在怎樣的范圍內(nèi)？

師 請(qǐng)同學(xué)們嘗試用不等式描述這個(gè)問題，并利用不等式的性質(zhì)解決。

生 這個(gè)問題可以用不等式（50-x）·2+x10>120表示。利用不等式的性質(zhì)，化簡得到x2-30x+200<0。

（其他學(xué)生表示同意。）

師 你能求解x的范圍嗎？

生 先把x2-30x+200<0化為（x-10）·（x-20）<0，然后利用可乘性得到兩種情況：x-10>0，x-20<0

或x-10<0，x-20>0。所以，10

生 也可以結(jié)合二次函數(shù)f（x）=x2-30x+200的圖像（即開口向上的拋物線），和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（即10和20），是方程x2-30x+200=0的解，從而發(fā)現(xiàn)不等式x2-30x+200<0中x的范圍是10

[設(shè)計(jì)意圖：鼓勵(lì)學(xué)生類比等式的性質(zhì)研究不等式的性質(zhì)，并通過情境問題引導(dǎo)學(xué)生利用不等式的性質(zhì)解決不等式問題。這里并不要求學(xué)生開展完整的、系統(tǒng)的研究，只是初步引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)研究的具體思路和過程。此外，問題4也為后續(xù)一元二次不等式的研究做了鋪墊。]

4.滲透文化，小結(jié)反思。

教師投影展示如下內(nèi)容，讓學(xué)生欣賞、體會(huì)：

（1）不等關(guān)系的運(yùn)用無處不在。古代中國人便利用杠桿原理制作器械，如圖4。

（2）不等式的研究起源于歐洲。1934年，英國數(shù)學(xué)家哈代（G.H.Hardy）等編著的《不等式》一書（當(dāng)下的中譯本封面如圖5）出版。這預(yù)示著不等式作為一個(gè)新興的數(shù)學(xué)學(xué)科分支誕生了，從此不等式開始逐步具備系統(tǒng)的理論。

（3）著名不等式。①基本不等式：若a>0，b>0，則a+b2≥ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”。②柯西不等式：∑ni=1a2i∑ni=1b2i≥∑ni=1aibi2，當(dāng)且僅當(dāng)a1b1=a2b2=…=anbn或ai、bi（i=1，2，3，…，n）中有0時(shí)取“=”。③琴生不等式：若f（x）是區(qū)間（a，b）上的下凸函數(shù)，則對(duì)任意的x1，x2，…，xn∈（a，b），有fx1+x2+…+xnn≤1n[f（x1）+f（x2）+…+f（xn）]，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)取“=”。④赫爾德不等式：設(shè)p>1，1p+1q=1，令a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn是非負(fù)實(shí)數(shù)，則∑ni=1aibi≤∑ni=1api1p∑ni=1bqi1q，當(dāng)且僅當(dāng){ak}、{bk}中至少有一個(gè)零數(shù)列或存在正實(shí)數(shù)c1、c2使得c1apk=c2bqk（k∈N*）時(shí)取“=”。

然后，教師出示如下問題，引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)：

（1）不等式的研究內(nèi)容是什么？

（2）不等式的研究方法是什么？

最后，教師說道：“今天，我們初步感受了不等式的研究內(nèi)容和方法，但是我們的研究還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。讓我們開啟《不等式》這一章的學(xué)習(xí)，更加系統(tǒng)和深入地進(jìn)行研究吧?！?/p>

[設(shè)計(jì)意圖：展示不等式應(yīng)用和研究的歷史素材以及經(jīng)典的不等式結(jié)論，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的人文性，欣賞數(shù)學(xué)的形式美，開闊學(xué)生的視野，讓學(xué)有余力的學(xué)生可以展開更加深入的思考。然后，小結(jié)本課的內(nèi)容，進(jìn)一步明確《不等式》一章的研究內(nèi)容和方法，為后續(xù)教學(xué)的開展奠定基礎(chǔ)。]

（二）教學(xué)評(píng)析

在新課標(biāo)規(guī)定的“課程內(nèi)容”中，“不等式”的相關(guān)內(nèi)容分布在必修課程主題一“預(yù)備知識(shí)”的兩個(gè)單元“相等關(guān)系與不等關(guān)系”“從函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式”中，具體包括“不等式的性質(zhì)”“基本不等式”“一元二次不等式”等內(nèi)容。

鑒于此，這節(jié)“不等式”主題的引言課從具體情境出發(fā)，使學(xué)生感受生活中和數(shù)學(xué)中都存在著大量的不等關(guān)系；然后通過數(shù)學(xué)抽象，讓學(xué)生借助不等符號(hào)來表示這些不等關(guān)系；接著通過情境問題，引導(dǎo)學(xué)生感悟等式和不等式在很多方面都有很強(qiáng)的相似性，因而可以類比等式的研究內(nèi)容和方法研究不等式，進(jìn)而初步理解函數(shù)、方程、不等式的聯(lián)系，體會(huì)用函數(shù)觀點(diǎn)解決方程、不等式問題的思想方法，把握數(shù)學(xué)的整體性；最后引導(dǎo)學(xué)生通過初步的研究體會(huì)不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)作用，并從歷史和現(xiàn)狀的角度更廣泛、深入地展示一些相關(guān)的數(shù)學(xué)文化。這些都為后續(xù)系統(tǒng)開展“不等式”的教學(xué)奠定了基礎(chǔ)。

具體來說，本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)圍繞“為什么”“是什么”“怎么辦”這三個(gè)根本的問題展開，很好地落實(shí)了前述課標(biāo)理念和要求。

1.在“為什么”中提升抽象能力與建模能力。

引言課的教學(xué)，首先要讓學(xué)生知道為什么要學(xué)習(xí)新知識(shí)，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力。一方面，生活中有大量的實(shí)際問題需要通過數(shù)學(xué)抽象，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來解決；另一方面，數(shù)學(xué)知識(shí)體系本身不斷發(fā)展，需要引入新的數(shù)學(xué)模型來刻畫。本節(jié)課從以上兩個(gè)方面出發(fā)，解決了“為什么要學(xué)不等式”這一問題，較好地培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力與建模能力。

（1）從生活實(shí)例引入，激發(fā)學(xué)生的感性抽象。

通過情境1和情境2以及追問舉例，讓學(xué)生感受生活中存在著大量的不等關(guān)系，體會(huì)學(xué)習(xí)不等式的必要性——需要利用不等關(guān)系刻畫生活中的實(shí)際問題，實(shí)現(xiàn)“基于現(xiàn)實(shí)的”第一階段的抽象，即感性抽象——把現(xiàn)實(shí)生活中的一些與數(shù)量和圖形有關(guān)的東西引入數(shù)學(xué)內(nèi)部。此外，情境4和問題4也具有類似的功能。

（2）從幾何圖形出發(fā)，引發(fā)學(xué)生的符號(hào)抽象。

通過情境3的教學(xué)，從幾何圖形出發(fā)，實(shí)現(xiàn)了“基于邏輯的”第二次抽象，即符號(hào)抽象，同時(shí)也發(fā)展了學(xué)生的邏輯思維和模型意識(shí)。這里，從初中階段證明勾股定理時(shí)曾經(jīng)用到的弦圖出發(fā)，契合了學(xué)生的認(rèn)知水平；在得到勾股定理這一“等式”的基礎(chǔ)上，通過比較大正方形與四個(gè)直角三角形面積的大小關(guān)系，得到基本不等式這一重要的不等關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了“從理性具體上升到理性一般”。

2.在“是什么”中培養(yǎng)問題意識(shí)與探究能力。

引言課的教學(xué)，還要讓學(xué)生初步了解新的主題將要學(xué)習(xí)什么，從而利于學(xué)生從整體上把握即將學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，建構(gòu)完整的、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，而不是零散的、碎片化的知識(shí)。

本節(jié)課不僅讓“不等式的應(yīng)用”（抽象、建模）貫穿始終，而且，通過基于情境3的教學(xué)，滲透了“基本不等式”結(jié)論和“證明不等式”的內(nèi)容；通過基于情境4的教學(xué)，滲透了“一元一次不等式”模型和“解不等式”的內(nèi)容；通過基于問題3和問題4的教學(xué)，滲透了“一元二次不等式”模型和“不等式的性質(zhì)”的內(nèi)容。這樣的設(shè)計(jì)，不僅巧妙地揭示了“不等式”這一主題下將要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，更重要的是，在具體內(nèi)容的教學(xué)過程中發(fā)展了學(xué)生的問題意識(shí)和探究能力。

比如，教師給出情境4之后，讓學(xué)生自主提出問題，并開展探究活動(dòng)，最終學(xué)生得到了三個(gè)數(shù)學(xué)模型和兩種求解思路。這一過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)探究的一般步驟：“發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論?！?/p>

3.在“怎么辦”中發(fā)展整體觀念與元認(rèn)知能力。

引言課的教學(xué)，還要讓學(xué)生理解如何研究新的學(xué)習(xí)內(nèi)容，把握研究所學(xué)知識(shí)的基本套路，從而使學(xué)生從數(shù)學(xué)思想方法的高度理解數(shù)學(xué)，提高自主學(xué)習(xí)的能力。

數(shù)學(xué)的新內(nèi)容通常不可能是“全新”的，而與已有的知識(shí)或方法有著內(nèi)在的、本質(zhì)的聯(lián)系。因此引言課的教學(xué)，要通過有價(jià)值的問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思維，讓學(xué)生思考所學(xué)的新知識(shí)與原有的知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)。“當(dāng)學(xué)生能看到數(shù)學(xué)各個(gè)分支之間的聯(lián)系時(shí)，他們就開始形成‘?dāng)?shù)學(xué)是一個(gè)整體的觀點(diǎn)。而當(dāng)他們?cè)谠械睦斫獾幕A(chǔ)上學(xué)習(xí)新的概念時(shí)，他們又會(huì)逐漸意識(shí)到各個(gè)數(shù)學(xué)問題之間的聯(lián)系?！?/p>

本節(jié)課中，學(xué)生探究解決情境4的問題之后，教師引導(dǎo)學(xué)生感受等式和不等式是密切聯(lián)系的，它們有很大的相似性，然后通過問題2、問題3、問題4，讓學(xué)生通過類比認(rèn)識(shí)到：可以由等式的基本性質(zhì)、常見形式、求解過程得到不等式的基本性質(zhì)、常見形式、求解過程，以及不等式的基本性質(zhì)是不等式推導(dǎo)和求解的依據(jù)。這樣的設(shè)計(jì)，不僅能夠讓學(xué)生體會(huì)不等式與等式之間的關(guān)聯(lián)，促使學(xué)生從整體上把握數(shù)學(xué)內(nèi)容，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力，發(fā)展學(xué)生的元認(rèn)知。

此外，本節(jié)課除了圍繞三個(gè)根本問題讓學(xué)生理解研究不等式的價(jià)值、內(nèi)容和方法之外，還通過精心選擇和組織的素材和活動(dòng)，讓學(xué)生浸潤在數(shù)學(xué)文化中，獲得豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。比如，情境3中的會(huì)標(biāo)和弦圖以及最后一個(gè)環(huán)節(jié)中不等式應(yīng)用和研究的歷史素材、經(jīng)典的不等式結(jié)論，還有貫穿全課的現(xiàn)實(shí)情境問題，都能讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。

參考文獻(xiàn)：

[1] 汪曉勤.HPM：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育[M].北京：科學(xué)出版社，2017.

[2] 史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第5輯）——自然界中的數(shù)學(xué)模型[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2015.

[3] 史寧中.數(shù)學(xué)基本思想18講[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2016.

[4] 全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì).美國學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)[M].蔡金法等譯.北京：人民教育出版社，2004.