喻益湘 宋凝芳 劉伍明

1)(北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院,光電技術(shù)研究所,北京 100191)

2)(中國科學(xué)院物理研究所,北京凝聚態(tài)物理國家研究中心,北京 100190)

1 引 言

Lipkin-Meshkov-Glick(LMG)模型最初在核物理中被提出,用來描述核子的集體行為[1?3].近年來,這個模型也被用來描述具有無窮維量子自旋系統(tǒng)的統(tǒng)計物理[4]、腔量子電動力學(xué)系統(tǒng)[5]等.1999年,Pan和Draayer[6]用基于Bethe ansatz的無窮維代數(shù)方法證明了這個模型是可積的,并找到了其在某些極限下的解析解.另外,LMG模型在熱力學(xué)極限下的能譜也具有豐富的結(jié)構(gòu)[7,8].這些研究對了解和應(yīng)用LMG模型是非常重要的,但是Bethe ansatz方法給出的結(jié)果對于計算很多物理量比如關(guān)聯(lián)函數(shù)是沒有用的,另外它們都是基于熱力學(xué)極限下的多體理論,而有限尺寸效應(yīng)在能譜中會呈現(xiàn)出多體系統(tǒng)沒有的特征.最近文獻(xiàn)[9]則對沒有自旋交換相互作用時的有限尺寸LMG模型做了一些解析工作,其中給出了粒子數(shù)為2,3,4時的能級表達(dá)式.

本文研究了包含N個費(fèi)米子的有限尺寸的LMG模型,為了獲得它的解,首先將其映射到角動量空間,變成一個約化的LMG模型,其維度從2N變成2J+1.在總自旋守恒的U(1)極限下可以輕易地將哈密頓量對角化,其能譜呈網(wǎng)狀結(jié)構(gòu);在Z2極限下,能級解析解較復(fù)雜,本文采用了量子微擾理論來研究在零塞曼場附近形成束縛態(tài)的子能級之間的劈裂行為;而對于更一般的情況,各束縛態(tài)將會發(fā)生宇稱振蕩行為,本文也給出了宇稱交叉點的臨界塞曼場.同時本文還使用精確對角化獲得了能譜的數(shù)值結(jié)果,與解析結(jié)果形成對照.本文還通過調(diào)節(jié)相互作用參數(shù)呈現(xiàn)了系統(tǒng)從U(1)到Z2的渡越.

2 LMG模型

LMG模型描述的是N個費(fèi)米子的系統(tǒng),它們分布在兩個N重簡并的能級上,兩能級之間的能量差為h(下文會看到,這個能量差有塞曼磁場的意義).可以用贗自旋來描述這兩個能級,分別記為↑和↓,而用i來標(biāo)記N重簡并中的第i個簡并態(tài),其中i=1,2,···,N.考慮兩類二體相互作用,一個是兩個能級之間成對的不改變各自簡并態(tài)的序號的散射,即一對下(上)能級的粒子散射成一對上(下)能級的粒子,或者以自旋的語言來描述,即一對自旋↓(↑)的費(fèi)米子散射成一對自旋↑(↓)的費(fèi)米子,所以這一項引起自旋z分量不守恒,用V來標(biāo)記其強(qiáng)度;另一個是自旋交換相互作用,是角動量守恒的,用W來標(biāo)記其作用強(qiáng)度.這樣,整個系統(tǒng)的哈密頓量表達(dá)為

它們滿足角動量的對易關(guān)系[Jz,J±]=±J±,[J+,J?]=2Jz.(1)式可以重新寫成

選取J2與Jz的共同本征態(tài)為基矢,

其中,m=?J,?J+1,···,J;Jz是角動量的z方向分量.可以看到宇稱算符

是個守恒量,即哈密頓量(3)有一個Z2對稱性.當(dāng)V=0時,(3)式有一個U(1)對稱性,即在變換下,哈密頓量保持不變.接下來,本文將詳細(xì)分析哈密頓量(3)的能譜結(jié)構(gòu)和物理特征.

3 結(jié)果與討論

首先,來看兩個極限的情形.

一個是U(1)極限,V=0,哈密頓量在基矢|m?J下是對角化的,本征能量為

能級結(jié)構(gòu)如圖1所示,可以看到N+1個能級相互交織成網(wǎng)狀,交點很容易算出,比如基態(tài)就是被Em與Em+1相交的N個交點隔開,所以容易得到交點處有

圖1 U(1)極限下,LMG模型的能級分布圖(這里,基態(tài)的能量已經(jīng)從能譜中扣除了,所以基態(tài)能量對應(yīng)于零,顏色從紅色到紫色的線條依次對應(yīng)于m從J變到?J,這里取N=2J=20)Fig.1.Energy-level structures of LMG model in the U(1)limit.Here,the ground-state energy has been subtracted from all levels.Different colors of levels denotes different values of m,where red is for m=J,violet is for m=J and so on,where N=2J=20.

隨著塞曼場由負(fù)逐漸變到正,基態(tài)也會經(jīng)歷N次能級交叉,基態(tài)各段對應(yīng)的m也會從J變到?J.更高能級的交叉點也同樣滿足(7)式,只是交點數(shù)量逐漸減少.

另一個極限稱為Z2極限,對應(yīng)于W=V的情形,系統(tǒng)的哈密頓量變成

顯然Jz不再是一個守恒量,即系統(tǒng)沒有U(1)對稱性,只有一個Z2對稱性,此情形下能級結(jié)構(gòu)如圖2所示.可以看到在h=0附近,各能級都是由一個奇宇稱和一個偶宇稱的態(tài)形成的二重簡并束縛態(tài).這里需要分成兩種情況,對于N為奇數(shù),經(jīng)過零點時宇稱會發(fā)生交叉,比如在h>0和h<0兩端,系統(tǒng)的基態(tài)有不同的宇稱,這是很好理解的,只需看|h|?W時,系統(tǒng)在兩端對應(yīng)的基態(tài)分別是m=?J和J,而這兩個態(tài)是具有不同宇稱的,所以相應(yīng)的兩個子能級一定會發(fā)生交叉;而對于偶數(shù)N,對應(yīng)的兩端的基態(tài)m=?J和J具有相同的宇稱,所以兩子能級不交叉.

那么,構(gòu)成一個束縛態(tài)能級的兩個不同宇稱的子能級之間的劈裂是怎樣在h=0處,趨近于零的呢? 要回答這個問題,需要對于h?W做微擾理論.顯然,h=0時,哈密頓量的本征能量很容易得到,它們就是mx=±J,±(J+1),···對應(yīng)的個能級,這里?···?表示向+∞取整,對于偶數(shù)N,最上面的能級是沒有簡并的,而其余的能級都是二重簡并的.做微擾計算時,要將形成束縛態(tài)的兩個無微擾子能級通過微擾項hJz聯(lián)結(jié)起來才能給出能隙的貢獻(xiàn),所以只有考慮到2|mx|階的微擾才能得到一個不為零的修正,也就是說,兩子能級之間的間隔具有h2mx的行為,這也解釋了奇數(shù)N時發(fā)生能級交叉的原因,由于2mx是奇數(shù),對于h>0和h<0兩邊能隙具有不同的符號,而偶數(shù)N則有相同符號.

接下來計算Z2極限時的能級劈裂.以基態(tài)為例,形成束縛態(tài)的兩個無微擾子能級是|J?J與|?J?J(為書寫方便以下略去了下標(biāo)x,但要注意這不是Jz的本征態(tài)),微擾項是H′=hJz,顯然零階的修正是零,而二階和其他高階的修正項對于兩個能級都是一樣的,不能打開能隙,直到2J階的修正才有非零的非對角項出現(xiàn),這個非對角修正的計算如下:

圖2 Z2極限下,系統(tǒng)能級分布圖(紅色代表偶宇稱能級,藍(lán)色代表奇宇稱) (a)N=20;(b)N=19;可以看到由于奇偶不同,它們呈現(xiàn)明顯差別,(a)的各束縛態(tài)的子能級不交叉,而(b)則會發(fā)生宇稱交叉,如(b)的基態(tài)在h<0具有偶宇稱,而在h>0具有奇宇稱Fig.2.Energy-level structures of LMG model in the Z2limit.Here,the ground-state energy has been subtracted from all levels.Red lines denote levels with even parity,while blue lines denote levels with odd parity:(a)For N=20,two levels with opposite parities in each bound state get touched without crossing at h=0;(b)for N=19,two levels with opposite parity in a bound state cross each other at h=0,e.g.the parity of ground state is even at h<0 and odd at h>0.

同樣另一個非對角項也是一樣,所以對角化后

分別對兩個子能級提升和降低, 所以能隙大小為

對于激發(fā)能級,也可以做類似的微擾計算,不再贅述.

離開上述兩個極限,對于一般的情況W與V不相等,結(jié)果又是如何？系統(tǒng)仍然只有Z2對稱性,它不同于U(1)的情況,相同宇稱之間的交叉不再發(fā)生,給定一個任意小的V都能使相同宇稱之間的能級交叉打開能隙,而不同宇稱之間的交叉繼續(xù)存在,但是交點位置會隨著V的不同而移動.如果重新來觀察基態(tài),就會發(fā)現(xiàn)隨著塞曼場的連續(xù)變化,基態(tài)會在奇偶宇稱之間來回振蕩,這個現(xiàn)象在另一個系統(tǒng)——光學(xué)腔Dicke模型中也有發(fā)現(xiàn)[10],所以說明它是普遍存在的.圖3給出了不同的V對應(yīng)的能級圖,可以看到系統(tǒng)是如何從U(1)極限逐步地過渡到Z2極限的.隨著V由零逐漸增大到W,各個束縛態(tài)的能隙不斷減小,而子能級之間的交叉點不斷向零點靠近,而有幾個交叉點就對應(yīng)于Z2極限下,能隙是h的幾階無窮小.通過計算發(fā)現(xiàn)在v=W時,奇偶能級之間的交點仍然可以解析地得到

這與U(1)極限的交點位置也是一致的.

圖3 V取不同值時的能級圖 (a)N=20,V=0.1W;(b)N=20,V=0.5W;(c)N=20,V=0.9W;(d)N=19,V=0.5WFig.3.Energy-level structures for different values of V:(a)N=20,V=0.1W;(b)N=20,V=0.5W;(c)N=20,V=0.9W;(d)N=19,V=0.5W.

4 結(jié) 論

LMG模型在包含核物理在內(nèi)的多個領(lǐng)域都有廣泛的研究價值.模型看似相對簡單,實際上蘊(yùn)含著許多深刻的物理,自提出以來,不斷有新的研究結(jié)果出現(xiàn).比如,清華大學(xué)的Huang等最近利用大N展開的方法研究了有限尺寸的LMG模型的自發(fā)對稱性破缺動力學(xué)行為[11],發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)與Wilczek提出的破缺時間平移對稱性的時間晶體[12,13]的概念極其相似,激發(fā)態(tài)的壽命是格點數(shù)的三次方形式.本文從能級結(jié)構(gòu)的分析入手,發(fā)現(xiàn)了U(1)極限、Z2極限,以及介于它們之間更一般情況下的物理特征,在解析和數(shù)值兩個方面呈現(xiàn)出了系統(tǒng)的能級劈裂行為,以及宇稱振蕩現(xiàn)象.尤其是宇稱振蕩,我們之前已經(jīng)在一個原子與光子糾纏的模型中發(fā)現(xiàn)了這一現(xiàn)象[10],該模型中驅(qū)動這種宇稱振蕩的不是塞曼場,而是原子與光子之間的耦合強(qiáng)度,而本文在一個完全不同的模型中再次出現(xiàn)宇稱振蕩效應(yīng),可能也暗示了它們之間存在某種聯(lián)系.除了以上兩個系統(tǒng),我們發(fā)現(xiàn)早在十幾年前,在一個描述分子磁體的雙軸自旋系統(tǒng)中[14?16],研究者就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了類似的宇稱隨外場振蕩的效應(yīng),他們采用的是費(fèi)曼路徑積分的方法得到相關(guān)結(jié)果,與本文的數(shù)值和微擾論的結(jié)果一致.因此,我們認(rèn)為宇稱振蕩現(xiàn)象是普遍存在的,未來如果在更多系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象,應(yīng)該能總結(jié)出其一般規(guī)律.目前,已經(jīng)有一些實驗方案被提出,用來模擬LMG模型,比如用光學(xué)腔量子電動力學(xué)的方法來模擬有耗散的LMG模型[5,17],又如用金剛石中的NV色心來模擬LMG模型中的自旋[18],并使用微波來調(diào)控自旋之間的相互作用,以及用光學(xué)腔中的玻色-愛因斯坦凝聚體誘導(dǎo)LMG模型[19].但是該模型仍然沒有真正在實驗室實現(xiàn).LMG模型之所以被研究半個世紀(jì)還熱度不減,正因為其中還有許多未被探索的物理,而已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的效應(yīng)對其他方向的研究也具有啟發(fā)意義.