聶敏 潘越? 楊光2) 孫愛晶 禹賽雅 張美玲 裴昌幸

1)(西安郵電大學通信與信息工程學院,西安 710121)

2)(西北工業(yè)大學電子信息學院,西安 710072)

3)(西安電子科技大學,綜合業(yè)務網國家重點實驗室,西安 710071)

(2018年1月11日收到;2018年5月5日收到修改稿)

涌浪運動是非均勻水流中的一種非線性運動,是常見的海洋運動形式之一.在進行水下量子通信時,會對光量子信號的傳輸造成極大的影響.然而,有關涌浪運動造成量子通信信道參數變化的研究,迄今尚未展開.為了研究涌浪運動對水下量子通信性能的影響,首先對涌浪運動的傳播建立了數學模型并分析了其頻譜特性.針對退極化信道,提出了涌浪運動與水下量子通信信道糾纏和信道容量的定量關系,并對量子密鑰分發(fā)過程中誤碼率的影響進行了分析.仿真結果表明,當海面風速在0—20.5 m/s變化時,隨著傳播周期逐漸增大,信道糾纏度由0.0012逐漸增加到0.8426,信道容量由0.8736減小到0.1024,密鑰分發(fā)過程中,量子誤碼率由0.1651增加到0.4812.由此可見,涌浪運動對于水下量子通信性能有著明顯的影響.因此,在進行水下量子通信時,應根據涌浪運動的不同程度,自適應調整系統(tǒng)參數.

1 引 言

量子通信作為迄今惟一被證明是無條件安全的通信方式,量子通信技術在金融、軍事和政務等領域的應用前景得到了廣泛的認可.2005年,潘建偉團隊[1]實現了13 km級自由空間的量子糾纏分發(fā)和量子密鑰分發(fā),首次證實了光子糾纏態(tài)在穿越大氣層后,其量子性能依然能夠發(fā)揮作用,并驗證了星地之間量子通信的可能性.2010年,由清華大學和中國科技大學組成的科研團隊[2],在北京與河北之間成功實現了16 km的量子隱形傳態(tài)實驗.2012年,中國科學技術大學合肥微尺度物質科學國家實驗室、中國科學院上海技術物理研究所光電技術研究所等單位組成的聯(lián)合研究團隊又成功實現了100 km級自由空間量子隱形傳態(tài)和雙向量子糾纏分發(fā)[3]、星地量子通信的全方位地基驗證[4]等重要實驗.同年,德國Max-Planck研究所與奧地利量子光學與量子信息研究所(IQOQI)[5]在LaPalMa島與Tenerife島之間,實現了自由空間光鏈路超過143 km的量子隱形傳態(tài)通信實驗,為星地之間實現量子通信奠定了堅實的科學基礎.

量子信號在自由空間傳輸時,必然會受到環(huán)境因素影響.文獻[6]研究了中尺度沙塵暴對衛(wèi)星量子通信的影響,為沙塵條件下量子衛(wèi)星通信的研究奠定了基礎.文獻[7]介紹了在降雨背景下誘騙態(tài)協(xié)議最優(yōu)平均光子數的變色龍自適應策略,依據該算法,可以對每脈沖平均光子數進行調整,使系統(tǒng)的安全密鑰生成率得到提升,以此來提高通信質量.文獻[8]研究了中緯度地區(qū)電離層偶發(fā)E層對量子衛(wèi)星通信性能的影響.這些研究都是在不同環(huán)境下,自然因素對量子通信所造成的影響,對于后續(xù)研究有著重要的參考價值.

波浪的傳播經常受到水流的影響,例如產生Doppler頻移效應,順流時波高減小,波長增大;逆流時波高增大,波長不變.文獻[9,10]基于Boussinesq型方程研究了非均勻水流中波浪的傳播.涌浪運動是一種常見的非均勻水流運動,涌浪具有較規(guī)則的外形,排列比較整齊,波峰線較長,波面較平滑,比較接近于正弦波的形狀.早在20世紀50年代,國外學者就提出了幾種預報、分析涌浪的理論.Sverdrup和Munk[11,12]從能量的角度去計算涌浪傳播中的波高與周期變化以及傳播時間.之后也有一部分學者基于實測資料的分析,給出了一些經驗性的解釋.Bretschneider[13]依據觀測資料繪制出了一系列的涌浪特性圖例,來解釋涌浪在傳播過程中的一些特性變化.

2017年8月,上海交通大學金賢敏團隊成功進行了首個海水量子通信實驗,在國際上首次通過實驗驗證了水下量子通信的可行性.在實驗中,該團隊選擇光子的極化作為信息編碼的載體,并通過模擬證明,在非常大的損耗和散射下,極化編碼的光子只會丟失,而不會發(fā)生量子比特翻轉,而沒有丟失的光子可被用于建立安全密鑰.目前,國內外還沒有展開關于在海水的自然現象下對于量子通信性能影響的研究,因此,本文的研究為水下量子通信系統(tǒng)的性能研究奠定了一定的基礎.

本文根據涌浪運動的特性,針對其對于光量子吸收和散射等消光效應的影響,分析了在進行水下量子通信時,對量子糾纏度、量子信道容量、量子密鑰分發(fā)和量子誤碼率的影響,分析了涌浪在運動過程中波高及周期對糾纏保真度、信道容量、密鑰分發(fā)率和誤碼率之間的定量關系,通過仿真驗證,為光量子信號在涌浪運動的條件下進行水下量子通信提供參照依據.

2 非均勻水流中涌浪運動傳播的數學模型及其頻譜特性

Wang等[14]從勢流理論出發(fā),將速度勢函數表示為任意水深層處垂向坐標的冪級數,將冪級數代入Laplace方程得到速度勢函數的級數解,再將速度勢函數表達式代入水底邊界條件,并進行截斷和引入微分算子,利用自由面上的水平和垂向波動速度來表示自由面邊界條件,推導了包含給定水流作用的新型Boussinesq型方程.截斷到五階導數項的一維理論模式,即

式中ηt為自由平面隨時間變化的位移;為自由表面上速度勢函數的水平梯度,為自由面上水平速度分量,為垂直速度分量;直角坐標(x,y,z)的原點在靜水面上;z軸豎直向上為正;h為水深;η為自由面位移;μc為背景水流速度;g為重力加速度;和分別為任意水深z=處的水平速度分量和垂直速度分量;λ=h+=τh,其中 τ= ?0.5,b1= ?0.204113, b3=0.00653242.

涌浪運動是一種非均勻水流下的非線性運動,其變化是極其復雜的.由于涌浪的復雜性和隨機性,觀測方案、記錄方式以及分析方法的選取和設計,都必須緊密結合譜的概念進行,利用譜進行海浪數值計算,是一種有效方法.可以通過其波高、周期和波長等參數,來反映涌浪運動的特性.

各種特征波高可用譜的相對于原點的0階矩m0表示,波高的概率分布函數為[15]

式中

H0為特征波高,H1為均方根波高,為平均波高,取及α=1/8,σ為均方根方差,得2

由此得

本文采用的是Pierson和Moscowitz[16]于1964年對于北大西洋的觀測資料進行460次譜分析后,從中挑出充分成長的5個譜,依據風速10.3,12.9,15.5,18.0,20.5 m/s(特指海面上19.5 m高度處的風速),結果如圖1所示.圖1中S(ω)為無因次譜極值;f,ω分別為風浪的頻率和角速度.由于海面上的風具有擾動性,以風要素對海浪進行無因次變化時,隨著頻率的增大,譜極值變化較明顯,波能起伏較大.

圖1 不同風速下充分成長有因次風浪頻譜Fig.1.Frequency spectra of fully development Different wind and wave under Different wind speeds.

將不同形式的無因次譜進行擬合后,得到有因次的頻譜為

式中無因次常數α=8.10×10?3,β=0.74;U為風速;ω=2π/T;ξ2為實測波面的方差.

應用以上公式計算波高時,可取m0等于ξ2,依據(10)式中的Pierson-Moscowitz譜[17]可得

海浪傳播的周期T可由已知的解析形式的譜進行計算,計算公式為[18]

式中B表示外部因素,如風要素或者波要素作為參量,對譜造成影響的一個系統(tǒng).

對于(10)式中的Pierson-Moscowitz譜,B=βg4/U4時,由(12)式得

涌浪的波長計算公式為[18]

合并(13)式及(14)式得

在涌浪運動發(fā)生時,受風速變化的影響,隨著風速逐漸增大,涌浪的波高和波長的變化趨勢如圖2和圖3所示.

由圖2和圖3可見,隨著風速的逐漸增強,涌浪的波長和波高逐漸增大,并且呈指數形式上升.

圖2 不同風速下涌浪運動波高的變化Fig.2.Variation of wave height in wave motion under Different wind speeds.

圖3 不同風速下涌浪運動波長的變化Fig.3.Variation of wavelength in wave motion under Different wind speeds.

3 涌浪運動對水下量子信道糾纏度的影響

在涌浪運動的作用下,涌浪的波高以及周期的變化,會導致量子態(tài)相干性的破壞,這種現象稱為量子消相干.消相干導致量子態(tài)所攜帶的信息丟失,量子糾纏度下降,從而影響量子通信.

根據文獻[19],糾纏度可表示為

假設涌浪運動為系統(tǒng)A,量子信道為系統(tǒng)B,系統(tǒng)A的約化密度矩陣為

在進行水下量子通信時,兩個系統(tǒng)相互作用形成的初始狀態(tài)可表示為

由(18)式和(19)式可知,量子信道糾纏度和涌浪運動的各項頻譜特性有關,根據(11)式、(13)式和(14)式,定義在涌浪運動的條件下量子信道的糾纏度為

根據(20)式,量子信道的糾纏度與涌浪運動的波高、周期、波長有關.在海面風速為0—25 m/s時,涌浪的波長在0—200 cm變化,且海面風速為10.3,12.9,15.5,20.5 m/s時,對糾纏度E,涌浪傳播的周期T及波高H的關系進行仿真,結果如圖4所示.

由圖4(a)—(d)可知,當風速在0—25 m/s變化時,隨著傳播周期的增大以及逆向水流的影響,量子信道的糾纏度增大,由0.0012逐漸增加到0.8426.另外,隨著波動能量的增加,波高逐漸增大,海水對信號的衰減作用明顯增強.

在不同風速下發(fā)生涌浪運動時,對糾纏度E,涌浪傳播的周期T及波長L的關系進行列表分析,通過仿真,結果如表1和表2所列.由表1可知,周期在5.3—10.6 s時,糾纏度由0.2094上升到0.6775.由表2可知,波長在34.1—134.9 cm時,糾纏度由0.7093下降到0.2377.

表1 不同風速下糾纏度與周期的關系Table1.Relationship between the entanglement degree and the period under Different wind speeds.

表2 不同風速下糾纏度與波長的關系Table2.Relationship between the entanglement degree and wavelength under Different wind speeds.

由表1可知,周期的變化對糾纏度的影響較為明顯,隨著傳播周期的增大,涌浪受逆向水流的影響,量子信道的糾纏度增大.由表2可知,隨著波長的增加,波能傳遞的速率加快,波動能量增加,量子信道的糾纏度下降.

圖4 不同風速下糾纏度與周期和波高的關系 (a)10.3 m/s;(b)12.9 m/s;(c)15.5 m/s;(d)20.5 m/sFig.4.Relationship of the entanglement degree with the period and with the wave height at Different wind speeds:(a)10.3 m/s;(b)12.9 m/s;(c)15.5 m/s;(d)20.5 m/s.

4 涌浪運動對系統(tǒng)中量子信道容量的影響

涌浪運動會對量子態(tài)相干性造成破壞,量子信道噪聲會引起信道容量的變化.下面以退極化信道為例,建立涌浪物理特性與退極化信道容量的關系.

將涌浪運動態(tài)表示為

式中m為量子位的退極化概率.

退極化信道可表示為[21]

式中ρi為量子比特,m為量子位的退極化的概率;I/2為完全混合態(tài),ε(ρi)為量子系統(tǒng)經過退極化信道后的狀態(tài).

對應的諾依曼熵為

輸出的諾依曼熵為

由此,信道容量為

因此信道容量為

在涌浪運動的條件下,根據涌浪波高和周期聯(lián)合分布的概率密度函數及海浪頻譜的無因次常數與平均波長的關系[22?23],涌浪運動條件下量子位的退極化概率為

對量子信道容量、涌浪的波高及傳播周期之間的的關系進行仿真,結果如圖5所示.

圖5 信道容量與波高和周期的關系Fig.5.Relationship between channel capacity and wave height and cycle.

由圖5可知,涌浪運動在風速變化的影響下,涌浪傳播周期增大,受逆向水流的影響,量子信道容量逐漸減小.隨著波動能量的增加,波長逐漸增大,波能傳遞的速率加快,造成信道容量逐漸降低.

對量子信道容量、涌浪的波長及傳播周期之間的的關系進行仿真,結果如圖6所示.

圖6 信道容量與波長和周期之間的關系Fig.6.Relationship of the channel capacity with the wavelength and with the cycle.

由圖6可知,當風速在0—25 m/s變化時,在涌浪運動的繞射作用下,隨著波長的增加,波能傳遞的速率加快,波動能量增強,量子信道容量下降,在波長較大的情況下,周期的變化使得信道容量下降的趨勢更加明顯.隨著傳播周期的增大,涌浪受逆向水流的影響,量子信道容量減小,由0.8736減小到0.1024.

5 涌浪運動對量子密鑰分發(fā)過程中誤碼率的影響

基于BB84協(xié)議下的量子密鑰分發(fā)系統(tǒng),量子誤碼率NQBER為接收到的誤碼比特率Nerror與總比特率Rsift之比,是對系統(tǒng)評估的有效參數[24],即

式中χ為光電探測量子效率;ηa= ηB/2+ηD,ηB為背景噪聲引起的光子計數,ηD為光電探測器的暗電流計數;δ為退極化效應因子;FS為篩選因子;Rr為發(fā)射脈沖重復率;Fc為測量因子;κ為激光脈沖平均光子數;Ta為系統(tǒng)傳輸率;P為單光子俘獲率;信道傳輸因子Tc為

式中K/K0為傳輸振幅比,K為量子態(tài)傳播后的振幅,K0為初始振幅;為高斯光束遠場發(fā)射角;Aatm為鏈路衰減系數.

表3 信道誤碼率的各項參數取值Table3.Parameter values of channel error rate.

由圖7可知,當波長和波高同時在0—2 cm增加時,誤碼率呈指數形式增加,由0.1651增加到0.4812.由此可知,在進行水下量子通信時,量子態(tài)在傳輸過程中,受涌浪運動作用的影響,量子密鑰分發(fā)過程受到干擾,影響系統(tǒng)的通信性能.

圖7 誤碼率與波長和波高的關系Fig.7. Relationship of the bit error rate with the wavelength and with the wave height.

6 結 論

本文研究了非均勻水流中涌浪運動對水下量子通信性能的影響.根據涌浪運動傳播的特性,建立了量子信道的糾纏度、信道容量以及密鑰分發(fā)中誤碼率與涌浪運動特性之間的函數關系,分析了其頻譜特性,這對水下量子通信研究有一定重要意義.仿真結果表明,隨著涌浪運動波長和波高的增大,量子信道糾纏度和信道容量近似呈指數減小.涌浪傳播周期和波長越大,量子密鑰分發(fā)過程中誤碼率越高.因此,在進行水下量子通信時,涌浪運動會對通信系統(tǒng)造成一定的影響,可根據氣象條件,自適應調衡系統(tǒng)參數,降低涌浪對量子通信的影響.