汪 建, 王 挺,2, 劉惠霞

(1.上海大學(xué)管理學(xué)院,上海200444;2.慶應(yīng)義塾大學(xué)管理工程系,橫濱2238522,日本;3.戴爾(中國)有限公司上海分公司,上海200050)

供應(yīng)鏈不確定性問題一直是供應(yīng)鏈管理中的一個重要研究問題.對許多供應(yīng)鏈而言,供應(yīng)鏈管理和決策的挑戰(zhàn)主要來自于各種影響因素的不確定性.電力工業(yè)是國民經(jīng)濟發(fā)展中的基礎(chǔ)能源產(chǎn)業(yè),因而如何應(yīng)對外界因素的不確定性,保證整體電力供應(yīng)鏈的穩(wěn)定尤為重要.

隨著電力體制的改革,傳統(tǒng)的垂直一體化的電力模式逐步改變,形成了由發(fā)電、輸電、配電和電能銷售幾個環(huán)節(jié)組成的電力供應(yīng)鏈,并因此造成了供應(yīng)鏈供需兩側(cè)面臨更大的不確定性.與其他產(chǎn)品不同,電力是國民經(jīng)濟發(fā)展不可或缺的部分.電力供應(yīng)決策不僅要考慮成本的最優(yōu),還要考慮電力供給的穩(wěn)定性.因此,發(fā)電企業(yè)將更加重視實施魯棒性能的發(fā)電策略,以期降低風(fēng)險,保障民生.

針對不確定環(huán)境下的供應(yīng)鏈運作問題已進行了大量的研究.劉英等[1]對隨機需求條件下的供應(yīng)鏈采購決策進行了探討.邱若臻等[2]研究了需求概率分布不確定條件下的多市場魯棒優(yōu)化問題.張克勇等[3]研究了隨機需求下的供應(yīng)鏈定價延遲策略.彭紅軍等[4],Fang等[5]分別研究了供應(yīng)不確定性下的供應(yīng)鏈均衡供應(yīng)決策問題和供應(yīng)鏈競爭問題等.

與其他產(chǎn)品不同,電力供應(yīng)鏈供需兩側(cè)的不確定性主要受燃料價格、電力需求、風(fēng)電、電價等因素的影響.Meza等[6]考慮了燃料價格不確定下的電力系統(tǒng)電力擴張問題.Roh等[7]考慮了電力需求不確定下的輸發(fā)電規(guī)劃問題.Malcolm等[8]提出了電力分配模型,并基于場景魯棒優(yōu)化的方法研究了電力需求不確定的情形.針對風(fēng)電的不確定性,雷宇等[9]和Liu等[10]分別對含風(fēng)電系統(tǒng)機組組合優(yōu)化問題以及風(fēng)電場最大裝機容量問題進行了研究.其他電力系統(tǒng)中的不確定性還包括電力市場中電價的不確定性[11-15].已有研究在考慮電力供應(yīng)鏈的不確定性的影響時僅考慮了單個因素的不確定性,僅有部分研究涉及多種因素的不確定性影響.Lopez等[16]考慮了需求、發(fā)電量的不確定性.鞠平等[17]考慮了需求、投資、電價的不確定性.Wang等[18]考慮了燃料價格和電力需求的不確定性.上述研究在建模過程中都是對影響因素進行單獨建模,而未考慮各影響因素之間的交互作用對電力系統(tǒng)的影響.

在研究方法上,為應(yīng)對供應(yīng)鏈決策領(lǐng)域的不確定性,主要采用隨機規(guī)劃方法[6-7,9,11,16]、模糊優(yōu)化方法[12,17]以及魯棒優(yōu)化方法.考慮到隨機規(guī)劃方法和模糊優(yōu)化方法在使用過程中需要通過有限的數(shù)據(jù)樣本以及決策者個人經(jīng)驗來確定不確定性的概率分布函數(shù)或模糊隸屬度函數(shù),往往帶有較大誤差或主觀隨意性[19],因而并不能如實反映供應(yīng)鏈中面臨的不確定性.

魯棒優(yōu)化方法作為處理供應(yīng)鏈不確定性問題的一種新的優(yōu)化方法,能解決內(nèi)部結(jié)構(gòu)(如參數(shù))和外部環(huán)境(如擾動)的不確定性[20],對模型中含有不確定數(shù)據(jù),或者僅僅知道其屬于某一個不確定區(qū)域的優(yōu)化問題都能有較好的處理[21-22],其最優(yōu)解對不確定集合內(nèi)的任意元素都保證約束可行性.通常,根據(jù)不確定集選取類型的不同,魯棒優(yōu)化方法可分為場景魯棒優(yōu)化方法[8]、盒式魯棒優(yōu)化方法[23]和橢球魯棒優(yōu)化方法[24].目前,已有使用魯棒優(yōu)化方法解決電力系統(tǒng)中不確定性問題的研究.Malcolm等[8]應(yīng)用場景魯棒優(yōu)化方法來處理電力需求的不確定性.Liu等[10]基于盒式魯棒優(yōu)化方法對風(fēng)電場的不確定性進行了研究.童小嬌等[13]應(yīng)用盒式魯棒優(yōu)化方法研究了自發(fā)電計劃.Wang等[18]基于電力分配基本模型,分析了燃料價格屬于橢球不確定集下的最優(yōu)決策等.

本工作借鑒相關(guān)研究成果,并在文獻[8]建立的需求不確定條件下的電力分配模型基礎(chǔ)上,構(gòu)建了燃料價格和電力需求同時不確定,并且兩個影響因素相互關(guān)聯(lián)的電力生產(chǎn)魯棒優(yōu)化模型,研究內(nèi)容主要包括以下3點.

(1)本工作研究了發(fā)電側(cè)燃料價格和需求側(cè)電力需求二者的不確定性,同時考慮了兩個影響因素相互關(guān)聯(lián)情況下的電力生產(chǎn)模型.而已有的研究[8,18]往往只考慮了單個因素的不確定性影響,或者考慮了多個因素但因素之間是相互獨立的情況,鮮有二者兼顧.

(2)在研究方法上,本工作應(yīng)用橢球不確定集描述燃料價格和電力需求的不確定性.已有的研究多使用場景魯棒優(yōu)化方法[8]或者盒式魯棒優(yōu)化方法[10,13]來處理電力系統(tǒng)的不確定問題.相對于場景魯棒優(yōu)化方法和盒式魯棒優(yōu)化方法,橢球魯棒優(yōu)化方法更為復(fù)雜,計算量大且求解更加困難,但對不確定參數(shù)的涵蓋半徑及分布離散程度可以進行有效控制,能實現(xiàn)解的保守性與最優(yōu)性相協(xié)調(diào)的最優(yōu)決策[18].

(3)在所建模型具有魯棒性的基礎(chǔ)上,本工作進一步研究了影響因素的不確定范圍與目標值總成本之間的關(guān)系,并分析了燃料價格和電力需求這兩個參數(shù)的不確定范圍對總成本的影響顯著性,而已有的研究往往只針對所建模型的魯棒性能.

本工作將為電力生產(chǎn)決策準確刻畫不確定因素帶來的影響,有效利用不確定因素的信息為電力部門制定安全經(jīng)濟的決策方案提供理論依據(jù).

1 電力生產(chǎn)決策基本模型

1.1 基本模型描述

本工作考慮了一個由發(fā)電企業(yè)和終端用戶電力需求所構(gòu)成的電力供應(yīng)鏈系統(tǒng).發(fā)電企業(yè)生產(chǎn)電力輸送到需求端以滿足不同的終端用戶電力需求,模型框架如圖1所示.通常的電力供應(yīng)鏈中同時有多個電力來源以保證電力輸出的穩(wěn)定性;而在需求側(cè),電力的需求受到季節(jié)、氣候等因素的影響不斷變化.在本工作中只考慮兩種電力負荷模式,即波峰與波谷模式.圖2是按照降級重新排列后的實時負荷圖.在負荷持續(xù)模型中,采用階躍函數(shù)表達各個負荷模式(如波峰、波谷等)下的電力需求,并假定各個負荷模式下的需求是穩(wěn)定的.

圖1 電力分配模型Fig.1 Electric power allocation model

圖2 分段線性負荷持續(xù)模型Fig.2 A linear model on power loads in different periods

1.2 模型變量參數(shù)

(1)k表示某個發(fā)電廠(k=1,2,···k),并設(shè)有限集合K,使k∈K.

(2)l表示某種電力負荷模式,在本工作中主要包括波峰模式(l=1)和波谷模式(l=2).

(3)xk表示第k個發(fā)電廠的發(fā)電量.

(4)dl表示電力負荷模式l下的電力需求.

(5)ykl表示第k個發(fā)電廠分配給電力負荷模式l下的電量.

(6)pl表示電力負荷模式l下的累積負荷.

(7)tl表示電力負荷模式l下的持續(xù)時間.

(8)ck表示第k個發(fā)電廠運營所產(chǎn)生的固定成本.

(9)fk表示第k個發(fā)電廠運營所產(chǎn)生的可變成本.

1.3 電力生產(chǎn)決策基本模型

基于電力分配模型以及分段線性負荷持續(xù)模型,提出如下的以發(fā)電企業(yè)的發(fā)電總成本最小化為目標的電力生產(chǎn)決策基本模型:

2 電力生產(chǎn)決策的魯棒優(yōu)化模型

2.1 橢球不確定集下電力生產(chǎn)決策的魯棒優(yōu)化模型

對于線性規(guī)劃,Ben-Tal等[25]給出了其參數(shù)屬于橢球不確定集下的魯棒問題,并證明了不確定線性優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化成為數(shù)據(jù)確定的二階錐優(yōu)化問題(second-order cone programming,SOCP).

定理1 考慮線性規(guī)劃

式中,x∈Rn為決策變量,c∈Rn,A∈Rm×n,b∈Rm為給定的參數(shù).記A的第i個行向量為,并假定P0k∈Rn×n,Pi∈R(n+1)×n為給定的不確定范圍變化.令

如此,原問題所對應(yīng)得魯棒問題可轉(zhuǎn)化為如下的二階錐規(guī)劃:

式中,s表示約束松弛變量.

通過設(shè)定參數(shù)燃料價格f和電力需求d屬于橢球不確定集,將電力生產(chǎn)決策的基本模型轉(zhuǎn)化成如下對應(yīng)的橢球魯棒優(yōu)化模型:

在電力行業(yè)中,燃料價格與電力需求之間存在相關(guān)性.石油等發(fā)電用燃料價格的上漲會造成發(fā)電成本的增加,導(dǎo)致電價上漲,用戶會有節(jié)電意識,刺激電力使用量下降.在電力消費上,高電價會降低電力使用量,低電價會刺激電力使用量.本工作假設(shè)電價與燃料價格呈線性正相關(guān),建立如約束(12)所示的燃料價格f和電力需求d的反比例關(guān)系模型,并設(shè)定二者的乘積為一個常數(shù)Q.

2.2 橢球魯棒優(yōu)化求解算法設(shè)計

目前,已有相當(dāng)數(shù)量的算法可對二階錐規(guī)劃問題進行求解,主要包括內(nèi)點法和重構(gòu)算法等,還有較多可利用的軟件,包括SeDuMi,SDPA和LMI工具箱等.各個軟件的適用背景可參照文獻[26].本工作依據(jù)定理1的求解思路,調(diào)用MATLAB中的SeDuMi工具箱進行求解,具體算法實現(xiàn)步驟如下.??

步驟1 設(shè)定初始值,設(shè)置遺憾值限定系數(shù)ω,并定義不確定參數(shù)初始值為f0,d0,有f0>0,d0>0,k=0.

步驟2 計算模型的可行解ξ(x),調(diào)用SeDuMi工具箱計算模型可行解,當(dāng)且僅當(dāng)6ω成立時,輸出模型的解.??

步驟3 設(shè)置不確定參數(shù)的擾動方向 ?fk,?dk.

步驟4 計算參數(shù)不確定范圍,設(shè)不確定?參數(shù)的步?長為?ωf,ωd,有fk+ωf?fk?>0,dl+ωd?dl>0,則參數(shù)不確定范圍變動計算為fk+1,dl+1=fk+ωf?fk,dl+ωd?dl.

步驟5 令k=k+1,返回步驟2.

關(guān)于參數(shù)燃料價格和電力需求擾動方向的解釋如圖3和4所示.在橢球魯棒優(yōu)化方法中,參數(shù)的不確定范圍大小由其步長來設(shè)定,通常有2種情況:①各不確定性因素的擾動方向一致,即各參數(shù)的不確定范圍和橢球形狀成比例,不確定范圍的步長ω成比例(見圖3);②各不確定性因素的擾動方向不一致,即各參數(shù)的不確定范圍不同,不確定范圍的步長ω也不成比例(見圖4).

圖3 各不確定性因素的擾動方向一致Fig.3 Disturbance directions of diff erent uncertainty factors are consistent

圖4 各不確定性因素的擾動方向不一致Fig.4 Disturbance directions of different uncertainty factors are inconsistent

3 仿真與分析

根據(jù)本算法設(shè)計,針對不確定性因素的兩種擾動方式,通過MATLAB編程,SOCP優(yōu)化軟件采用SeDuMi 1 1R3,在Inter Pentium P6000,CPU 1.87 GHz,1 GB內(nèi)存,Windows 7的主機上運行,對電力生產(chǎn)決策的魯棒優(yōu)化模型進行仿真分析.具體參數(shù)設(shè)置如下:參與電力供應(yīng)鏈有3個發(fā)電企業(yè),即電力工廠k為1,2,3;2種負荷模式分別為l=1(波峰)與l=2(波谷),具體參數(shù)取值如表1所示,其中序號5代表發(fā)電廠運營產(chǎn)生的固定成本為0,即任何電力的生產(chǎn)是即時生產(chǎn),沒有任何外部設(shè)施,是一種極值理想狀態(tài).設(shè)定不確定范圍步長ω的值,分別為ωf1=5,ωf2=2.5,ωf3=10,ωd1=1,ωd2=6.

表1 參數(shù)取值初始值Table 1 Initial values of the parameters

根據(jù)影響因素不同的擾動方向,分情況討論數(shù)值實驗結(jié)果.

(1)當(dāng)參數(shù)f和d的擾動方向一致時,即fk和dl的不確定范圍都成比例變化時,參數(shù)f1,f2,f3和參數(shù)d1,d2的不確定范圍比例是一樣的.設(shè)定Q=31 000,其變化步長分別按照比例在0.5～8倍之間以0.1的步長增長進行實驗,得到76組解.由于實驗結(jié)果較多,并且不確定范圍和總成本之間基本成線性關(guān)系,因此,本工作選取4種不同比例大小的步長,分別取值為(0.5ω,ω,2ω,4ω)的解,即各參數(shù)的不確定范圍如下: ①[fk?0.5ωfk,fk+0.5ωfk];②[fk? ωfk,fk+ωfk];③[fk?2ωfk,fk+2ωfk];④[fk?4ωfk,fk+4ωfk];⑤[dl?0.5ωdl,dl+0.5ωdl];⑥[dl?ωdl,dl+ωdl];⑦[dl?2ωdl,dl+2ωdl];⑧[dl?4ωdl,dl+4ωdl].得出的實驗數(shù)據(jù)結(jié)果如表2所示.

表2 不確定范圍成比例時的解Table 2 Solutions when the parameter uncertainty ranges change with a fix ratio

分析表2可知,當(dāng)不確定范圍的步長在0.5～2倍之間時,最優(yōu)解(x1,x2,x3)近似等于(2,9,4),即模型的解具有魯棒性.在外界環(huán)境不確定參數(shù)波動較小時,可直接取這個解為最優(yōu)解.隨著不確定范圍步長ω的變大,參數(shù)的不確定范圍增大,發(fā)電總成本隨之增加,參數(shù)不確定范圍與總成本的關(guān)系幾乎是線性關(guān)系,滿足min z=925k+7 680(其中k是不確定范圍步長的倍數(shù),k=0.5,1,2,4,見圖5).

圖5 不確定范圍與總成本關(guān)系圖Fig.5 Relationship between parameter uncertainty ranges and total costs

(2)當(dāng)參數(shù)f和d的擾動方向不一致,fk和dl的不確定范圍各自成同比例變化,f1,f2,f3的不確定范圍步長比例相同,參數(shù)d1和d2的不確定范圍步長比例相同時,設(shè)定Q=31 000,并使參數(shù)f和d的不確定范圍變化步長分別按照比例在0.5～8倍之間以0.1的步長增長進行實驗,得到25組不同范圍下的解,具體如表3所示.

表3 不確定范圍各自成比例時的解Table 3 Solutions when the parameter uncertainty ranges change with diff erent steps

分析表3可知,當(dāng)參數(shù)的波動范圍較小時,即ωf在0.5～0.7之間,ωd在0.6～1.8倍之間變動,最優(yōu)解近似為(x1,x2,x3)=(2,9,4).這說明當(dāng)燃料價格和電力需求的波動較小時,其最優(yōu)解保持不變,模型的解具有魯棒性,能應(yīng)對外界的不確定性波動.進一步分析了不確定范圍與目標值之間的關(guān)系,通過MATLAB編程得到了一個三維圖像(見圖6).

圖6 不確定范圍與總成本趨勢圖Fig.6 Trends of parameter uncertainty ranges and total costs

分析圖6可知,x軸代表參數(shù)f的不確定范圍變化步長的倍數(shù),y軸代表參數(shù)d的不確定范圍變化步長的倍數(shù),z軸為目標函數(shù)值,即最小總成本.隨著f和d的不確定范圍變化步長的增大,即參數(shù)不確定范圍的增大,總成本增加,但是總成本的增加并不與f和d的不確定范圍呈線性關(guān)系.

綜合分析表2和表3,比較了不確定性因素兩種擾動方向時發(fā)現(xiàn),當(dāng)參數(shù)波動較小時,雖然其不確定范圍的大小是不同的,但最優(yōu)解可以相同,這和魯棒優(yōu)化的建模思想一致.魯棒優(yōu)化是考慮最壞情況下,在給定的不確定參數(shù)變化集合內(nèi),不確定參數(shù)的變化也能保證優(yōu)化方案的可行性,因此驗證了本模型的解具有魯棒性.進一步分析發(fā)現(xiàn),隨著參數(shù)不確定范圍的增大,目標函數(shù)值隨之變大,并且當(dāng)不確定性因素的擾動方向一致時,最小總成本與不確定參數(shù)范圍的變化步長呈線性關(guān)系;當(dāng)不確定性因素的擾動方向不一致時,最小總成本隨參數(shù)不確定性擾動的增大而增加,但不呈線性關(guān)系.

為更準確刻畫外界不確定性因素給電力生產(chǎn)決策帶來的影響,進一步分析燃料價格和電力需求的波動范圍對總成本的影響顯著性,本工作通過大量數(shù)值實驗,得到了不同Q值(Q1=143 400,Q2=155 880,Q3=163 300)下變量的不確定范圍變動對總成本的影響顯著性.假設(shè)不確定性因素的擾動方向各自一致,即fk和dl的不確定性范圍各自成同比例變化,分別進行數(shù)值實驗,結(jié)果如表4所示.

分 析 表4可 知, 當(dāng) 參 數(shù)f和d的 不 確 定 范 圍 分 別 為[fk?22ωfk,fk+22ωfk]和[dl?8ωdl,dl+8ωdl],即當(dāng)Q1=143 400時,參數(shù)不確定范圍的變化步長分別按照比例在0.5～22倍之間以0.1的步長增長和在0.5～8倍之間以0.1的步長增長進行實驗.燃料價格和電力需求發(fā)生了同樣大小的擾動,即參數(shù)不確定范圍的變化步長發(fā)生0.1的變化,燃料價格帶來的發(fā)電企業(yè)總成本的效應(yīng)為?Zf=?Zf+?Zf??=25 560.3?25 489.5=70.8,電力需求帶來的發(fā)電企業(yè)總成本的效應(yīng)為?Zd=(Zd+?Zd?)=25 555.7?25 489.5=66.2.相比于燃料價格的波動,目標值對電力需求的擾動不敏感,電力生產(chǎn)決策的制定過程中應(yīng)盡可能關(guān)注燃料價格的不確定性,并通過增加化石燃料的儲備等措施來應(yīng)對燃料價格的波動.

表4 不同電力市場發(fā)展程度Q值下的解Table 4 Solutions under diff erent development degree Q in electric power market

當(dāng)參數(shù)f和d的不確定范圍分別為[fk?24.5ωfk,fk+24.5ωfk]和[dl? 8ωdl,dl+8ωdl],即當(dāng)Q2=155 880時,f和d發(fā)生同樣大小的擾動,燃料價格變動帶來的發(fā)電企業(yè)總成本的效應(yīng)為?Zf=?Zf+?Zf??=27 331.0?27 260.1=70.9,電力需求變動帶來的發(fā)電企業(yè)總成本的效應(yīng)為?Zd=(Zd+?Zd?)=27 330.7?27 260.1=70.6.燃料價格和電力需求的波動所產(chǎn)生的對總成本的效應(yīng)幾乎相等,說明目標值對于燃料價格和電力需求的擾動同樣敏感.據(jù)此定義參數(shù)f和d的不確定范圍[fk?24.5ωfk,fk+24.5ωfk]和[dl?8ωdl,dl+8ωdl]為臨界范圍.

當(dāng)參數(shù)f和d的不確定范圍分別為[fk?26ωfk,fk+26ωfk]和[dl? 8ωdl,dl+8ωdl],即當(dāng)Q3=163 300時,f和d發(fā)生同樣大小的擾動,燃料價格變動帶來的發(fā)電企業(yè)總成本的效應(yīng)為?Zf=?Zf+?Zf??=28 320.0?28 249.4=70.6,電力需求變動帶來的發(fā)電企業(yè)總成本的效應(yīng)為?Zd=(Zd+?Zd?)=28 322.5?28 249.4=73.1.目標值對于電力需求更為敏感,在電力生產(chǎn)決策制定過程中應(yīng)重點關(guān)注用戶電力需求信息,調(diào)整電力生產(chǎn)以減少電力需求波動給企業(yè)帶來的影響.

4 結(jié)束語

不確定性貫穿在電力供應(yīng)鏈運作的整個過程中,如何處理這些因素的不確定性對電力供應(yīng)鏈決策的影響是供應(yīng)鏈管理中不可忽略的問題.本工作建立了關(guān)于發(fā)電企業(yè)的電力生產(chǎn)決策的魯棒優(yōu)化模型,通過數(shù)值實驗,驗證了本算法的可行性,并得到了參數(shù)不同擾動方向情況下的實驗結(jié)果,得到以下主要結(jié)論.

(1)當(dāng)燃料價格和電力需求這兩個參數(shù)的波動較小時,模型的最優(yōu)解近似相等,即所得出的解具有魯棒性,所制定的電力生產(chǎn)決策能應(yīng)對外界不確定性.隨著參數(shù)不確定范圍的增大,總成本增加.當(dāng)不確定性因素燃料價格和電力需求的擾動方向一致時,總成本隨著參數(shù)不確定范圍的增大呈近似線性增加.當(dāng)不確定性因素燃料價格和電力需求的擾動方向不一致時,總成本隨著參數(shù)的波動加劇而增加,但并不呈線性關(guān)系.

(2)通過分析燃料價格和電力需求這兩個參數(shù)的不確定范圍對總成本的影響顯著性,發(fā)現(xiàn)隨著參數(shù)變動范圍的差異,燃料價格和電力需求的不確定性對于電力生產(chǎn)決策影響的顯著性也不一樣.在本工作中,當(dāng)燃料價格f的變動范圍為[fk?24.5ωfk,fk+24.5ωfk],電力需求d的變動范圍為[dl?8ωdl,dl+8ωdl],即當(dāng)Q2=155 880時,燃料價格和電力需求對發(fā)電企業(yè)總成本的影響大致相等.通過大量實驗發(fā)現(xiàn),當(dāng)參數(shù)的不確定范圍小于這個范圍時,燃料價格對發(fā)電企業(yè)的總成本影響更大,在制定決策的過程中應(yīng)盡可能避免燃料價格帶來的不確定性.當(dāng)參數(shù)的不確定范圍大于這個范圍時,電力需求對發(fā)電企業(yè)的總成本影響更大,在電力生產(chǎn)決策制定過程中應(yīng)重點關(guān)注電力需求的波動,并制定有效的應(yīng)對策略以減少電力需求的影響.

本工作為不確定性電力供應(yīng)鏈的決策問題提供了理論支持及相關(guān)的方法.研究結(jié)果表明,所建立的模型和算法能有效描述燃料價格和電力需求等影響因素的不確定范圍對于電力生產(chǎn)決策的影響.研究結(jié)果可以為電力部門制定安全經(jīng)濟的決策方案提供理論依據(jù).