趙新偉 馬超群 徐光魯

摘要：基于大宗商品收益率與便利收益服從均值回復(fù)過程的假設(shè)，建立帶協(xié)整效應(yīng)的多資產(chǎn)大宗商品期權(quán)定價(jià)模型，求解多資產(chǎn)大宗商品期權(quán)價(jià)格的解析解，將大宗商品期權(quán)定價(jià)推廣到更一般情況。結(jié)果表明：標(biāo)的資產(chǎn)收益率增加，期權(quán)價(jià)格上升，替代品期權(quán)價(jià)格下降；標(biāo)的資產(chǎn)的便利收益增加，期權(quán)價(jià)格下降，相應(yīng)替代品的期權(quán)價(jià)格上升。

關(guān)鍵詞：大宗商品；期權(quán)定價(jià)；隨機(jī)收益率；隨機(jī)便利收益；協(xié)整

中圖分類號(hào)：F830.9文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：10037217（2018）04005908

一、引言

2017年3月31日，豆粕期權(quán)在大連商品交易所上市，4月19日，白糖期權(quán)在鄭州商品交易所正式掛牌交易，從此，中國(guó)大宗商品開啟期權(quán)時(shí)代。商品期權(quán)的推出有助于深化期貨市場(chǎng)功能，豐富風(fēng)險(xiǎn)管理工具[1]，提升企業(yè)期貨市場(chǎng)參與程度與期貨市場(chǎng)運(yùn)行質(zhì)量，使金融能夠更好地服務(wù)于實(shí)體經(jīng)濟(jì)。

標(biāo)的資產(chǎn)收益率是影響大宗商品衍生品價(jià)格的主要因素。收益率越高，投資者持有該資產(chǎn)所獲得的利潤(rùn)越高，相應(yīng)衍生產(chǎn)品越受投資者青睞。收益率是衡量資產(chǎn)價(jià)值的重要指標(biāo)，對(duì)大宗商品期權(quán)定價(jià)具有重要影響。以往有關(guān)大宗商品衍生品定價(jià)的研究大多以無風(fēng)險(xiǎn)利率代替標(biāo)的資產(chǎn)收益率，甚至假設(shè)其為常數(shù)[2，3]，不能反映大宗商品收益的不確定性，因此，Schwartz[4]認(rèn)為用均值回復(fù)過程刻畫標(biāo)的資產(chǎn)收益率更為準(zhǔn)確。眾多學(xué)者均認(rèn)為大宗商品收益率具有隨機(jī)性，例如Miltersen和Schwartz[5]，Casassus和Dufresne[6]，Cheng[7]，Lai和Mellios[8]等。因此，大宗商品期權(quán)定價(jià)應(yīng)考慮不同資產(chǎn)收益率對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)期權(quán)價(jià)格的影響。

便利收益是影響大宗商品衍生品價(jià)格的重要因素。與其他期權(quán)不同，商品期權(quán)屬于實(shí)物期權(quán)，投資者持有實(shí)物資產(chǎn)的價(jià)值與便利收益有關(guān)。Brennan[9]，F(xiàn)ama和French[10，11]研究發(fā)現(xiàn)，大宗商品持有者在持有實(shí)物資產(chǎn)時(shí)會(huì)產(chǎn)生便利收益（ConvenienceYield）。便利收益是大宗商品的固有屬性，是投資者持有實(shí)物資產(chǎn)時(shí)獲得的收益[12]，本質(zhì)上，便利收益依賴于資產(chǎn)持有者對(duì)大宗商品的儲(chǔ)存屬性[13]，實(shí)物資產(chǎn)持有者對(duì)市場(chǎng)供需狀況帶來的沖擊反應(yīng)較迅速，可以選擇最有利的策略應(yīng)對(duì)該沖擊[14]。以往有關(guān)大宗商品期權(quán)定價(jià)的研究忽略了便利收益對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響，而便利收益是大宗商品衍生品價(jià)格的重要影響因素之一。Black[15]在BlackSchole[16]期權(quán)定價(jià)公式基礎(chǔ)上首次研究了大宗商品期權(quán)定價(jià)問題。AsayMR[17]認(rèn)為已有期權(quán)定價(jià)公式的標(biāo)的資產(chǎn)更適于商品期貨合約，因?yàn)樯唐菲谪涊^大宗商品流動(dòng)性更好，其價(jià)格變化更符合隨機(jī)過程假設(shè)，而以實(shí)物為標(biāo)的資產(chǎn)，則需考慮便利收益等因素。Heinkel等[18]以期權(quán)收益視角對(duì)便利收益進(jìn)行了深入分析。Gibson和Schwartz[2]認(rèn)為便利收益應(yīng)服從均值回復(fù)過程，首先從理論上建立了二因子模型來描述原油價(jià)格變化過程，此后，眾多學(xué)者研究大宗商品衍生品定價(jià)時(shí)均采用均值回復(fù)過程刻畫便利收益，例如Schwartz[4]，Miltersen和Schwartz[5]，Casassus和Dufresne[6]，Schwartz和Smith[19]等。Hinz和Fehr[20]認(rèn)為大宗商品期權(quán)定價(jià)需考慮儲(chǔ)存成本，便利收益與儲(chǔ)存成本密切相關(guān)（例如儲(chǔ)存成本為負(fù)時(shí)即可理解為便利收益），Liu和Tang[21]研究發(fā)現(xiàn)，便利收益具有異方差性，且呈動(dòng)態(tài)變化。因此，便利收益是研究大宗商品期權(quán)定價(jià)必不可少的影響因素之一。

相關(guān)資產(chǎn)間的協(xié)整效應(yīng)也是影響大宗商品衍生品價(jià)格的因素之一。大宗商品屬于功能類商品，某些商品間具有替代性（例如原油與取暖油），因此，其市場(chǎng)價(jià)格間會(huì)產(chǎn)生相互影響，這種影響被稱為資產(chǎn)間的協(xié)整效應(yīng)。Duan和Pliska[22]在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下研究了帶協(xié)整效應(yīng)的期權(quán)定價(jià)問題。Nakajima和Ohashi[3]認(rèn)為當(dāng)便利收益存在時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下商品價(jià)格漂移項(xiàng)會(huì)偏離無風(fēng)險(xiǎn)利率，因此，Duan和Pliska的期權(quán)定價(jià)公式將不再成立。Nakajima和Ohashi[3，23]在隨機(jī)便利收益的假設(shè)下拓展了Gibson和Schwartz的二因子模型，研究了帶協(xié)整效應(yīng)的大宗商品期貨期權(quán)定價(jià)問題，并通過實(shí)證研究證明了大宗商品間協(xié)整效應(yīng)的存在性。大宗商品作為金融資產(chǎn)，與股票等資產(chǎn)不同，其價(jià)格會(huì)受到生產(chǎn)和儲(chǔ)存條件的影響，同時(shí)，還會(huì)受到同類商品價(jià)格的影響，因此，研究大宗商品期權(quán)定價(jià)問題，必須考慮不同資產(chǎn)間的協(xié)整效應(yīng)。

安寧和劉志新[24]根據(jù)便利收益理論發(fā)現(xiàn)中國(guó)商品期貨收益具備看漲期權(quán)的特性，且呈現(xiàn)周期性循環(huán)變化。潘堅(jiān)和劉福來[25]，周洪海等[26]研究了一類帶交易費(fèi)的商品期權(quán)定價(jià)問題。呂永琦[27]基于商品的日便利收益研究了期權(quán)定價(jià)問題，研究發(fā)現(xiàn)，交換期權(quán)的性質(zhì)可以解釋便利收益的變化。王蘇生等[28]將便利收益作為一種看漲期權(quán)，進(jìn)而研究了碳排放及期權(quán)定價(jià)問題。

雖然已有研究從不同角度研究了大宗商品期權(quán)定價(jià)問題，但沒有同時(shí)考慮標(biāo)的資產(chǎn)收益率與便利收益的隨機(jī)性，以及不同資產(chǎn)間的協(xié)整效應(yīng)。因此，本文在隨機(jī)收益率和隨機(jī)便利收益的假設(shè)下研究了帶協(xié)整效應(yīng)的大宗商品期權(quán)定價(jià)問題，可以同時(shí)刻畫大宗商品收益的不確定性以及便利收益的隨機(jī)性，并能夠反映同類大宗商品間的價(jià)格影響關(guān)系。本文貢獻(xiàn)在于：在標(biāo)的資產(chǎn)收益率和便利收益服從均值回復(fù)過程的假設(shè)下，建立了帶協(xié)整效應(yīng)的多資產(chǎn)大宗商品期權(quán)定價(jià)模型，并得到了該模型下歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式，拓展了大宗商品期權(quán)定價(jià)理論；分析了收益率、便利收益對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)及其替代品期權(quán)價(jià)格的影響，解釋了大宗商品間的價(jià)格影響機(jī)理，對(duì)投資者及商品期權(quán)市場(chǎng)具有一定的指導(dǎo)意義。

二、多資產(chǎn)大宗商品期權(quán)定價(jià)

（一）模型建立

假設(shè)市場(chǎng)上有n個(gè)存在協(xié)整效應(yīng)的大宗商品，t（t≥0）時(shí)刻第i（i=1，…n）個(gè)商品的價(jià)格為Si（t），其便利收益為δi（t），收益率為ri（t），三者均為概率空間（Ω，F(xiàn)，Q）上的隨機(jī)變量，令Xi（t）=lnSi（t），標(biāo)的資產(chǎn)對(duì)數(shù)價(jià)格服從如下隨機(jī)過程，dXi（t）=ri（t）-σ2Si2-δi（t）+biz（t）dt+

σSidWSi（t）（1）

其中，標(biāo)的資產(chǎn)收益率和便利收益服從均值回復(fù)過程，

dri（t）=kri（mi-ri（t））dt+σridWri（t）（2）

dδi（t）=kδi（αi-δi（t））dt+σδidWδi（t）（3）

z（t）為標(biāo)的資產(chǎn)間的協(xié)整效應(yīng)，

z（t）=μz+a0t+∑ni=1aiXi（t）（4）

i，j=1…n，μz，a0，ai，bi，kri，kδi，αi，mi，σSi，σri，σδi為常數(shù)，WS，Wr，Wδ為概率空間（Ω，F(xiàn)，Q）上具有相關(guān)性的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，其協(xié)方差矩陣為

1ρSrρSδ

ρSr1ρrδ

ρSδρrδ1t（5）

為保證布朗運(yùn)動(dòng)協(xié)方差矩陣的非負(fù)定性，令相關(guān)系數(shù)滿足如下條件，

1+2ρSrρSδρrδ-ρ2Sr-ρ2Sδ-ρ2rδ≥0（6）

當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)收益率為常數(shù)，多個(gè)資產(chǎn)間無協(xié)整效應(yīng)時(shí)，上述模型退化為GibsonSchwartz[2]的GS模型，當(dāng)資產(chǎn)間不存在協(xié)整效應(yīng)，且標(biāo)的資產(chǎn)收益率服從均值回復(fù)過程時(shí)，本模型退化為Schwartz[4]的三因子模型。

（二）歐式看漲期權(quán)定價(jià)

假設(shè)t時(shí)刻第i個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為Si（t），T時(shí)刻歐式看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為K，由式（2）可知，收益率服從均值回復(fù)過程，則遠(yuǎn)期測(cè)度QT下，該看漲期權(quán)的價(jià)格Ci（t，T）為

Ci（t，T）=EQTe-∫Ttri（s）ds（Si（T）-K）+（7）

定義遠(yuǎn)期測(cè)度QT下拉東-尼柯迪姆導(dǎo)數(shù)為

dQTdQ=e-∫Ttri（s）dsEe-∫Ttri（s）dsFt（8）

其中，E·為測(cè)度Q下的數(shù)學(xué)期望，令Pi（t，T）=Ee-∫Ttri（s）dst，則遠(yuǎn)期測(cè)度QT下歐式看漲期權(quán)價(jià)格可寫為

Ci（t，T）=Pi（t，T）EQT（Si（T）-K）+（9）

對(duì)任意u∈t，T，由式（2）直接計(jì)算可得，

ri（u）=mi+（ri（t）-mi）e-kri（u-t）+

e-kriu∫utσriekrisdWri（s）（10）

令M（u，T，k）=1-e-k（T-u），那么

-∫Ttri（s）ds=-mi（T-t）-（ri（t）-mi）kriM（t，

T，kri）-σrikri∫TtM（s，T，kri）dWri（s）（11）

直接計(jì)算可得，

Pi（t，T）=exp

-mi（T-t）-（ri（t）-mi）kriM（t，T，kri）+

12∫Ttσ2rik2riM2（s，T，kri）ds（12）

dQTdQ=exp-∫TtσrikriM（s，T，kri）dWri（s）-

12∫Ttσ2rik2riM2（s，T，kri）ds（13）

則遠(yuǎn)期測(cè)度QT下的布朗運(yùn)動(dòng)WTri（u）為

WTri（u）=Wri（u）+∫utσrikriM（s，T，kri）ds（14）

定義布朗運(yùn)動(dòng)ri（t），Si（t），δi（t），令

Wri（t）=ri（t）（15）

WSi（t）=ρSrri（t）+1-ρ2SrSi（t）（16）

Wδi（t）=ρSrri（t）+ρSδ-ρSrρrδ1-ρ2Srri（t）+

（1-ρ2Sr）（1-ρ2rδ）-（ρSδ-ρSrρrδ）21-ρ2Srδi（t）

（17）

根據(jù)Fan等[29]可知，ri（t），Si（t），δi（t）為概率空間（Ω，F(xiàn)，Q）上相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

令：

i（t，T）=∫Tt（ri（s）-σ2Si2-δi（s）+

biz（s））ds+∫TtσSidWSi（s）（18）

則Si（T）=Si（t）expi（t，T），即式（18）與式（1）等價(jià)。

引理1令ρ1=ρSδ-ρSrρrδ1-ρ2Sr，ρ2=（1-ρ2Sr）（1-ρ2rδ）-（ρSδ-ρSrρrδ）21-ρ2Sr，β=∑ni=1biai，

γ=-a0+12∑ni=1aiσ2Siβ，

M（u，T，k）=1-e-k（T-u），

M（u，T，k，c）=e-（cT+k（T-u））-e-cu，

（x，y）=exT-extx-exT-e-yT+（x+y）tx+y，

（x）=T-t-M（t，T，x）x，

fri=mi+（ri（t）-mi）e-kri（T-t）kri，

fδi=αi+（δi（t）-αi）e-kδi（T-t）kδi，

f0=（biγ-σ2Si2+mi-αi-∑nj=1

biaj（mj-αj）β）（T-t）

+（bi（γ-z（t））β-

∑nj=1biajkrjmjβ2（krj+β）+∑nj=1biajkδjαjβ2（kδj+β））

M（t，T，-β），

f1（x）=biajβx-biajeβ（T-t）β（x+β），f2（x）=biajβx-biajβ（x+β），f3（x，y）=biajσxβkx-biajσyβky，

g1i=-σrie-kriTkriekris+σrikri+ρrδσδie-kδiTkδiekδis+ρSrσSi-ρrδσδikδi，

g2i=ρ2σδie-kδiTkδiekδis-ρ2σδikδi，

g3i=ρ1σδie-kδiTkδiekδis-ρ1σδikδi+1-ρ2SrσSi

g1ij=σrje-krjTf2（krj）ekrjs-

ρrδσδje-kδjTf2（kδj）ekδjs-f3（rj，δj）+biajσrjeβTβ（krj+β）e-βs-ρrδbiajσδjeβTβ（kδj+β）e-βs+ρSrσSjbiaj（eβ（T-s）-1）β

g2ij=ρ2σδje-kδjTf2（kδj）ekδjs+ρ2biajσδjeβTβ（kδj+β）e-βs，

g3ij=ρ1σδje-kδjTf2（kδj）ekδjs+ρ1biajσδjeβTβ（kδj+β）e-βS+biajσSj1-ρ2SrM（s，T，-β）β，

假設(shè)kri，kδi，β不為零，且β≠-kri，β≠-kδi，那么，遠(yuǎn)期測(cè)度QT下i（t，T）的期望μi（t，T）和方差σ2i（t，T）分別為：

μi（t，T）=f0-fri+fδi+ri（t）kri-δi（t）kδi-

σ2rie-kγiTk2ri（kri，kri）+ρrδσriσδie-kδiTkrikδi（kδi，kri）

+σ2rik2ri（kri）-ρrδσriσδikrikδi（kri）+

ρSrσriσSikri（kri）-∑nj=1f1（krj）rj（t）+

∑nj=1f1（kδj）δj（t）+∑nj=1f2（krj）frjkrj-

∑nj=1f2（kδj）fδjkδj-∑nj=1（σrjkrjf3（rj，δj）+ρSrσrjσSjbiajβkrj）（krj）+

∑nj=1σ2rje-krjTkrjf2（krj）（krj，krj）-

∑nj=1ρrδσrjσδje-kδjTkrjf2（kδj）（kδj，krj）+

∑nj=1（biajσ2rjeβTkrjβ（krj+β）-ρrδbiajσδjσrjeβTkrjβ（kδj+β）+

ρSrσrjσSjeβTbiajβkrj）（-β，krj）

σ2i（t，T）=∫Ttg21ids+∫Ttg22ids+∫Ttg23ids+

∑nj=1∑nk=1∫Ttg1ijg1ikds+

∑nj=1∑nk=1∫Ttg2ijg2ikds+

∑nj=1∑nk=1∫Ttg3ijg3ikds+2∫Ttρrδg1ig2ids+

2∫TtρSrg1ig3ids+∑nj=12∫Ttg1ig1ijds-

∑nj=12∫Ttρrδg1ig2ijds-∑nj=12∫TtρSrg1ig3ijds+

2∫TtρSδg2ig3ids+∑nj=12∫Ttρrδg2ig1ijds-

∑nj=12∫Ttg2ig2ijds-∑nj=12∫TtρSδg2ig3ijds+

∑nj=12∫TtρSrg3ig1ijds-∑nj=12∫TtρSδg3ig2ijds-

∑nj=12∫Ttg3ig3ijds-∑nj=1∑nk=1∫Ttρrδg1ijg2ikds-

∑nj=1∑nk=1∫TtρSrg1ijg3ikds+∑nj=1∑nk=1∫TtρSδg2ijg3ikds

證明為了計(jì)算遠(yuǎn)期測(cè)度QT下i（t，T）的期望μi（t，T）和方差σ2i（t，T），首先需計(jì)算測(cè)度Q下的未知項(xiàng)∫Ttri（s）ds，∫Ttδi（s）ds和∫Ttz（s）ds。

因?yàn)棣?∑ni=1biai，γ=-a0+12∑ni=1aiσ2Siβ，根據(jù)式（4），利用伊藤引理可得：

dz（t）=-β（γ-z（t））dt+∑ni=1airi（t）dt-

∑ni=1aiδi（t）dt+∑ni=1aiσSidWSi（t），

所以，

∫Ttz（s）ds=z（T）-z（t）β+γ（T-t）-∑ni=1aiβ∫Ttri（s）ds+∑ni=1aiβ∫Ttδi（s）ds-∑ni=1aiβσSi∫TtdWSi（s）（19）

利用分部積分公式直接計(jì)算可得：

z（T）=eβ（T-t）z（t）+γM（t，T，-β）+∑ni=1∫Tteβ（T-s）ai（ri（s）-δi（s））ds+∑ni=1∫Tteβ（T-s）aiσSidWSi（s）（20）

類似的，根據(jù)式（2）、（3），我們有：

∫Ttri（s）ds=mi（T-t）-ri（T）-ri（t）kri+

σrikri∫TtdWri（s）（21）

∫Ttδi（s）ds=αi（T-t）-δi（T）-δi（t）kδi+

σδikδi∫TtdWδi（s）（22）

其中，

ri（T）=mi+（ri（t）-mi）e-kri（T-t）+

e-kriT∫TtσriekrisdWri（s）（23）

δi（T）=αi+（δi（t）-αi）e-kδi（T-t）+

e-kδiT∫TtσδiekδisdWδi（s）（24）

將式（20）-（24）帶入式（19）得：

∫Ttz（s）ds=（γ-z（t））M（t，T，-β）β+γ（T-t）+∑ni=1aiβeβT∫Tte-βs（ri（s）-δi（s））ds-∑ni=1aiβ∫Tt（ri（s）-δi（s））ds+∑ni=1aiβσSieβT∫Tte-βsdWSi（s）-∑ni=1aiβσSi∫TtdWSi（s）（25）

由式（15）-（17）可知，遠(yuǎn)期測(cè)度QT下，

dWTri（u）=σrikriM（u，T，kri）du+dri（u）（2.26）

dWTSi（u）=ρSrσrikriM（u，T，kri）du+ρSrdri（u）+1-ρ2SrdSi（u）（27）

dWTδi（u）=ρrδσrikriM（u，T，kri）du+ρrδdri（u）+ρ1dSi（u）+ρ2dδi（u）（28）

將式（19）-（28）帶入i（t，T），遠(yuǎn)期測(cè)度QT下，直接計(jì)算可得：

Ti（t，T）=f0-fri+fδi+ri（t）kri-δi（t）kδi-

σ2rie-kriTk2ri（kri，kri）+ρrδσriσδie-kδiTkrikδi（kδi，kri）+

σ2rik2ri（kri）-ρrδσriσδikrikδi（kri）+ρSrσriσSikri（kri）-

∑nj=1f1（krj）rj（t）+∑nj=1f1（kδj）δj（t）+

∑nj=1f2（krj）frjkrj-∑nj=1f2（kδj）fδjkδj-

∑nj=1σrjkrjf3（rj，δj）（krj）-

∑nj=1ρSrσrjσSjbiajβkrj（krj）+

∑nj=1σ2rje-krjTkrjf2（krj）（krj，krj）-

∑nj=1ρrδσrjσδje-kδjTkrjf2（kδj）（kδj，krj）+

∑nj=1（biajσ2rjeβTkrjβ（krj+β）-ρrδbiajσδjσrjeβTkrjβ（kδj+β）+

ρSrσrjσSjeβTbiajβkrj）（-β，krj）+∫Ttg1idri（s）+

∫Ttg2idδi（s）+∫Ttg3idSi（s）+

∑nj=1∫Ttg1ijdrj（s）-∑nj=1∫Ttg2ijdδj（s）-

∑nj=1∫Ttg3ijdSj（s）（29）

直接對(duì)式（29）中Ti（t，T）求期望和方差，即得所求結(jié)果。

證畢。

根據(jù)式（18）可知，標(biāo)的資產(chǎn)對(duì)數(shù)價(jià)格Xi的期望μXi（t，T）即μi（t，T），方差σ2Xi（t，T）即σ2i（t，T），因此我們有如下定理求解多資產(chǎn)大宗商品期權(quán)定價(jià)模型，進(jìn)而得到歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式。

定理1假設(shè)t時(shí)刻第i個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為Si（t），Xi（t）=lnSi（t），T時(shí)刻歐式看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為K，n（xi|μXi（t，T），σ2Xi（t，T））為標(biāo)的資產(chǎn)對(duì)數(shù)價(jià)格Xi的概率密度函數(shù)，則t時(shí)刻到期日為T的歐式看漲期權(quán)價(jià)格為

Ci（t，T）=Pi（t，T）eμXi+σ2Xi2（1-Φ（di1（t，T）））-Pi（t，T）K（1-Φ（di2（t，T））），

其中，di1（t，T）=lnK-（μXi+σ2Xi）σXi，di2（t，T）=lnK-μXiσXi。

證明由假設(shè)條件可知，T時(shí)刻歐式看漲期權(quán)的收益為Si（T）-K，風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，期望收益為

EQT（Si（T）-K）+：=EQT[max（Si（T）-K，0）]，

則該看漲期權(quán)現(xiàn)值為

Ee-∫Ttri（s）ds（Si（T）-K）+，

因?yàn)閄i（t）=lnSi（t），所以該期權(quán)對(duì)數(shù)價(jià)格的可行域?yàn)镈=xixi≥K，

記μXi（t，T）為μXi，σ2Χi（t，T）為σ2Xi，則期權(quán)價(jià)格可寫為

Ci（t，T）=Ee-∫Ttri（s）ds（Si（T）-K）+=

Pi（t，T）∫D（exi-K）n（xiμXi，σ2Xi）dxi=

Pi（t，T）（∫Dexin（xiμXi，σ2Xi）dxi-

K∫Dn（xiμXi，σ2Xi）dxi）（30）

而

∫Dexin（xiμXi，σ2Xi）dxi=

∫Dexi12πσXie-（xi-μXi）22σ2Xidxi=

eμXi+σ2Χi2∫D12πσXie-（xi-（μXi+σ2Xi））22σ2Xidxi（31）

令y=xi-（μXi+σ2Xi）σXi進(jìn)行變量代換得：

∫Dexin（xiμXi，σ2Xi）dxi=

eμXi+σ2Xi212πσXi∫+∞di1e-y22dy（32）

其中，di1（t，T）=lnK-（μXi+σ2Xi）σXi。

同理，

∫Dn（xiμXi，σ2Xi）dxi=12πσXi∫+∞di2e-y22dy（33）

其中，di2（t，T）=lnK-μXiσXi。

整理得：

Ci（t，T）=Pi（t，T）（∫Dexin（xiμXi，σ2Xi）dxi-K∫Dn（xiμXi，σ2Xi）dxi）=Pi（t，T）eμXi+σ2Xi2（1-Φ（di1（t，T）））-Pi（t，T）K（1-Φ（di2（t，T）））（34）

證畢。

由定理1中的期權(quán)價(jià)格公式可知，資產(chǎn)i的期權(quán)價(jià)格不僅與合約期限及行權(quán)價(jià)格K有關(guān)，還與該資產(chǎn)的收益與風(fēng)險(xiǎn)有關(guān)，而資產(chǎn)i的期望收益μXi（t，T）與風(fēng)險(xiǎn)σ2Xi（t，T）會(huì)受到具有協(xié)整效應(yīng)的相關(guān)產(chǎn)品影響，根據(jù)μXi（t，T）和σ2Xi（t，T）的計(jì)算公式可知，多資產(chǎn)大宗商品期權(quán)定價(jià)模型中各參數(shù)會(huì)對(duì)μXi（t，T）與σ2Xi（t，T）產(chǎn)生影響。因此，大宗商品期權(quán)價(jià)格不僅受到模型參數(shù)及初始條件的影響，還會(huì)受到行權(quán)價(jià)格K的影響，帶協(xié)整效應(yīng)的相關(guān)產(chǎn)品也會(huì)對(duì)大宗商品期權(quán)定價(jià)產(chǎn)生影響，除此之外，各資產(chǎn)的隨機(jī)收益率與便利收益對(duì)大宗商品期權(quán)價(jià)格也產(chǎn)生重要影響[30]。

三、數(shù)值分析

通過前文理論分析可知，本文所提模型為隨機(jī)收益與隨機(jī)便利收益條件下，帶協(xié)整效應(yīng)的多資產(chǎn)大宗商品期權(quán)定價(jià)模型。模型中包含μz，a0，ai，bi，kri，kδi，αi，mi，σSi，σri，σδi等參數(shù)，這些參數(shù)反映了大宗商品的市場(chǎng)環(huán)境，當(dāng)任意給定一組參數(shù)后，t時(shí)刻任一資產(chǎn)的期權(quán)價(jià)格可根據(jù)定理1計(jì)算得到。

本文分別計(jì)算固定收益與協(xié)整效應(yīng)條件下、隨機(jī)收益與無協(xié)整效應(yīng)條件下、隨機(jī)收益與協(xié)整效應(yīng)共存條件下的大宗商品期權(quán)價(jià)格，對(duì)比分析隨機(jī)收益與協(xié)整效應(yīng)對(duì)多資產(chǎn)大宗商品期權(quán)定價(jià)的必要性。

假設(shè)市場(chǎng)上存在兩種具有協(xié)整效應(yīng)的大宗商品，根據(jù)Nakajima和Ohashi（2012）參數(shù)估計(jì)結(jié)果，本文取μz=1.144262，a0=0.072，a1=-2.6，a2=-2.1，b1=0.58，b2=0.48，kr1=1.5，kr2=1.2，kδ1=1.140883，kδ2=1.085038，σS1=0.381896，σS2=0.406307，σr1=0.2，σr1=0.15，σδ1=0.287109，σδ2=0.699693，ρδ1δ2=0.165843，ρδ1S1=0.767305，ρδ1S2=0.628424，ρδ2S1=0.000072，ρδ2S2=0.620514，ρS1S2=0.748660。由于大宗商品期權(quán)合約有固定到期日，所以本文令到期日T=1，而到期前期權(quán)價(jià)格會(huì)隨時(shí)間變化，為了滿足實(shí)際需要，本文設(shè)定0≤t≤T，不失一般性，我們可以取t=0.4。為計(jì)算方便，令X1（t）=1，X2（t）=1?；谄跈?quán)的權(quán)利屬性，行權(quán)價(jià)格應(yīng)小于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，所以本文令行權(quán)價(jià)格K=0.6。

本文模型在GSC模型的基礎(chǔ)上加入隨機(jī)變量ri（t），使得影響期權(quán)價(jià)格的隨機(jī)變量變?yōu)殡S機(jī)收益率與隨機(jī)便利收益。由于m1，m2為資產(chǎn)收益率的長(zhǎng)期均值，可以顯示收益率的大小，所以，收益率對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響可以通過m1，m2與期權(quán)價(jià)格C1，C2的關(guān)系說明。由于α1，α2代表標(biāo)的資產(chǎn)便利收益的大小，所以，我們可以通過研究α1，α2與期權(quán)價(jià)格C1，C2的關(guān)系來說明便利收益與期權(quán)價(jià)格的關(guān)系。

圖1中，圖（a）至圖（d）為標(biāo)的資產(chǎn)收益率與便利收益對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響關(guān)系圖，由圖（a）和（c）可知，期權(quán)價(jià)格C1隨著m1增大而增大，隨著α1的增大而減小，隨著m2的增大而減小，隨著α2的增大而增大；由圖（b）和（d）可知，期權(quán)價(jià)格C2隨著m1增大而減小，隨著α1的增大而增大，隨著m2的增大而增大，隨著α2的增大而減小。這說明標(biāo)的資產(chǎn)收益率增大，期權(quán)價(jià)格上升，替代品的期權(quán)價(jià)格下降；便利收益增大，期權(quán)價(jià)格下降，替代品的期權(quán)價(jià)格上升；即標(biāo)的資產(chǎn)收益率與期權(quán)價(jià)格正相關(guān)，與替代品的期權(quán)價(jià)格負(fù)相關(guān)；標(biāo)的資產(chǎn)便利收益與期權(quán)價(jià)格負(fù)相關(guān)，與替代品的期權(quán)價(jià)格正相關(guān)。這是因?yàn)榇嬖诟?jìng)爭(zhēng)性的大宗商品功能相似，可以起到替代作用，標(biāo)的資產(chǎn)的收益率增加，表明該資產(chǎn)市場(chǎng)行情較好，價(jià)格上升，所以期權(quán)價(jià)格也隨之上升，由于市場(chǎng)需求短期內(nèi)不會(huì)產(chǎn)生巨大變化，所以替代品交易量會(huì)降低，導(dǎo)致流動(dòng)性差，價(jià)格下降，所以替代品期權(quán)價(jià)格也隨之下降；標(biāo)的資產(chǎn)的便利收益增加，表明投資者更傾向持有該資產(chǎn)，流動(dòng)性變差，交易量減少，價(jià)格下降，期權(quán)價(jià)格也隨之下降，為滿足市場(chǎng)需求，消費(fèi)者轉(zhuǎn)而購(gòu)買功能相似的替代品，從而使替代品流動(dòng)性增加，交易量增加，價(jià)格上升，替代品的期權(quán)價(jià)格也隨之上升。

通過以上分析可知，大宗商品期權(quán)價(jià)格不僅與便利收益有關(guān)，還與標(biāo)的資產(chǎn)隨機(jī)收益有關(guān)，同時(shí)會(huì)受到替代品的影響，因此，大宗商品期權(quán)定價(jià)模型應(yīng)同時(shí)考慮隨機(jī)收益率、便利收益與協(xié)整效應(yīng)三個(gè)因素。

本文所提多資產(chǎn)大宗商品期權(quán)模型不僅包含了便利收益對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)期權(quán)價(jià)格的影響，還研究了標(biāo)的資產(chǎn)隨機(jī)收益率和協(xié)整效應(yīng)共存條件下的多資產(chǎn)大宗商品期權(quán)定價(jià)問題，拓展了大宗商品期權(quán)定價(jià)理論。

四、結(jié)論

大宗商品在我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展中占有核心地位，相應(yīng)衍生產(chǎn)品備受投資者青睞。當(dāng)前有關(guān)大宗商品期權(quán)定價(jià)研究主要集中于便利收益對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響，現(xiàn)有文獻(xiàn)缺乏收益不確定性下帶協(xié)整效應(yīng)的多資產(chǎn)大宗商品期權(quán)定價(jià)研究?？紤]到市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中大宗商品收益的不確定性與便利收益的不可觀測(cè)性，本文在隨機(jī)收益率與隨機(jī)便利收益服從均值回復(fù)過程的假設(shè)下，研究了大宗商品的隨機(jī)收益率、隨機(jī)便利收益與相關(guān)產(chǎn)品的協(xié)整效應(yīng)對(duì)大宗商品期權(quán)定價(jià)的影響，建立了多資產(chǎn)大宗商品期權(quán)定價(jià)模型，解決了多資產(chǎn)大宗商品期權(quán)定價(jià)問題，得到了隨機(jī)收益與隨機(jī)便利收益條件下帶協(xié)整效應(yīng)的大宗商品期權(quán)定價(jià)問題的解析解。本文放寬了大宗商品期權(quán)定價(jià)模型有關(guān)收益率的限制，假設(shè)更具一般化。通過數(shù)值分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)大宗商品的收益增加時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值升高，期權(quán)價(jià)格上升，由于同類產(chǎn)品之間存在替代性與競(jìng)爭(zhēng)性，所以替代品的期權(quán)價(jià)格下降；當(dāng)大宗商品的便利收益增加時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)流動(dòng)性變差，導(dǎo)致期權(quán)價(jià)格下降，投資者轉(zhuǎn)而購(gòu)買同類替代品，使得替代品的期權(quán)價(jià)格上升。本文研究了收益不確定性與協(xié)整關(guān)系共存條件下的大宗商品期權(quán)定價(jià)問題，拓展了大宗商品期權(quán)定價(jià)理論。

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（責(zé)任編輯：鐘瑤）