張 冰，楊繼超，陳延偉

(中國船舶重工集團(tuán)公司第七一三研究所，河南 鄭州 450015)

0 引 言

桁架結(jié)構(gòu)可設(shè)計(jì)性強(qiáng)、重量輕，安裝方便快捷，在水面艦艇裝備中得到廣泛應(yīng)用。隨設(shè)計(jì)方法和手段的更新，對(duì)結(jié)構(gòu)性能要求越來越高，必須對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。對(duì)于桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，通常包擴(kuò)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化和桿件參數(shù)優(yōu)化兩方面內(nèi)容。1904年和1977年，Michell，Prager分別提出了Michell桁架與經(jīng)典布局理論[1]。結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)工程應(yīng)用方面，以經(jīng)驗(yàn)為導(dǎo)向設(shè)計(jì)方法比較常見，或者應(yīng)用單一形式的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，如拓?fù)鋬?yōu)化或參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)，而采用結(jié)構(gòu)拓?fù)?參數(shù)聯(lián)合優(yōu)化的工程應(yīng)用相對(duì)較少。采用單一形式優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，在方法上容易實(shí)現(xiàn)，但結(jié)構(gòu)容易陷入局部最優(yōu)解。本文以艦載某型裝置桁架式承載結(jié)構(gòu)為應(yīng)用背景，采用拓?fù)?參數(shù)聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計(jì)方法開展結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，即在結(jié)構(gòu)初始設(shè)計(jì)階段，根據(jù)水面艦艇空間安裝要求以及載荷約束情況，采用連續(xù)結(jié)構(gòu)連拓?fù)鋬?yōu)化策略，獲取桁架式承力結(jié)構(gòu)的拓?fù)洳季郑缓罄闷浣Y(jié)果建立結(jié)構(gòu)參數(shù)化模型，進(jìn)行結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)，最終得到優(yōu)化后詳細(xì)模型。

1 拓?fù)渑c參數(shù)聯(lián)合優(yōu)化策略

桁架式結(jié)構(gòu)強(qiáng)度高，形式簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)模塊化，可設(shè)計(jì)性強(qiáng)。對(duì)于承載式桁架結(jié)構(gòu)，通過調(diào)整桿件空間布局，使桿件位置與載荷沿路徑一致，能夠最大限度發(fā)揮桿件力學(xué)性能，減少結(jié)構(gòu)總體重量，提高艦載某型裝置結(jié)構(gòu)性能。為了獲得最優(yōu)桁架結(jié)構(gòu)，需要借助優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化，本質(zhì)是通過一系列數(shù)值計(jì)算方法來得到最佳的傳力路徑。根據(jù)對(duì)象和類型不同，優(yōu)化種類可以分為連續(xù)體和離散體拓?fù)鋬?yōu)化。連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化是在指定二維或三維連續(xù)區(qū)域，通過移除低效率材料的方法獲取最優(yōu)結(jié)構(gòu)；離散體拓?fù)鋬?yōu)化通常采用基結(jié)構(gòu)方法，即在基結(jié)構(gòu)中移除低效率構(gòu)件獲取最優(yōu)結(jié)構(gòu)。其中，基結(jié)構(gòu)設(shè)定，從一開始便限制了優(yōu)化解的范圍，經(jīng)過優(yōu)化后最優(yōu)解只是基空間一個(gè)子集，有可能真正最優(yōu)解并沒有在初始基結(jié)構(gòu)范圍內(nèi)[2–3]。

為消除基結(jié)構(gòu)設(shè)定的缺陷，本文在桁架結(jié)構(gòu)概念設(shè)計(jì)階段，采用連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法，獲取結(jié)構(gòu)最優(yōu)傳力路徑。該方法避免了在設(shè)定基結(jié)構(gòu)時(shí)主觀因素局限，最大限度擴(kuò)展了桁架結(jié)構(gòu)最優(yōu)解空間范圍。之后，根據(jù)連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法獲取的最優(yōu)結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)桁架結(jié)構(gòu)桿件空間布局，確保桿件沿傳力路徑方向布置。確立桁架結(jié)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)形式后，建立以桿件截面尺寸為變量的參數(shù)化模型，使用拉格朗日乘數(shù)法，開展以重量為目標(biāo)，應(yīng)力應(yīng)變?yōu)榧s束條件的參數(shù)化優(yōu)化[4–6]。優(yōu)化流程如圖1所示。

2 桁架式承載結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化

2.1 模型簡(jiǎn)化與邊界條件

該桁架式承載結(jié)構(gòu)采用模塊化設(shè)計(jì)，整個(gè)結(jié)構(gòu)分4個(gè)模塊，在豎直方向承受大質(zhì)量負(fù)載，模塊結(jié)構(gòu)如圖2所示。桁架結(jié)構(gòu)安裝在浮動(dòng)平臺(tái)上，需要承受搖擺載荷。在滿載荷負(fù)重情況下，桁架結(jié)構(gòu)需要滿足一定剛度要求，變形位移不能超出限定范圍。

根據(jù)實(shí)際工況，將搖擺載荷簡(jiǎn)化成x，y，z方向加速度載荷?？紤]到桁架結(jié)構(gòu)內(nèi)部承載物的包絡(luò)尺寸限制，確定基本輪廓尺寸；考慮桁架上外掛設(shè)備安裝，與外部接口對(duì)接以及模塊化設(shè)計(jì)要求，部分橫梁、豎直梁必需保留，不參與拓?fù)鋬?yōu)化。考慮到在z方向載荷以及輪廓尺寸非常小，為了模型簡(jiǎn)潔高效，將載荷及結(jié)構(gòu)均簡(jiǎn)化到x-y平面內(nèi)，簡(jiǎn)化后模型如圖3所示。

圖 1 桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化流程Fig. 1 Optimization process of truss structure

圖 2 桁架結(jié)構(gòu)空間模型Fig. 2 Spatial model of struss structure

其中，結(jié)合實(shí)際工程情況及整個(gè)模型尺寸，不參與優(yōu)化區(qū)域的橫、豎直梁采用2個(gè)單元厚度建立。連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果與幾何空間要求、邊界約束條件、載荷加載矢量方向及載荷步密切相關(guān)，對(duì)其他參數(shù)，如設(shè)計(jì)區(qū)域材料特性、載荷大小等無特殊要求，只要保持載荷比例值相同即可。

圖 3 簡(jiǎn)化拓?fù)鋬?yōu)化模型Fig. 3 Simplified topology optimization model

2.2 連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化應(yīng)用仿真轉(zhuǎn)件Ansys中的拓?fù)鋬?yōu)化模塊，使用變密度法優(yōu)化，固體各向同性懲罰微結(jié)構(gòu)模型（SIMP），材料模型將結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域離散成若干有限單元，各單元彈性模量和其相對(duì)密度的關(guān)系如下：

式中：xi指單元i相對(duì)密度；E0指實(shí)體材料彈性模型；Ei指單元i材料彈性模量；p指懲罰因子。

本優(yōu)化方法，建立在小位移、力平衡前提下，即結(jié)構(gòu)在受力過程中始終保持平衡，無動(dòng)能和非機(jī)械能改變。結(jié)構(gòu)在載荷作用下，外力所做的功等于變形勢(shì)能的增加。由于結(jié)構(gòu)應(yīng)變能和外力勢(shì)能在數(shù)值變化保持一致，應(yīng)變能能夠作為結(jié)構(gòu)靜剛度的一個(gè)標(biāo)量響應(yīng)。

所以，優(yōu)化問題能夠表述為：受加速度載荷時(shí)，桁架結(jié)構(gòu)與設(shè)計(jì)區(qū)域體積分?jǐn)?shù)在變形位移約束下的結(jié)構(gòu)靜態(tài)應(yīng)變能最小，其設(shè)計(jì)變量是結(jié)構(gòu)有限元模型中設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)每單元的相對(duì)密度值。連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型為[7–8]：

式中：X=（x1，x2，...，xn）指拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)變量向量，xi為第i個(gè)單元相對(duì)密度；C（X）反映結(jié)構(gòu)靜態(tài)應(yīng)變能量；Ui為單元i位移向量；Ki為單元i剛度矩陣；V（X）為設(shè)計(jì)區(qū)域結(jié)構(gòu)總體積；fmin與分別為結(jié)構(gòu)位移變形和其上限。Δ為一極小正數(shù)，以避免剛度矩陣奇異。

2.3 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果提取

根據(jù)已確定的邊界條件，將空間結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化成平面模型，在平面結(jié)構(gòu)上對(duì)桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化?；谝呀⒌膬?yōu)化模型與有限元模型，利用不斷調(diào)整模型中的結(jié)構(gòu)變形位移約束與體積分?jǐn)?shù)開展多次試算。在優(yōu)化過程中，迭代步數(shù)均設(shè)置為50，當(dāng)分別設(shè)定減少體積比例為65%，70%，75%，80%時(shí)，對(duì)應(yīng)優(yōu)化結(jié)果如圖4所示。

圖 4 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig. 4 Topology optimization results

隨著拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)體積減少百分比提高，結(jié)構(gòu)越來越接近工程上桁架結(jié)構(gòu)形式。以減少體積比例為80%的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果參考，確定桁架結(jié)構(gòu)拓?fù)湫问饺鐖D5所示。

圖 5 桁架結(jié)構(gòu)拓?fù)湫问紽ig. 5 Topological form of truss structure

3 桁架結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化

建立桁架結(jié)構(gòu)參數(shù)化有限元模型。所有桿件均采用空心方管結(jié)構(gòu)，每個(gè)空心方管的參數(shù)有長a、寬b和壁厚t，為了減少變量，將所有桿件壁厚均設(shè)置為t=0.003。確定后桁架結(jié)構(gòu)為左右對(duì)稱形式，根據(jù)其結(jié)構(gòu)，將桿件分為5類，同一類型桿件具有相同尺寸參數(shù)ai，bi和t，桁架結(jié)構(gòu)桿件類型分布及桿件橫截面如圖6所示。

圖 6 桿件類型分布及橫截面形式Fig. 6 Member type distribution and cross section

在參數(shù)優(yōu)化中，桁架底部節(jié)點(diǎn)完全約束，頂部所有節(jié)點(diǎn)全自由度耦合，豎直方向和搖擺方向載荷簡(jiǎn)化到桁架平面內(nèi)，其載荷比例保持與拓?fù)鋬?yōu)化施加載荷比例相同。所有桿件截面初始參數(shù)設(shè)置為ai=0.08，bi=0.08，t=0.003（i=1，2，...，5）。經(jīng)過計(jì)算，初始狀態(tài)桁架結(jié)構(gòu)在該約束條件下變形位移dis=0.396。在參數(shù)優(yōu)化中，將桁架結(jié)構(gòu)位移約束設(shè)置為初始位移的1/4，即dis≤0.1；截面參數(shù)限定范圍為0.01≤ai≤0.2，0.01≤bi≤0.2；優(yōu)化目標(biāo)為體積最小。參數(shù)優(yōu)化的體積變化歷程如圖7所示。各桿件橫截面尺寸變化歷程如圖8所示。最終優(yōu)化后桁架結(jié)構(gòu)詳細(xì)情況如圖9所示。

圖 7 體積變化歷程Fig. 7 Volume evolution process

圖 8 桿件截面尺寸變化歷程Fig. 8 Evolution of bar section size

經(jīng)過優(yōu)化，結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)對(duì)稱結(jié)構(gòu)形式，這與載荷對(duì)稱加載形式相符，說明優(yōu)化程序?qū)Y(jié)構(gòu)產(chǎn)生作用且滿足預(yù)期效果。經(jīng)過優(yōu)化，桁架式結(jié)構(gòu)承載桿件主要集中在靠中間位置，平面桁架上兩邊豎直桿件，即類型1截面尺寸減??；中間豎直桿件，即類型2、類型3和類型5，截面尺寸增大。這說明中間桿件對(duì)結(jié)構(gòu)剛度和穩(wěn)定性起重要作用。桁架結(jié)構(gòu)頂部為載荷施加部分，為了保證結(jié)構(gòu)上部剛度，支撐頂部橫梁，優(yōu)化結(jié)果保留輔助支撐桿件，即類型4截面桿件。同時(shí)對(duì)輔助支撐桿截面參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，減少截面尺寸。

圖 9 最終優(yōu)化結(jié)果Fig. 9 Final optimization results

4 結(jié) 語

目前結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法應(yīng)用越來越普遍，針對(duì)工程應(yīng)用中采用單一的拓?fù)浠蛘邊?shù)優(yōu)化方法，不易獲得全局最優(yōu)解情況，本文以艦載某型裝置桁架式承載結(jié)構(gòu)為應(yīng)用背景，提出桁架結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的拓?fù)渑c參數(shù)聯(lián)合優(yōu)化方法。首先通過拓?fù)鋬?yōu)化得到桁架結(jié)構(gòu)構(gòu)型，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步開展結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化，確定桁架結(jié)構(gòu)中最優(yōu)截面尺寸。通過聯(lián)合優(yōu)化方法，獲得桁架結(jié)構(gòu)拓?fù)浜徒孛鎱?shù)最優(yōu)結(jié)構(gòu)形式，在保證結(jié)構(gòu)剛度，滿足安全的前提下，減輕結(jié)構(gòu)重量。該方法易于工程實(shí)現(xiàn)，能為桁架式承載結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)和有益參考，提高設(shè)計(jì)效率。