毛 北 行

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 理學(xué)院, 鄭州 450015)

近年來, 對滑模同步問題的研究已引起人們廣泛關(guān)注[1-10]. 文獻[11]研究了一類分數(shù)階Duffling-Van der pol系統(tǒng)的同步控制問題; 文獻[12]研究了分數(shù)階多渦卷系統(tǒng)的同步控制; 文獻[13]基于滑模方法研究了一類不確定系統(tǒng)的同步問題; 文獻[14]研究了一類具有二次項的Mavpd混沌系統(tǒng)的動力學(xué)分析問題, 并討論了該系統(tǒng)的平衡點及穩(wěn)定性； 文獻[15]研究了比例積分追蹤制導(dǎo)方法, 得到了精確的追蹤制導(dǎo)方法； 文獻[16]研究了一個新混沌系統(tǒng)的滑?？刂茊栴}. 在此基礎(chǔ)上, 本文研究分數(shù)階Newton-Leipnik混沌系統(tǒng)滑模同步, 并給出系統(tǒng)取得同步的充分性條件.

定義1[17]Caputo分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

分數(shù)階Newton-Leipnik混沌系統(tǒng)[4]為

(1)

當(dāng)μ1=0.4,μ2=0.175,α∈[0.989,1]時, 系統(tǒng)(1)出現(xiàn)奇異吸引子. 以系統(tǒng)(1)作為驅(qū)動系統(tǒng), 設(shè)計響應(yīng)系統(tǒng)為

(2)

定義誤差

e1=x2-x1,e2=y2-y1,e3=z2-z1,

將式(1)與式(2)相減可得

(3)

1 滑模同步

假設(shè)條件：

(H1) |e2+10(y2z2-y1z1)|<ε1|e1|,ε1<μ1;

(H2) |-e1+5(x2z2-x1z1)|<ε2|e2|,ε2<0.4;

(H3)x1,y2為有界變量, 即存在正常數(shù)M>0, 滿足|x1|

則分數(shù)階系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定.

則分數(shù)階Newton-Leipnik主從系統(tǒng)(1)和(2)取得滑模同步.

證明： 在滑模面上運動時, 根據(jù)誤差系統(tǒng)方程(3)可得

構(gòu)造函數(shù)

構(gòu)造函數(shù)

由(H2)可得

再由

可得

又由于e1→0,e2→0, 且在滑模面上s=0, 因此可得誤差方程

由(H1)易得

-ε1|e1|

從而有

-ε1|e1|+e2<-10(y2z2-y1z1)<ε1|e1|+e2.

同理由(H2) 易得

-ε2|e2|-e1<-5(x2z2-x1z1)<ε2|e2|-e1,

從而可得

-ε1|e1|+e2-ε2|e2|-e1<-5(x2z2-x1z1)-10(y2z2-y1z1)<ε1|e1|+e2+ε2|e2|-e1.

又由于e1→0,e2→0, 因此由兩邊加定理易得

-5(x2z2-x1z1)-10(y2z2-y1z1)→0,

從而

不在滑模面上運動時, 構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V(t)=s2/2, 求導(dǎo)可得

因此s(t)是可積的且有界, 由引理2可知,s(t)→0.

2 比例積分滑模同步

定理2在假設(shè)條件(H1)～(H3)成立下, 選取

控制器

u(t)=-(k+μ2)e3(t)-ηsgn(s(t)),k>0

為常數(shù), 則分數(shù)階Newton-Leipnik系統(tǒng)的主從系統(tǒng)(1)和(2)可取得比例積分滑模同步.

證明： 將等效控制器代入式(3)可得理想滑模方程為

(4)

在滑模面上運動時, 根據(jù)誤差系統(tǒng)方程(3)可得

構(gòu)造函數(shù)

-5(x2y2-x1y1)=-5(x2-x1)y2-5x1(y2-y1)=-5e1y2-5x1e2.

當(dāng)不在滑模面上運動時, 選取Lyapunov函數(shù)V(t)=s2/2, 求導(dǎo)可得

根據(jù)引理2可知,s(t)→0.

3 數(shù)值仿真

選取系統(tǒng)參數(shù)μ1=0.4,μ2=0.175,α=0.93, 設(shè)置系統(tǒng)初始值為

(x1(0),y1(0),z1(0))=(2,1,3), (x2(0),y2(0),z2(0))=(1,2,2),

分別采用定理1和定理2中的滑模面和控制器進行數(shù)值仿真, 定理1和定理2的系統(tǒng)誤差曲線分別如圖1和圖2所示. 由圖1和圖2可見, 開始時誤差相差較大, 隨著時間的延長, 系統(tǒng)誤差逐漸趨于一致. 定理1中當(dāng)時間t>0.275 s后, 系統(tǒng)取得滑模同步, 定理2中當(dāng)t>0.225 s后, 系統(tǒng)取得比例積分滑模同步. 顯然, 定理2比定理1中的控制器簡單且能在更短時間內(nèi)達到同步.

圖1 定理1的系統(tǒng)誤差曲線Fig.1 System error curves of theorem 1

圖2 定理2的系統(tǒng)誤差曲線Fig.2 System error curves of theorem 2

綜上, 本文研究了分數(shù)階Newton-Leipnik混沌系統(tǒng)的滑模同步問題, 設(shè)計了滑模面和控制器, 并給出了系統(tǒng)取得同步的充分性條件, 最后通過數(shù)值算例驗證了該方法的可行性與有效性.