李子良

[中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)理學(xué)院 北京 100083]

陸丁

(北京交通大學(xué)附屬中學(xué) 北京 100081)

根據(jù)光柵的衍射現(xiàn)象，利用分光計(jì)測(cè)量光柵常數(shù)是普通物理實(shí)驗(yàn)中的重要內(nèi)容[1～3]．通常光柵常數(shù)的測(cè)量是利用平行光垂直入射光柵時(shí)的光柵方程實(shí)現(xiàn)的，所以操作上要求平行光是垂直入射到光柵上的．就平行光非垂直入射對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，文獻(xiàn)[4]討論了光柵以3種不同方式傾斜時(shí)對(duì)光譜波長(zhǎng)測(cè)量的影響，文獻(xiàn)[5]則證明了光柵以與小平臺(tái)接觸的長(zhǎng)邊為軸有旋轉(zhuǎn)時(shí)對(duì)光柵常數(shù)測(cè)量的影響可以忽略．但是，光柵以中心刻線方向?yàn)檩S有旋轉(zhuǎn)時(shí)對(duì)光柵常數(shù)測(cè)量的影響是不能忽略的．此時(shí)，可以用自準(zhǔn)直法調(diào)節(jié)光柵實(shí)現(xiàn)平行光垂直入射到光柵上[6]，還可以通過調(diào)節(jié)光柵使正負(fù)一級(jí)光譜的偏向角之差達(dá)到一定范圍來(lái)實(shí)現(xiàn)．由于學(xué)生在光柵衍射實(shí)驗(yàn)之前做過測(cè)量三棱鏡折射率的實(shí)驗(yàn)，對(duì)自準(zhǔn)直法已經(jīng)非常熟悉，所以第二種方法更能拓寬學(xué)生的知識(shí)面，提高學(xué)生的實(shí)驗(yàn)技能，加深學(xué)生對(duì)光柵衍射實(shí)驗(yàn)的理解．下面主要討論該操作方法．

1 調(diào)節(jié)方法

首先，打開光源預(yù)熱并對(duì)分光計(jì)進(jìn)行必要的調(diào)節(jié)[1,2]．然后，在分光計(jì)載物臺(tái)上目測(cè)放置光柵使光柵面垂直于平行光管光軸，分別測(cè)量出零級(jí)光譜(中央眀紋)及其左右兩側(cè)的負(fù)正k級(jí)光譜的方位．根據(jù)測(cè)量結(jié)果計(jì)算出正負(fù)k級(jí)光譜所對(duì)應(yīng)的偏向角(正負(fù)k級(jí)光譜偏離入射光的角度)，并判斷它們的大?。绻齥級(jí)光譜的偏向角大，那么就逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)載物臺(tái)(從俯視的角度觀察)，如果負(fù)k級(jí)的大，就順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)載物臺(tái)．之后，再次測(cè)量正負(fù)k級(jí)光譜的方位，計(jì)算相應(yīng)偏向角之差，判斷是否達(dá)到了垂直入射的標(biāo)準(zhǔn)．如果還不滿足，則重復(fù)上述的操作技巧，直到調(diào)節(jié)到平行光垂直入射到光柵為止．另外，需要注意判斷平行光是否垂直入射到光柵上的標(biāo)準(zhǔn)是與測(cè)量精度的要求有關(guān)的．通常實(shí)驗(yàn)教材里認(rèn)為平行光垂直入射到光柵上的判斷標(biāo)準(zhǔn)是正負(fù)一級(jí)光譜的偏向角之差不超過2′[1,2]．事實(shí)上，這一標(biāo)準(zhǔn)所對(duì)應(yīng)的測(cè)量精度是非常高的，在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生操作起來(lái)并不容易．因此，在測(cè)量精度要求不高的情況下可以適當(dāng)放寬判斷標(biāo)準(zhǔn)，這既能讓學(xué)生掌握操作方法，又能高效地完成實(shí)驗(yàn)．

2 理論證明

該部分將通過給出正負(fù)k級(jí)光譜對(duì)應(yīng)的偏向角之差與斜入射角度的關(guān)系，從理論上證明平行光垂直入射光柵的調(diào)節(jié)方法的合理性．

首先，考慮入射角θ比較小時(shí)，如圖1所示，φ+和φ-分別為正負(fù)k級(jí)光譜與光柵法線的夾角．此時(shí)，φ+和φ-分別位于光柵法線上下兩側(cè)，正負(fù)k級(jí)光譜對(duì)應(yīng)的偏向角分別為φ+-θ和φ-+θ，則由斜入射光柵方程[3]

可得正負(fù)k級(jí)光譜對(duì)應(yīng)的偏向角之差為

F1(θ)=φ+-θ-(φ-+θ)=φ+-φ--2θ=

其中λ為實(shí)驗(yàn)室所用光源的光波波長(zhǎng)，d為光柵常數(shù)．

圖1 斜入射角度θ 較小時(shí)，光柵衍射示意圖

當(dāng)入射角θ比較大時(shí)，如圖2所示，φ+和φ-都在光柵法線上側(cè)，正負(fù)k級(jí)光譜對(duì)應(yīng)的偏向角分別為φ+-θ和θ-φ-，則由斜入射光柵方程[3]

圖2 斜入射角度θ 較大時(shí)，光柵衍射示意圖

可得正負(fù)k級(jí)光譜對(duì)應(yīng)的偏向角之差為

F2(θ)=φ+-θ-(θ-φ-)=φ++φ--2θ=

由上述討論可知，對(duì)于任意入射角θ，正負(fù)k級(jí)光譜對(duì)應(yīng)的偏向角之差為

值得注意的是，雖然上述討論針對(duì)的是平行光斜向上入射到光柵面的情況，但是根據(jù)對(duì)稱性對(duì)于平行光斜向下入射的情況也可得到相同的規(guī)律，只不過F(θ)表示的是負(fù)正k級(jí)光譜對(duì)應(yīng)的偏向角之差．

圖3 斜入射時(shí)，正負(fù)k級(jí)譜線的偏向角之差F(θ)隨斜入射角度θ的變化，其中

3 誤差分析

根據(jù)垂直入射時(shí)的光柵方程dsinφ=±kλ,通過測(cè)量正負(fù)k級(jí)光譜的衍射角φ，即可求出光柵常數(shù)d．如果平行光是以入射角θ斜入射到光柵上的，而實(shí)驗(yàn)中仍然使用垂直入射時(shí)的光柵方程求解光柵常數(shù)，那么結(jié)果為

(1)

圖4分析了當(dāng)平行光非垂直入射光柵時(shí)所導(dǎo)致的相對(duì)誤差隨正負(fù)k級(jí)光譜對(duì)應(yīng)的偏向角之差F(θ)的關(guān)系．從圖中可以看到，相對(duì)誤差隨F(θ)的增加而增大，對(duì)于相同的F(θ)值，由高級(jí)次光譜求得的光柵常數(shù)誤差較小，而由較低級(jí)次光譜求得的誤差較大．因此，從誤差分析來(lái)看選取三級(jí)光譜調(diào)節(jié)測(cè)量時(shí)會(huì)比一級(jí)光譜效果要好．但是，在實(shí)際的教學(xué)過程中還要綜合考慮測(cè)量精度要求和操作的難易程度來(lái)確定選取哪一級(jí)光譜進(jìn)行調(diào)節(jié)測(cè)量．

圖4 光柵常數(shù)的相對(duì)誤差隨正負(fù)k級(jí)譜線的偏向角之差的變化，其中

當(dāng)選取一級(jí)光譜調(diào)節(jié)測(cè)量時(shí)，如果使正負(fù)一級(jí)光譜對(duì)應(yīng)的偏向角之差F(θ)=2′，則由一級(jí)光譜得到的光柵常數(shù)相對(duì)誤差約為0.017%．由此可以看出，此時(shí)光柵常數(shù)的測(cè)量誤差已經(jīng)非常小，完全可以忽略斜入射的影響，即認(rèn)為平行光是垂直入射到光柵上的．當(dāng)選取三級(jí)光譜調(diào)節(jié)測(cè)量時(shí)，如果要達(dá)到上述測(cè)量精度，那么需要調(diào)節(jié)光柵位置使正負(fù)三級(jí)光譜對(duì)應(yīng)的偏向角之差達(dá)到21′．

如果對(duì)光柵常數(shù)的測(cè)量精度要求更高，那么就要要求正負(fù)級(jí)次光譜對(duì)應(yīng)的偏向角之差更?。?，對(duì)于一級(jí)光譜，當(dāng)偏向角之差降到1′時(shí)，就達(dá)到了分光計(jì)的儀器誤差范圍，由正負(fù)一級(jí)光譜得到的光柵常數(shù)的相對(duì)誤差約為0.004 2%已達(dá)最小，無(wú)法繼續(xù)提高測(cè)量精度．而此時(shí)，對(duì)于三級(jí)光譜，達(dá)到相同的測(cè)量精度時(shí)，偏向角之差約為10′，還可以繼續(xù)提高光柵常數(shù)的測(cè)量精度．所以，對(duì)于光柵常數(shù)測(cè)量精度要求非常高時(shí)，選取三級(jí)光譜調(diào)節(jié)測(cè)量更合適．但是，在物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，測(cè)量精度的要求并不是很高，又考慮到選取三級(jí)光譜進(jìn)行調(diào)節(jié)測(cè)量時(shí)光譜的強(qiáng)度較弱不容易被觀察、光譜的級(jí)次較高不容易被確定等因素的影響，所以選取一級(jí)光譜調(diào)節(jié)測(cè)量更合適．總之，在測(cè)量精度允許的范圍內(nèi)，選取一級(jí)光譜進(jìn)行調(diào)節(jié)會(huì)更加簡(jiǎn)便易行，利于學(xué)生掌握．

如果實(shí)驗(yàn)中要求光柵常數(shù)的測(cè)量相對(duì)誤差小于0.5%，那么對(duì)正負(fù)一級(jí)光譜對(duì)應(yīng)的偏向角之差的要求可以放寬到10′．以一級(jí)光譜作為研究對(duì)象，從圖3可以看到F(θ)=10′時(shí)對(duì)應(yīng)的斜入射角θ≈5°9′．在這種情況下斜入射角已經(jīng)很大，眼睛就能觀察出來(lái)，通常目測(cè)放置光柵使光柵面盡量與平行光管光軸垂直就能滿足條件，所以光柵實(shí)驗(yàn)中測(cè)量精度要求不是很高時(shí)，是比較容易調(diào)到平行光垂直入射光柵的．另外，此處的討論是基于鈉黃光波長(zhǎng)的，又由公式 (1) 可以看出隨著光波波長(zhǎng)的增加測(cè)量誤差會(huì)更小，所以增加光源的光波波長(zhǎng)是可以有效減小斜入射對(duì)光柵常數(shù)測(cè)量的影響的．

上述討論中計(jì)算光柵常數(shù)的公式 (2) 是對(duì)由正負(fù)k級(jí)光譜的偏向角計(jì)算的光柵常數(shù)求平均得到的．實(shí)驗(yàn)教材中[1,2]通常強(qiáng)調(diào)為了提高精度使用的是公式

(2)

4 結(jié)束語(yǔ)

光柵衍射實(shí)驗(yàn)可以通過測(cè)量正負(fù)一級(jí)光譜的偏向角判斷平行光是否垂直入射光柵，進(jìn)而調(diào)節(jié)光柵位置以滿足垂直入射到要求．具體調(diào)節(jié)技巧得到了理論上的證明．另外，通過分析斜入射對(duì)光柵常數(shù)測(cè)量造成的誤差，發(fā)現(xiàn)部分實(shí)驗(yàn)教材中指出的調(diào)節(jié)光柵使正負(fù)一級(jí)光譜對(duì)應(yīng)的偏向角不超過2′即認(rèn)為達(dá)到垂直入射對(duì)精度的要求已經(jīng)非常高了[1,2]．一般精度要求不是很高的情況下，可以把偏向角之差的要求放寬到10′，這在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中既能讓學(xué)生掌握思想和方法，又能節(jié)省操作時(shí)間，提高實(shí)驗(yàn)效率．當(dāng)然，如果實(shí)驗(yàn)室光源的光波波長(zhǎng)較短的話，正負(fù)一級(jí)光譜對(duì)應(yīng)的偏向角之差還要要求更小一些．