張 聰

(中國航天科工集團(tuán)第四研究院指揮自動化技術(shù)研發(fā)與應(yīng)用中心，北京 100854)

0 引 言

隨著科技的發(fā)展，反導(dǎo)武器能力不斷得到提升。為了增強(qiáng)彈道導(dǎo)彈的突防能力和生存能力，多彈協(xié)同攻擊受到越來越多的關(guān)注。另外，彈間鏈技術(shù)進(jìn)一步發(fā)展成熟，使多彈協(xié)同攻擊成為可能。多彈協(xié)同可以通過彈間協(xié)同，將多枚導(dǎo)彈融合成一個信息共享、功能互補(bǔ)、戰(zhàn)術(shù)協(xié)同的作戰(zhàn)群體，利用群體優(yōu)勢對敵防御體系和目標(biāo)進(jìn)行多層次、全方位的打擊，實(shí)現(xiàn)突防能力和打擊能力的整體提升[1]。

對于協(xié)同問題，國內(nèi)外在無人機(jī)編隊(duì)協(xié)同制導(dǎo)與控制方面開展了大量理論和實(shí)物研究[2-4]。但因?yàn)閷?dǎo)彈具有其特殊性，無人機(jī)的相關(guān)研究成果并不能直接應(yīng)用于導(dǎo)彈的協(xié)同制導(dǎo)。本質(zhì)上，導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)是多智能體協(xié)同制導(dǎo)與控制的一個方向，但導(dǎo)彈的速度更快、難以實(shí)現(xiàn)盤旋、靜止等戰(zhàn)術(shù)動作，所以要求其彈道應(yīng)盡可能平直，這就對多導(dǎo)彈協(xié)同提出了更高的要求。

另外，與制導(dǎo)控制問題類似，現(xiàn)有協(xié)同制導(dǎo)研究中一般不考慮姿態(tài)控制環(huán)節(jié)或?qū)⒆藨B(tài)控制環(huán)節(jié)近似為一階系統(tǒng)。這沒有能充分考慮導(dǎo)彈機(jī)動性能的限制。鑒于此,本文在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上，針對多反艦彈道導(dǎo)彈的末制導(dǎo)段，在領(lǐng)彈與從彈通信之外，加入從彈之間的相互通信，對一體化位姿控制進(jìn)行拓展，提出一體化協(xié)同制導(dǎo)與控制的概念。以一致性理論為支撐，結(jié)合動態(tài)面控制和擴(kuò)張狀態(tài)觀測器理論，研究“領(lǐng)彈—從彈”構(gòu)型的多反艦彈道導(dǎo)彈的協(xié)同制導(dǎo)與控制問題。

定義1. 一體化協(xié)同制導(dǎo)與控制運(yùn)用一體化思想[6-7]對多導(dǎo)彈的協(xié)同、制導(dǎo)、控制問題進(jìn)行研究。

1 空間構(gòu)型及數(shù)學(xué)模型

1.1 空間構(gòu)型

本文研究主要針對多枚反艦彈道導(dǎo)彈齊射情景，進(jìn)入末制導(dǎo)階段后，各從彈以指定的空間位置跟隨領(lǐng)彈，使其與領(lǐng)彈保持一定空間構(gòu)型集中攻擊同一目標(biāo)。需要一枚有尋的制導(dǎo)能力的領(lǐng)彈對目標(biāo)進(jìn)行尋的攻擊；其余從彈只需要其具有與其指定相鄰從彈相互通信的能力，并要求至少有一枚從彈可以獲取領(lǐng)彈信息。

1.2 數(shù)學(xué)模型

建立導(dǎo)彈的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)模型、氣動力和氣動力矩模型、發(fā)動機(jī)模型。在氣動力和氣動力矩模型中加入擾動，模擬外界氣流對導(dǎo)彈性能的影響[8-9]。

2 一體化協(xié)同制導(dǎo)與控制律設(shè)計

2.1 滾轉(zhuǎn)通道獨(dú)立設(shè)計

本文考慮導(dǎo)彈為軸對稱氣動外形，要求通過控制δx使速度傾斜角保持為0。因此，可將滾轉(zhuǎn)通道獨(dú)立出來進(jìn)行控制算法設(shè)計。具體設(shè)計過程參見文獻(xiàn)[5]。

2.2 多智能體形式的模型

文獻(xiàn)[5]將力和力矩公式代入到運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)模型中，將滾轉(zhuǎn)通道以外的其余通道整合為一體化位姿控制的設(shè)計模型，如下所示：

(1)

式中：

各變量具體含義詳見文獻(xiàn)[5]。

設(shè)有n枚從彈，則第i枚從彈的一體化協(xié)同制導(dǎo)與控制的多智能體形式的模型，如式(2)所示。各變量具體含義同文獻(xiàn)[5]。

(2)

2.3 科學(xué)問題提煉

設(shè)計模型(2)的建立，將一體化協(xié)同制導(dǎo)與控制問題，提煉為針對如式(3)類型的高階非線性多智能體系統(tǒng)，設(shè)計協(xié)同一致性算法的科學(xué)問題。

設(shè)有n個節(jié)點(diǎn)n>2，則第i個節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)方程表達(dá)式如式(3)所示。

(3)

式中：xil∈R是節(jié)點(diǎn)i的第l階狀態(tài)；fil(xi1,…,xi1):RM→R在定義域內(nèi)Lipschitz連續(xù)，且fil(0,…,0)=0，是已知函數(shù)；ui∈R是控制輸入；gil是放大系數(shù)；dil(t)∈R指本文所述的“總擾動”，未知且有界。這里的“總擾動”包含各種各樣的擾動因素(如系統(tǒng)未建模部分、參數(shù)不確定性和外來干擾等)。

式(3)是串級系統(tǒng)，前k階是積分型系統(tǒng)，后m-k階中各階都包含擾動項(xiàng)(非匹配擾動)。因此，針對第i個節(jié)點(diǎn)前k階，基于一致性理論設(shè)計一致性算法，得到虛擬控制量xi(k+1)c；針對系統(tǒng)后m-k階，需要在動態(tài)面控制的思想框架下，設(shè)計控制律使?fàn)顟B(tài)變量xi(k+1)迅速趨近虛擬控制量xi(k+1)c。

假設(shè)1. (a)對于前k階，只有最外層狀態(tài)xi1可以通過節(jié)點(diǎn)自身的傳感器直接測量獲取，其他狀態(tài)需通過ESO進(jìn)行估計；(b)后m-k階中，各個狀態(tài)量可通過節(jié)點(diǎn)自身傳感器直接測量獲得。

2.4 設(shè)計模型

本文中的領(lǐng)彈，可視為是多智能體系統(tǒng)中的主節(jié)點(diǎn)0，其時變動態(tài)可以描述為

(4)

式中：x0h∈R表示主節(jié)點(diǎn)的第h階狀態(tài)，h=1,…,k;x0:=x0,1,…,x0,k,f0(t,x0)：[0,∞)×RM→R是分段局部Lipschitz連續(xù)的，f0(t,0,…,0)=0，且對于任意從節(jié)點(diǎn)是未知的。對于任意初始狀態(tài)，t≥0時，系統(tǒng)(4)的解存在。主節(jié)點(diǎn)的動態(tài)(4)可以視為軌跡生成器。

定義節(jié)點(diǎn)i的第h階跟蹤誤差為δih=xih-x0h,定義δh=[δ1h,…,δnh]T，則

δh=xh-x0,h

式中:x0,h=x0,h1,1=[1,…,1]T∈Rn,h=1,…,k。

本文目的是設(shè)計一體化協(xié)同制導(dǎo)與控制律，使跟蹤誤差δh(h=1,…,k)最終一致收斂到0的極小鄰域內(nèi)。以下定義具體描述了最終一致有界的概念。

定義2[10-11]. 協(xié)同最終一致有界：對于任意h(h=1,…,k)，如果存在緊集Ωm?RN滿足如下條件：

1){0}?Ωh

2)?δh(t0)∈Ωh

則說跟蹤誤差δh是協(xié)同一致最終有界的(Cooperatively uniformly ultimately bounded, CUUB)。對于節(jié)點(diǎn)i，在t≥t0+Tm時，如果跟蹤誤差δh是協(xié)同一致最終有界的，則狀態(tài)xih收斂到x0h的鄰域內(nèi)。

定義協(xié)同誤差為

(5)

式中：bi≥0表示主節(jié)點(diǎn)0到從節(jié)點(diǎn)i的通信權(quán)重，當(dāng)且僅當(dāng)從節(jié)點(diǎn)i可以從主節(jié)點(diǎn)獲取信息時bi>0。

定義eh=[e1h,…,enh]T,B=diag(b1,…,bn)∈Rn×n,f0=[f0(t,x0),…,f0(t,x0)]T∈Rn。由圖論知識可得L1=0，其中，0=[0,…,0]T∈Rn,1=[1,…,1]T∈Rn，可以得到誤差動態(tài)的向量形式，如下所示：

(6)

對式(6)求導(dǎo)可得協(xié)同誤差的狀態(tài)方程組形式

(7)

式中：fk=[f1k(xi),…,fnk(xi)]T,xk_=[x1k_,…,xnk_]T,Gk=diag(g1k,…,gnk)。

進(jìn)一步，根據(jù)假設(shè)1(a)，針對系統(tǒng)前k階，只有最外層狀態(tài)xi1可以通過節(jié)點(diǎn)自身的傳感器直接測量獲取，其他狀態(tài)將通過ESO進(jìn)行估計。因此，得到協(xié)同誤差的估計量，如下

(8)

將式(8)整合成如下向量形式，

(9)

對式(8)求導(dǎo)可得估計協(xié)同誤差的狀態(tài)方程組形式

(10)

2.5 等效誤差

定義誤差si如下:

si=λ1ei1+…+λk-1ei(k-1)+eik

(11)

選取λ1,…,λk-1使多項(xiàng)式sk-1+λk-1sk-2+…+λ1是Hurwitz的。因此在誤差面上(si=0),eih指數(shù)收斂到0，h=1,…,k。因此，控制誤差si保持為0或在0附近，即可保證eih為0或是最終一致有界的。

誤差的向量形式為s=[s1,…,sn]T∈Rn，則

s=λ1e1+…+λk-1ek-1+ek

得到

(12)

由于λ1,…,λk-1使多項(xiàng)式sk-1+λk-1sk-2+…+λ1是Hurwitz的，所以Λ是Hurwitz的，對于給定的正數(shù)κ，存在整定矩陣PΛ，滿足

ΛTPΛ+PΛΛ=-κI

(13)

則向量形式估計滑模誤差的導(dǎo)數(shù)為

以下定理表明當(dāng)si有界時，即有ei有界。因此只需確保si有界即可。即稱si為ei的等效誤差。

引理1[11-12].對于任意節(jié)點(diǎn)i,i=1,…,n，設(shè)

對于任意邊界層ψi>0,ξi>0，任意時間Ti>t0存在邊界Ψi>0, Ξi>0和時間Δi>t0，使得

2.6 一體化協(xié)同制導(dǎo)與控制律設(shè)計及分析

由于假設(shè)1，本節(jié)先設(shè)計擴(kuò)張狀態(tài)觀測器，之后再設(shè)計一致性算法來解決系統(tǒng)的協(xié)同跟蹤問題。

2.6.1擴(kuò)張狀態(tài)觀測器設(shè)計

需要進(jìn)行擴(kuò)張狀態(tài)觀測器設(shè)計的原因有2個：1)在制導(dǎo)過程視線角速度信息較難獲取，或需增加設(shè)計成本，通過觀測手段可以低成本的獲取視線角速度信息；2)模型中包含各種不同來源的干擾，需要通過觀測手段對其進(jìn)行估計，并在一體化制導(dǎo)控制回路中對其進(jìn)行補(bǔ)償以減少系統(tǒng)中的干擾，這有利于制導(dǎo)控制一體化回路的設(shè)計和整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。擴(kuò)張狀態(tài)觀測器無需區(qū)分誤差類型和來源，可以對系統(tǒng)中的總體擾動進(jìn)行實(shí)時估計，正好能滿足以上2個需求。

式(3)相當(dāng)于包含一個k階積分型系統(tǒng)和m-k個一階系統(tǒng)。所以，只需針對前k階積分型系統(tǒng)進(jìn)行擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的設(shè)計，也即包含了對后m-k的一階系統(tǒng)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器設(shè)計。

設(shè)k階積分型系統(tǒng)如下

(14)

用擴(kuò)張狀態(tài)xk+1代替總擾動d(t)，將式(14)擴(kuò)張為k+1階增廣系統(tǒng)，如下所示：

(15)

針對式(15)，設(shè)計ESO如下

(16)

寫成狀態(tài)方程組形式，如下所示：

(17)

選取ηh使得多項(xiàng)式sk+1+μ1sk+…+μks+μk+1是Hurwitz的，就有如下等式成立

(18)

式中：P，Q為正定矩陣。

對擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的穩(wěn)定性和收斂性進(jìn)行證明分析。設(shè)待選函數(shù)為

(19)

結(jié)合式(17)和式(18)，求式(19)對時間的導(dǎo)數(shù)，有

(20)

結(jié)合P>0，從式(19)中可直接得出

整理得到

(21)

將式(21)代入式(20)，得到

(22)

式(22)的解為

(23)

將式(23)代入式(21)，得到

(24)

2.6.2前k階算法設(shè)計

對從節(jié)點(diǎn)i設(shè)計分布式控制算法如下

(25)

寫成向量形式為

(26)

適當(dāng)?shù)卣{(diào)整參數(shù)λ1,…,λk-1和c，分布式控制律(25)可以保證協(xié)同跟蹤誤差δh的最終一致有界。

下面將進(jìn)行證明和分析。

在證明之前先引入如下引理和定理：

引理2[11-12].定義q=[q1,…,qN]T=(L+B)-11,P=diag{pi}=diag{1/qi}，則矩陣P正定且存在正定矩陣Q使得

Q=P(L+B)+(L+B)TP

(27)

式中：1=[1,…,1]T。

定理1. 對于由從節(jié)點(diǎn)(3)和主節(jié)點(diǎn)(4)構(gòu)成的多智能體系統(tǒng)。如果假設(shè)2成立，通過結(jié)合擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的分布式控制律(25)的控制，跟蹤誤差δ1,…,δM將協(xié)同一致最終有界。這意味著，圖G中所有從節(jié)點(diǎn)的前k階狀態(tài)將在有界殘差內(nèi)同步趨近于主節(jié)點(diǎn)對應(yīng)階狀態(tài)。

證. 取待選Lyapunov函數(shù)為

(28)

(29)

然后，結(jié)合式(12)和式(13)，計算VE對時間的導(dǎo)數(shù)，可得

(30)

聯(lián)合式(29)和式(30)，整理得到

(31)

式中：

(32)

(33)

(34)

將式(32)代入式(28)，得到

式中：Γ=diag(σmin(PΛ)/2,σmin(P)/2)

Τ=diag(σmax(PΛ)/2,σmax(P)/2)

通過文獻(xiàn)[13]中的定理4.18得出結(jié)論：對于任意初始條件v(t0)存在時間T0，使得

(35)

結(jié)論1. 根據(jù)w的定義，式(35)即說明s是有限時間一致有界的，進(jìn)而si是有限時間一致有界的。再根據(jù)引理1可知ei是有限時間一致有界的，進(jìn)而eih是有限時間一致有界的。再根據(jù)定理 1得到δ1,…,δk是有限時間協(xié)同一致有界的，有向圖G中的所有從節(jié)點(diǎn)的前k階狀態(tài)同步趨于主節(jié)點(diǎn)的對應(yīng)階狀態(tài)。

2.6.3后m-k階算法設(shè)計

由于系統(tǒng)后m-k階相當(dāng)于帶有非匹配擾動的串級系統(tǒng)，所以考慮使用動態(tài)面控制的方法進(jìn)行控制律的設(shè)計。下面對系統(tǒng)的后m-k階進(jìn)行算法設(shè)計和證明分析，這過程中將對假設(shè)sk+1和zk+1有界成立進(jìn)行說明。

在系統(tǒng)的后m-k階中，假設(shè)所有的狀態(tài)變量可通過直接測量獲得。擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的設(shè)計目的只是為了估計各階總擾動。因此，設(shè)滑模面為

sil=xil-xild

(36)

結(jié)合式(3)，求(36)對時間的導(dǎo)數(shù)如下

(37)

式中:zil=xild-xilc,l=k+1,…,m。

動態(tài)面控制律設(shè)計如下：

(38)

對系統(tǒng)后m-k階的穩(wěn)定性進(jìn)行證明分析。設(shè)待選Lyapunov函數(shù)如下

(39)

結(jié)合式(37)和式(38)，求取式(39)對時間的導(dǎo)數(shù)，得

0.5n(m-k)

(40)

式中：Δsil≥|gil||zi(l+1)|+|Δdil|∈R+,gim=0。

-2ζs(m-k)Vs(m-k)+0.5n(m-k)

(41)

再次，針對低通濾波部分進(jìn)行穩(wěn)定性證明。結(jié)合式(38)求zil對時間的導(dǎo)數(shù)如式(42)所示

(42)

設(shè)待選Lyapunov函數(shù)為

(43)

結(jié)合式(42)，求取式(43)對時間的導(dǎo)數(shù)，得

0.5n(m-k)

(44)

(45)

然后，將Vs和Vz(m-k)部分進(jìn)行整合。設(shè)待選Lyapunov函數(shù)為

Vsz=Vs+Vz(m-k)

(46)

整合式(41)和式(44)，得到式(46)的導(dǎo)數(shù)為

Vz(m-k)+n(m-k)

(47)

設(shè)計ζz(m-k)

(48)

式(48)的解為：

由結(jié)論1和結(jié)論2得出結(jié)論3。

結(jié)論3. 由控制律(25)和(38)構(gòu)成的整體控制律，保證了由式(3)和式(4)構(gòu)成的多智能體系統(tǒng)的有限時間協(xié)同一致有界。

2.7 一體化協(xié)同制導(dǎo)與控制具體算法

針對本文“領(lǐng)彈—從彈”構(gòu)型的多反艦彈道導(dǎo)彈系統(tǒng)給出具體的ICGC算法，如下

1)ESO

對于系統(tǒng)(2)，需要一個3階ESO和兩個2階ESO，如下

一個3階ESO：

(49)

兩個2階ESO分別為：

(50)

(51)

2)ICGC算法

ICGC算法如下所示

(52)

式中：ei1=xi1-xi1c,ei2=xi2-xi2c,i=1,2,3。

3 仿真校驗(yàn)

本節(jié)對一體化協(xié)同制導(dǎo)與控制算法進(jìn)行仿真校驗(yàn)。即是對式(2)、(49)、(50)、(51)、(52)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行仿真校驗(yàn)。采用“領(lǐng)彈—從彈”的協(xié)同構(gòu)型(其中包含1枚領(lǐng)彈和3枚從彈)，各個從彈分別獲取領(lǐng)彈位置速度信息，從彈之間相互通信，可獲取其他從彈的位置速度信息。

為了突出本文算法的一致性特征，與文獻(xiàn)[5]中的一體化位姿控制(Integrated control of position and attitude，ICPA)算法(53)進(jìn)行對比。

(53)

關(guān)于“領(lǐng)彈—從彈”的協(xié)同構(gòu)型采用圖論拓?fù)涞男问竭M(jìn)行描述。具體針對以下兩種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真。其中，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)1，各個從彈分別獲取領(lǐng)彈位置速度信息，從彈之間無通信；拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)2，各個從彈分別獲取領(lǐng)彈位置速度信息，從彈之間相互通信，可獲取鄰居從彈的位置速度信息。對應(yīng)鄰接矩陣A和主從矩陣B如表1所示。

表1 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Table 1 Topological structure

當(dāng)從彈間沒有通信，且每個從彈都能從領(lǐng)彈獲取信息時，有bi=1，di=0；令λ1=c1，λ2=1，K=c且式(53)中η=0。則式(52)與式(53)完全相同。即此時一體化協(xié)同制導(dǎo)與控制退化為一體化位姿控制。

期望空間構(gòu)型如表2所示，領(lǐng)彈和各枚從彈的狀態(tài)初始值如表3所示,算法參數(shù)設(shè)定如表4所示。本節(jié)的多彈協(xié)同攻擊仿真中，領(lǐng)彈的一體化制導(dǎo)控制算法采用NTSMC_DSC方法[14]。

表2 期望空間構(gòu)型Table 2 Desired special structure

表3 領(lǐng)彈和各枚從彈的狀態(tài)初始值Table 3 Initial-states of the lead and the follow

仿真結(jié)果如圖1～圖4所示。對比圖1和圖2發(fā)現(xiàn)，使用ICGC算法時3枚從彈位置曲線走勢更具有一致性。對比圖3和圖4發(fā)現(xiàn)，使用ICGC算法時3枚從彈位置關(guān)系曲線走勢更具有一致性。一體化協(xié)同制導(dǎo)與控制通過增強(qiáng)從彈間的一致性，進(jìn)一步提高了多導(dǎo)彈末制導(dǎo)段的協(xié)同攻擊的能力。

表4 算法參數(shù)設(shè)定Table 4 Parameters of ICGC

為了更具一般地對本文提出的算法進(jìn)行校驗(yàn)，進(jìn)行蒙特卡洛仿真試驗(yàn)對脫靶量進(jìn)行統(tǒng)計。改變目標(biāo)初始位置、拉偏氣動數(shù)據(jù)，進(jìn)行200次的蒙特卡洛仿真試驗(yàn)，統(tǒng)計結(jié)果如表5所示。統(tǒng)計脫靶量的期望(μ)和均方差(σ)。發(fā)現(xiàn)在當(dāng)前仿真場景中，領(lǐng)彈和從彈的脫靶量都很小。

表5 Monte Carlo仿真試驗(yàn)統(tǒng)計分析結(jié)果Table 5 Results and analysis of Monte-Carlo simulations

4 結(jié) 論

本文將一體化思想延伸到一體化協(xié)同制導(dǎo)與控制問題中。首先，將一體化協(xié)同制導(dǎo)與控制問題，提煉為針對一類型的高階非線性多智能體系統(tǒng)，并設(shè)計協(xié)同一致性算法的科學(xué)問題。其次，設(shè)計了分布式一致性控制算法，對其穩(wěn)定性和收斂特性進(jìn)行了證明與分析，并取得了收斂條件。最后，通過ICGC和ICPA的仿真對比，突出了ICGC方法的一致性特性。另外，對于大機(jī)動性彈道，由于導(dǎo)彈自身結(jié)構(gòu)和穩(wěn)定性等需求對氣動角進(jìn)行了限制，仿真過程中系統(tǒng)出現(xiàn)了不同程度的飽和。這是期望攻擊角度和氣動角度限制之間的矛盾，如何解決這個矛盾可作為以后的研究方向。