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      時、頻效應(yīng)實驗及數(shù)學(xué)關(guān)系式的驗證

      2018-11-08 10:22:26梁世鐸
      關(guān)鍵詞:測速儀測者波源

      梁世鐸

      (溫州市航海學(xué)會,浙江 溫州325000)

      0 引 言

      根據(jù)多普勒效應(yīng)[1],觀測者與波源之間存在相對運(yùn)動時,測者測得波源頻率不等于波源發(fā)射頻率;相互靠近運(yùn)動時,測者測得頻率高于波源發(fā)射頻率;相互背離運(yùn)動時,測得頻率低于波源發(fā)射頻率。該實驗筆者在1988年就做過聲波實驗了。

      測者A用兩只電子秒表,分辯率為0.01s,一只由B拿著坐在出租車上(在溫州牛山北路測速段),A站在路旁,小車以90km/h(25m/s)速度向著A方向行駛,B每隔2s說一聲“按”,司機(jī)就按響喇叭,A聽到喇叭聲①,立即按下秒表,再一次聽到喇叭聲②,就按停秒表。A測下喇叭聲①與喇叭聲②的時間間隔。①聲號與②聲號不是在同一地點發(fā)射的,兩者相差50m(25m/s×2s),這50m,聲波需走0.14s(50m/340m/s)。小車背離A行駛與向著A行駛,測得的時間間隔t=2±0.14s(見圖1)。

      圖1 聲源移動與聲波傳播圖

      A在坐標(biāo)S系原點O處,波源在X軸X1處,聲信號①由X1傳送到O點,傳送距離為C0t1。在發(fā)射信號①的瞬間,向測者(或背離測者)以U0的速度運(yùn)動了t時間間隔,運(yùn)動了U0t的距離,至X′(X″)處的瞬間,發(fā)射了信號②,信號②由X′(X″)處傳送了C0t′(C0t″)距離到達(dá)O點,由此建立式(1):

      C0t′-C0t1=U0t

      (t′-t1)C0=U0t

      ∵t′

      ∴-△tC0=U0t得

      -△t=tU0/C0

      (1)

      式(1)為波源向著測者運(yùn)動的關(guān)系式。

      同理:波源背離測者運(yùn)動的關(guān)系式:C0t″-C0t1=U0t整理,得式(2):

      △t=tU0/C0

      (2)

      可知,小車背離測者運(yùn)動了50m(或向著測者)的間隔發(fā)射了兩個聲號,50m聲波需走0.14s,故測得結(jié)果為2s± 0.14s。

      該實驗是用聲波聲速(340m/s)做實驗,如果用光波光速(299792458m/s)做實驗,精度要求太高,50m光波只需1.6×10-7s,該精度一般儀器達(dá)不到要求。

      2013年筆者得到歐倫福平板PSD-3型、K波(2.413209697×1010Hz)雷達(dá)測速儀,在觀測中,PSD-3型與平板電腦連接,在平板電腦上有數(shù)據(jù)“雷達(dá)速度與多普勒頻率輸出”,有效距離100m。

      1 頻率效應(yīng)式[2]

      f=f0(1+cosβ0u0/C0)/(1-cosα0u0/C0)

      (3)

      式(3)中:f為觀測頻率;f0為發(fā)射頻率;β0為測者接收運(yùn)動視分量角;α0為發(fā)射源運(yùn)動視分量角。雷達(dá)波往返是瞬間完成的,故接收視分量角β0與發(fā)射視分量角α0相等,即β0=α0=α,式中運(yùn)動速度也相等,即u0=U0,C0為光速。

      將式(3)整理得式(4):

      f/f0=(1+cosαU0/C0)(1+cosαU0/C0)(1-cosαU0/C0)(1+cosαU0/C0)

      1+Δf/f0=1+2cosαU0/C0

      得Δf=2f0cosαU0/C0

      (4)

      因PSD-3雷達(dá)測速儀的有效觀測距離為100m,車速不可過快,以36km/h(10m/s)較為理想,這樣往返100m可以測得20多個數(shù)據(jù)。

      PSD-3雷達(dá)測速儀[3]觀測中,小車向著測者以36km/h勻速行駛時,由式(4)可知:

      當(dāng)α′=0時,Δf=f02U0/C0,U0=ΔfC0/2f0

      (5)

      將f=2.413209697×1010Hz

      U0=10m/s

      C0=299792458m/s

      代入式(4)

      得:Δf=1609.92Hz

      小車一路駛來,車速保持36km/h勻速,而雷達(dá)測速儀所測數(shù)據(jù)是變化的,如圖2所示。

      圖2 雷達(dá)測速視分量角變化圖

      當(dāng):α1=30°.558,U1=31km/h,Δf1=1386.32Hz;

      α2=60°,U2=18km/h,Δf2=804.86Hz;

      α3=90°,U3=0,Δf3=0;

      α4=120°,U4=-18km/h,Δf4=-804.96Hz;

      α5=149.442°,U5=-31km/h,Δf5=-1386.32Hz;

      α″=π,U″=-36km/h,Δf=-1609.92Hz。

      由圖2可見,隨著小車(勻速直行)相對測者的運(yùn)動視分量角是變化的,由式(4)知,雷達(dá)測速儀所測出的數(shù)據(jù)也不同,多普勒頻率Δf是接收頻率f與發(fā)射頻率f0之差(Δf=f-f)。一般的雷達(dá)測速儀將接收返射雷達(dá)波f與雷達(dá)本振雷達(dá)波f0混頻,將多普勒頻率Δf再由式(5)計算而得小車行駛視速率U,而PSD-3雷達(dá)測速儀將多普勒頻率Δf數(shù)據(jù)也顯示出來,見圖3。

      圖3 PSD-3雷達(dá)測速儀在平板電腦上所得數(shù)據(jù)

      由于路上車輛多,很難得到理想的數(shù)據(jù)。圖3中的數(shù)據(jù)是在溫州市甌江七都島嶼北面沿江邊道上而測,該道路平直,沒有來往車輛,小車保持時速36km,按圖2的示樣,往返200m行駛,測得多組數(shù)據(jù),圖3為其中一組,較為理想,“+”為向著測者行駛,“-”為背離測者行駛。

      在此,首先對圖3數(shù)據(jù)組進(jìn)行驗證,見表1。

      表1 對雷達(dá)測速儀數(shù)據(jù)驗證

      由以上系列計算的數(shù)字與圖3中數(shù)據(jù)的驗證;式(3)、(4)可行,經(jīng)得起實驗的驗證。得出以下結(jié)論:

      (1)P0為藍(lán)移(靠近測者)和紅移(背離測者)的臨界點,藍(lán)移過程,視速率在漸漸變慢,至臨界點時,視速率為零(與車輛真速度快慢無關(guān)),過臨界點后,紅移視速率漸漸變快。

      (2)觀測過程,視分量角都在漸漸變大(0→π)。

      (3)觀測頻率在漸漸變低(觀測周期在漸漸變慢,作者的8位數(shù)微波觀測儀有效距離能達(dá)100m,就可直觀周期在觀測中,只會在漸漸變慢),與頻率源向著測者或背離測者無關(guān)。

      (4)勻速直線運(yùn)動的發(fā)射源,在藍(lán)移區(qū)與紅移區(qū)以臨界點為基點,視分量角和視速率兩邊對稱。

      2 巴納德星[4]

      1916年由美國天文學(xué)家巴納德(Edward Emerson Barnard,1875-1923)發(fā)現(xiàn),自行為每年10.3角秒,所有恒星中年自行值最大的飛行之星“巴納德星”。

      筆者現(xiàn)知兩個數(shù)據(jù);SIMBAD是106.8km/s與ARIONS是110.8km/s,而且觀測視速率向太陽系靠近,年自行值為10.31角秒,知道巴納德星在藍(lán)移區(qū),向臨界點P0靠近,而自行值在變大(對于同等的矢量,離臨界點越近,其張角越大)。

      設(shè):1916年,巴納德星視速率U1為110.8km/s,年自行值Δθ′為10.3角秒,視分量角為α1, 2017年視速率U2為106.8km/s,年自行值Δθ″為10.31角秒,視分量角為α2。由1916年至2017年總計101年自行總量為θ=(0°0′10.3″+0°0′10.31″)101/2=0°17′20.81″。

      圖4 藍(lán)移區(qū)示意圖

      設(shè)巴納德星真速率為U0,U0=U1/cosα1,U0=U2/cosα2=U2/cos(α1+θ)

      得U1/cosα1=U2/cosα1cosθ-sinα1sinθ

      整理:U2/U1=(cosα1cosθ-sinα1sinθ)/cosα1

      U2/U1=cosθ-tgα1sinθ

      得tgα1=(cosθ-U2/U1)/sinθ

      (6)

      將:U1=110.8,U2=106.8,θ=0°17′20.81″代入式(6),

      得tgα1=7.15191873,α1=82°2′25.29″

      巴納德星真速率:

      U0=U1/cosα1=800.1413348km/s,α2=α1+θ=82°19′46.1″

      巴納德星真速率:

      U0=U2/cosα2=800.1413372km/s

      在圖4中的X軸P1點上,有兩艘飛船①、②,同一瞬間從P1出發(fā)。①飛船向P點以光速飛行,經(jīng)過t1時間間隔到達(dá)P點,在P點等候,②飛船先沿X軸向P2點以U0速率飛行,經(jīng)過t0時間間隔到達(dá)P2點,即刻轉(zhuǎn)向P點,以光速飛行,經(jīng)過t2時間間隔到達(dá)P點,此瞬間而①飛船在P點已等侯了t時間間隔。

      ①飛船用時t1+t,②飛船用時t0+t2,①飛船與②飛船在同一瞬間從P1點出發(fā),又到達(dá)同一點P,只是①飛船早到了t時刻,兩飛船用時相等,得t1+t=t0+t2

      (7)

      C0t1=L1

      C0t2=L2

      從圖4中知:

      ∵L1≠L2

      ∴t1≠t2t≠t0,將地球時轉(zhuǎn)換成巴納德星時。將式(3)變換為:

      t=t0(1-cosαU0/C0)(1+cosβU0/C0)

      (8)

      因地球天文臺觀測所有星空天體的自行與視速率,都是以太陽系為參照,故(8)式中U0=0,(8)式成為:

      t0=t/(1-cosα0U/C)

      (9)

      巴納德星現(xiàn)年自行值Δθ″=10.31″,將α3=α2+Δθ″=82°19′56.41″、U0、C0、Δt代入式(9),得:t0″=1.000356241年。

      取t0′、t0″平均值Δt0=1.000356307年,地球1年時,巴納德星而為1.000356307年時。

      將圖4中Δ1計算出距離,Δ1=Δt0×U0/C0=2.669934978×10-3光年。

      在△PP2P3中:Δ1/sinΔθ″=L3/sinα2=L2/sin(180-α3)

      L3=Δ1·sinα2/sinΔθ″=52.93751987光年,t3=52.93751987年。

      L2=Δ1·sinα3/sinΔθ″=52.93787618光年,t2=52.93787618年。

      由式(7)同理知,

      t2+Δt=Δt0+t3

      t2+Δt=53.93787618年

      Δt0+t3=53.93787618年

      由以上數(shù)據(jù)得知式(7)正確。

      在△PP1P2中:L1/sin(1800-α2)=L2/sinα1,

      L1=L2·sinα2/sinα1=52.97471293光年,t1=52.97471293年。

      將t1=52.9747293年,t=101年,t2=52.93787618年代入式(7),得:

      t0=t1+t-t2=101.0368368年,由地球時101年求知巴納德星101.0368368年。

      式(6)不但滿足藍(lán)移區(qū),也能滿足紅移區(qū),過藍(lán)紅移臨界點后進(jìn)入紅移區(qū),視速率漸漸變大。仍以巴納德星為例,將:U1=106.8km/s,U2=110.8km/s,θ=0°17′20.81″,代入式(6),得:

      tgα1=-7.424921349,α1=-82°19′46.1″=180-82°19′46.1″=97°40′13.9″,真速率U0=U1/cosα1=-800.1413372km/s

      α2=α1+θ=-82°2′25.29″=180-82°2′25.29″=97°57′34.71″ ,真速率U0=U2/cosα2=-800.1413348km/s。

      式(6)能滿足視速率為藍(lán)移的天體,也滿足視速率為紅移的天體。可以先對太陽系臨近的而視速率存在變化的天體進(jìn)行測算,求知真速率、真距離。隨著時間的推移,漸測求知遠(yuǎn)離太陽系的天體,將對宇宙有一新認(rèn)識。

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