3UPS-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)分析

馮志友，倪迎真，贠今天

（天津工業(yè)大學(xué)天津市現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300387）

3UPS-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)中3條UPS支鏈為無(wú)約束支鏈，RPR支鏈自由度與該機(jī)構(gòu)的自由度相同，為恰約束支鏈，且RPR支鏈為擺動(dòng)支鏈，有廣闊的工作空間.由于約束的存在限制了機(jī)構(gòu)部分自由度，少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究更為繁瑣.該種機(jī)構(gòu)自由度的確定[1]、奇異性分析[2-4]、運(yùn)動(dòng)學(xué)性能評(píng)價(jià)[5]均需要建立完整的雅可比矩陣.完整雅可比矩陣作為連接輸入與輸出的橋梁，以完整雅可比矩陣為基礎(chǔ)構(gòu)造出的性能指標(biāo)反映了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)或力傳遞的靈敏度.在對(duì)機(jī)構(gòu)靜力學(xué)性能的分析中，基于完整雅可比矩陣構(gòu)造出來(lái)的力傳遞性能指標(biāo)也是衡量并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作性能優(yōu)劣的重要指標(biāo)[6].曲海波等[7]通過(guò)求解出各個(gè)分支的力反螺旋對(duì)4RRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜力學(xué)進(jìn)行研究；路光達(dá)等[8]運(yùn)用支鏈方向向量法建立靜力學(xué)模型，對(duì)3RSS-S并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)探究；王中林等[9]在靜力平衡方程的基礎(chǔ)上運(yùn)用小變量協(xié)調(diào)方程求解出力之間的映射關(guān)系；Huber等[10]將靜力學(xué)研究引入到了機(jī)構(gòu)的奇異性問(wèn)題；艾青林等[11]從不同類型機(jī)構(gòu)包括桿支撐、繩牽引和鋼帶傳動(dòng)形式等方面概括了國(guó)內(nèi)外并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜力學(xué)分析的進(jìn)展程度；鄧昱等[12]針對(duì)少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了靜力學(xué)分析；Ninomiya等[13]對(duì)并聯(lián)諧振轉(zhuǎn)換器進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)和靜力學(xué)特性分析.由于3UPS-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)中間是一條RPR擺動(dòng)支鏈，工作空間/機(jī)構(gòu)體積參數(shù)大，應(yīng)用在并聯(lián)機(jī)床領(lǐng)域可以大大縮小機(jī)床體積.本文在完整雅可比矩陣的基礎(chǔ)上，借助功能原理，構(gòu)造了靜力學(xué)力傳遞性能指標(biāo)，分析了部分結(jié)構(gòu)參數(shù)及末端位姿變化對(duì)傳力性能的影響規(guī)律.

1 機(jī)構(gòu)描述

3UPS-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示.

圖1 3UPS-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Schematic diagram of 3UPS-RPR parallel mechanism

由圖1可見，3UPS-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)是由動(dòng)平臺(tái)（上）、靜平臺(tái)（下）、3條無(wú)約束驅(qū)動(dòng)支鏈（UPS）和1條恰約束從動(dòng)支鏈（RPR）構(gòu)成.其中，U、P、S分別表示虎克鉸、移動(dòng)副和球面副.該機(jī)構(gòu)中的3個(gè)移動(dòng)副（P）為該機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)副.UPS支鏈的一端通過(guò)虎克鉸與靜平臺(tái)連接，另一端則通過(guò)球面副與動(dòng)平臺(tái)相連；RPR支鏈的兩端分別通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副與靜、動(dòng)平臺(tái)連接，支鏈中間運(yùn)動(dòng)副為移動(dòng)副，移動(dòng)副前段定長(zhǎng)連桿為l，且兩轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線互相垂直，分別位于靜、動(dòng)平臺(tái)的中心.該機(jī)構(gòu)通過(guò)3個(gè)移動(dòng)副的輸入實(shí)現(xiàn)1平動(dòng)2轉(zhuǎn)動(dòng)（1T+2R）3個(gè)自由度.設(shè)定由點(diǎn)Ai構(gòu)成的靜平臺(tái)為等邊三角形，該三角形的中心為O，其外接圓半徑為a，同樣由點(diǎn)Bi構(gòu)成的動(dòng)平臺(tái)也為等邊三角形，該三角形的中心為P，其外接圓半徑為b.

1.1 建立坐標(biāo)系

初始位置時(shí)坐標(biāo)系建立如圖2所示.建立固定坐標(biāo)系O-xyz，其中x軸與y軸的建立如圖2（a）所示，z軸垂直于靜平臺(tái)；建立動(dòng)坐標(biāo)系P-uvw，其中v軸與RPR支鏈與動(dòng)平臺(tái)連接處轉(zhuǎn)動(dòng)軸線重合，u軸與邊B1B2平行，如圖2（b）所示，w軸符合右手定則.

動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于定坐標(biāo)系的姿態(tài)可通過(guò)先繞x軸旋轉(zhuǎn)α角，再繞旋轉(zhuǎn)后的v軸旋轉(zhuǎn)β角實(shí)現(xiàn).則旋轉(zhuǎn)矩陣可表示為：

圖2 靜、動(dòng)平臺(tái)在各自坐標(biāo)系中的位置關(guān)系Fig.2 Position relationship of static and dynamic platform in their coordinate system

旋轉(zhuǎn)矩陣中各列向量分別為動(dòng)系各坐標(biāo)軸矢量.

1.2 位置逆解模型

假設(shè)已知?jiǎng)悠脚_(tái)末端位姿參數(shù)α、β、q4后，即可求得對(duì)應(yīng)的各個(gè)輸入?yún)?shù)q1、q2、q3的具體數(shù)值.

動(dòng)平臺(tái)上P點(diǎn)位置矢量r=（xpypzp）T，有

在定坐標(biāo)系O-xyz下根據(jù)閉環(huán)矢量[14-15]可以建立如下約束方程

式中：s4為向量r的單位矢量；qi、si分別為第i條UPS支鏈的長(zhǎng)度和AiBi方向的單位矢量；ai、bi分別為矢量OAi、PBi在定坐標(biāo)系O-xyz中的表示.其中

式中：bPi為PBi在動(dòng)坐標(biāo)系P-uvw下的矢量.

已知：

式（6）中：γi=（4i-9）π/6，i=1，2，3

聯(lián)立式（1）、（3）、（4）、（5），可求得機(jī)構(gòu)的輸入：

1.3 機(jī)構(gòu)逆位置仿真計(jì)算

由于上述結(jié)果為后續(xù)研究的基礎(chǔ)，必須確保其正確性，對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)研究結(jié)果進(jìn)行仿真驗(yàn)證.設(shè)定3UPS-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)如下：a=1 m，b=0.6 m，l=0.25 m.給定機(jī)構(gòu)末端的運(yùn)動(dòng)參數(shù)為

運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)定RPR支鏈運(yùn)動(dòng)時(shí)的變化規(guī)律為

已知機(jī)構(gòu)位置逆解模型，把機(jī)構(gòu)末端輸出規(guī)律代入到3UPS-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置逆解模型中，就能得到各個(gè)UPS驅(qū)動(dòng)支鏈總長(zhǎng)qi（i=1，2，3）變化規(guī)律即輸入變化規(guī)律，如圖3所示.

圖3 UPS支鏈總長(zhǎng)qi曲線Fig.3 Graph of UPS branch length qi

在給定機(jī)構(gòu)末端位姿的情況下，得出各個(gè)UPS驅(qū)動(dòng)支鏈總長(zhǎng)qi（i=1，2，3）在一個(gè)周期內(nèi)的變化規(guī)律，驗(yàn)證了求解結(jié)果的正確性.

2 完整雅可比矩陣

動(dòng)平臺(tái)的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)螺旋可以表示為

式中：Sji為支鏈i中第j個(gè)單自由度副的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)螺旋；ρji為支鏈i中第j個(gè)單自由度副的速率；ρm4為支鏈RPR中第m個(gè)單自由度副的速率；Sm4為支鏈RPR中第m個(gè)單自由度副的運(yùn)動(dòng)螺旋.

2.1 約束子雅可比矩陣

僅對(duì)恰約束支鏈進(jìn)行研究，建立支鏈RPR運(yùn)動(dòng)螺旋

根據(jù)反螺旋方法，可得式（10）一個(gè)反螺旋

根據(jù)互易積[16]，得

將式（11）整理成矩陣形式，有

由于 e1、r、v向量?jī)蓛纱怪保矣衑1=x，則

式中：Jc為3UPS-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的約束子雅可比矩陣.

2.2 驅(qū)動(dòng)子雅可比矩陣

該機(jī)構(gòu)中支鏈UPS是無(wú)約束驅(qū)動(dòng)支鏈，支鏈中P為驅(qū)動(dòng)副，則運(yùn)動(dòng)螺旋表示如下

鎖定UPS支鏈的主動(dòng)關(guān)節(jié)，即移動(dòng)關(guān)節(jié).每個(gè)UPS支鏈將會(huì)變?yōu)閁S支鏈，其瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)螺旋為

由于被動(dòng)關(guān)節(jié)從物理層面講瞬時(shí)功率為零，驅(qū)動(dòng)力（偶）表示為與所有被動(dòng)關(guān)節(jié)的互易積都為零的反螺旋，為

式（8）與式（16）做互易積，可得：

可知：

則有

式（19）中Ja為驅(qū)動(dòng)子雅可比矩陣.

聯(lián)立式（13）和式（18）可得

3 靜力學(xué)分析

由虛功原理得：

即驅(qū)動(dòng)力所作虛功與機(jī)構(gòu)末端廣義力所作虛功相等.

將式（22）整理成矩陣形式

式（23）可以分解成如下形式的2個(gè)子式，如式（24）、（25）所示：

類比于輸入與輸出速度之間映射關(guān)系，兩邊對(duì)速度積分，可得如下形式方程式

將式（26）、（27）分別代入式（25）、（24），整理可以得到

根據(jù)式（28），設(shè)定kJa、kJc為驅(qū)動(dòng)矩陣條件數(shù)、約束矩陣條件數(shù)

選取 kJa、kJc的全域平均值 ζkJa、ζkJс作為評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)力傳遞性能的指標(biāo)

因?yàn)?ζkJa、ζkJс大于1，越接近于 1 機(jī)構(gòu)的力傳遞越靈敏.

給定機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)，a=1 m，b=0.6 m，l=0.25 m，由式（30）計(jì)算kJa、kJc的全域性能指標(biāo)，可以分析3UPS-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的力傳遞性能與機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)（靜動(dòng)平臺(tái)半徑比λ=a/b、定長(zhǎng)連桿l）間關(guān)系，如圖4—圖7所示.

圖4—圖5給出了機(jī)構(gòu)的力傳遞性能隨靜動(dòng)平臺(tái)半徑比的響應(yīng)曲線.由圖4可以看出，當(dāng)λ在0.3～0.9區(qū)間內(nèi)，機(jī)構(gòu)約束力傳遞性能評(píng)價(jià)指標(biāo)隨λ的增大而減小，λ大于0.9時(shí)，機(jī)構(gòu)的約束力傳遞性能趨于平穩(wěn).由圖5可以看出，當(dāng)λ大于3，機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力傳遞性能較好且穩(wěn)定.綜上所述，λ的參數(shù)設(shè)計(jì)范圍選擇在3～5之間.

圖4 機(jī)構(gòu)約束力傳遞性能與λ的關(guān)系Fig.4 Relationship between mechanism binding transfer performance and λ

圖5 機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力傳遞性能與λ的關(guān)系Fig.5 Relationship between mechanism driving transfer performance and λ

圖6 機(jī)構(gòu)約束力傳遞性能與l的關(guān)系Fig.6 Relationship between mechanism binding transfer performance and l

圖7 機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力傳遞性能與l的關(guān)系Fig.7 Relationship between mechanism driving transfer performance and l

圖6—圖7給出了機(jī)構(gòu)的力傳遞性能隨桿l長(zhǎng)度變化的規(guī)律.由圖6可以看出，當(dāng)l處于0～0.23范圍內(nèi)時(shí)，機(jī)構(gòu)的約束力性能評(píng)價(jià)指標(biāo)隨l的不斷增長(zhǎng)呈現(xiàn)出先減小后增大再減小的變化規(guī)律，當(dāng)l長(zhǎng)度大于0.18時(shí)，比較平穩(wěn)，機(jī)構(gòu)的約束力傳遞性能較好.由圖7可以看出，機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)力傳遞性能評(píng)價(jià)指標(biāo)在一定范圍內(nèi)隨l的增大先增大后減小的變化規(guī)律.綜上所述，l的參數(shù)設(shè)計(jì)范圍選擇在0.3～0.45之間.

圖8顯示了機(jī)構(gòu)的約束力傳遞性能與運(yùn)動(dòng)過(guò)程中恰約束支鏈所處位置之間的關(guān)系，當(dāng)RPR支鏈擺角處于相對(duì)較小范圍內(nèi)時(shí)約束力傳遞性能較好，隨著擺角增大，約束力傳遞性能降低.

圖8 機(jī)構(gòu)約束力傳遞性能與α的關(guān)系Fig.8 Relationship between mechanism binding transfer performance and α

4 結(jié)論

（1）利用空間閉環(huán)矢量法建立了3UPS-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的逆位置模型，得到逆位置解.在逆解基礎(chǔ)上借助螺旋理論，用反螺旋方法求得機(jī)構(gòu)的完整雅可比矩陣.

（2）借助虛功原理思想，基于6×6階完整雅可比矩陣分別求得驅(qū)動(dòng)力和約束力輸入與輸出間的力雅可比矩陣，建立了全域范圍內(nèi)的力傳遞性能指標(biāo).

（3）分析了機(jī)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型參數(shù)對(duì)力傳遞性能的影響，得到了機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)過(guò)程中并聯(lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)選的靜動(dòng)平臺(tái)半徑比λ在3～5之間，中間擺桿運(yùn)動(dòng)范圍為-0.5～0.5 rad.實(shí)際應(yīng)用中，在高性能結(jié)構(gòu)參數(shù)的基礎(chǔ)上可以通過(guò)調(diào)節(jié)末端位姿范圍來(lái)進(jìn)一步提高機(jī)構(gòu)的性能.