ARMA模型在股票中的應(yīng)用

林藍(lán)玉，陳秀芳，張德飛

（福州大學(xué) 紅河學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，福州 350108）

一、選題意義、背景及研究現(xiàn)狀

（一）選題意義及背景

隨著金融行業(yè)的深入發(fā)展，股市越來(lái)越受關(guān)注與青睞。雖然中國(guó)的股票市場(chǎng)起步晚一些，但是到了2000年后，股票的發(fā)展速度十分迅猛，股票市場(chǎng)變得尤其活躍，投資者因?yàn)樵趦r(jià)格變化莫測(cè)的股票市場(chǎng)中盲目買賣股票使自己的收益時(shí)盈時(shí)虧。2018年是我們國(guó)家股票改革的第14個(gè)年頭，當(dāng)前已經(jīng)有了與國(guó)家金融發(fā)展相適應(yīng)的道路，股票的投資也成了市民們主要的投資方式。但是大多數(shù)投資者并不清楚應(yīng)該分析哪些指標(biāo)，如何選擇恰當(dāng)?shù)墓善睂?shí)現(xiàn)最大的盈利。股票定價(jià)的不確定性，是其最主要的特點(diǎn)。股票的開盤價(jià)走勢(shì)因?yàn)闀r(shí)間的不同而不同，因此我們把股票定價(jià)的波動(dòng)情況看成是時(shí)間序列的問(wèn)題。生活中也有許多時(shí)間序列問(wèn)題的例子，如證券投資基金市場(chǎng)收益率的波動(dòng)、國(guó)際匯率的變動(dòng)等問(wèn)題。大多數(shù)的非平穩(wěn)時(shí)間序列在我們的生活中十分常見，尤其在金融、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域。

（二）當(dāng)前研究現(xiàn)狀

我們經(jīng)常使用的時(shí)間序列分析方法對(duì)股票的開盤價(jià)分析無(wú)法做到十分恰當(dāng)，再加上股票市場(chǎng)的開盤價(jià)具有很大的波動(dòng)性跟聚集性，一般的方法刻畫得不夠準(zhǔn)確。但是ARMA模型即自回歸移動(dòng)平均模型能夠較為集中的體現(xiàn)方差，對(duì)股票價(jià)格的短期預(yù)測(cè)效果顯著。為了從不平穩(wěn)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)中挖掘有用的信息，當(dāng)前也有許多學(xué)者進(jìn)行了研究。例如，孟坤、李麗（2016）以上證總格指數(shù)為例建立了股票價(jià)格的ARMA模型，為投資者提供可靠的投資信息[1]；劉湖、王瑩（2015）通過(guò)構(gòu)建ARMA-TGARCH-M模型，并利用上證總價(jià)格指數(shù)和深圳成分指數(shù)的低頻日收益率和5分鐘高頻收益率數(shù)據(jù)，對(duì)中國(guó)股市的波動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了實(shí)證研究[2]；潘麗群、何紅芳、喬麗娟（2017）對(duì)深圳股票市場(chǎng)春節(jié)效應(yīng)建立ARMA模型，進(jìn)行實(shí)證分析得到春節(jié)前后收益率異常的情形[3]。本文將非平穩(wěn)的時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)的時(shí)間序列，進(jìn)而使用ARMA模型擬合平穩(wěn)的時(shí)間序列問(wèn)題，具有較佳的擬合效果，能夠?yàn)楣擅裉峁┮欢ǖ慕ㄗh，在金融界也具有比較廣泛的運(yùn)用價(jià)值。

二、ARMA（p，q）模型

（一）ARMA（p，q）模型結(jié)構(gòu)

（二）ARMA（p，q）建模步驟

第一步，由時(shí)序圖或自相關(guān)圖與偏自相關(guān)圖判斷所收集的數(shù)據(jù)是否平穩(wěn)。

第二步，如果序列平穩(wěn)，不存在純隨機(jī)性，便可以建立ARMA（p，q）模型；若序列不平穩(wěn)，則需將其轉(zhuǎn)換成平穩(wěn)，其轉(zhuǎn)化的方法通常為差分處理。

第三步，依據(jù)平穩(wěn)序列所得到的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖識(shí)別模型。

第四步，估計(jì)參數(shù)并進(jìn)行檢驗(yàn)，選出最恰當(dāng)?shù)哪Ｐ汀?/p>

第五步，殘差序列的白噪聲檢驗(yàn)。

第六步，對(duì)序列進(jìn)行短期預(yù)測(cè)。

三、實(shí)證分析

（一）數(shù)據(jù)來(lái)源和預(yù)處理

我們將某一種證券在證券交易所每一個(gè)交易日里的最后一次買賣定義為股市的收盤價(jià)。本文在大智慧軟件中選取麗江旅游、云內(nèi)動(dòng)力、云鋁股份、錫業(yè)股份和南天信息五支股票在2008年1月2日至2017年12月29日之間每天的收盤價(jià)作為樣本數(shù)據(jù)，樣本個(gè)數(shù)n=2192。表1為部分樣本數(shù)據(jù)。

表1 部分樣本數(shù)據(jù)

在數(shù)據(jù)收集過(guò)程中，為了便于分析保持五支股票開盤價(jià)時(shí)間的統(tǒng)一性，以預(yù)先規(guī)定好的時(shí)間為基準(zhǔn)，對(duì)多出來(lái)的數(shù)據(jù)進(jìn)行刪減，對(duì)缺失的數(shù)據(jù)采用線性插值的方法進(jìn)行補(bǔ)充。

（二）ARMA（p，q）模型的實(shí)證研究

1.麗江旅游開盤價(jià)時(shí)間序列研究

截取麗江旅游這支股票從2008年1月2日至2017年12月29日2192個(gè)交易日的開盤價(jià)作為已知時(shí)間序列LJ，通過(guò)Eviews軟件對(duì)序列LJ進(jìn)行分析[4]，如圖1。

圖1 序列LJ時(shí)序圖

圖2 序列LJ自相關(guān)-偏自相關(guān)分析圖

由圖1、2可知該序列不平穩(wěn)，因此對(duì)序列進(jìn)行逐期差分。

一階差分后序列名記為DLJ，對(duì)新的序列DLJ進(jìn)行描述性分析，如圖3。

圖3 序列DLJ時(shí)序圖

圖4 序列DLJ自相關(guān)—偏自相關(guān)分析圖

由圖3、4可知，該序列圍繞著0這一常數(shù)上下波動(dòng)，且樣本自相關(guān)與偏自相關(guān)系數(shù)很快落入隨機(jī)區(qū)間，說(shuō)明一階差分后的DNT序列呈現(xiàn)平穩(wěn)，可以對(duì)DNT建立ARMA（p，q）模型。從自相關(guān)分析圖4可見，序列的樣本自相關(guān)系數(shù)在k=2處顯著不為0，表現(xiàn)為拖尾性，因此可考慮q=2；在偏自相關(guān)分析圖中，滯后一和二期的偏自相關(guān)系數(shù)都明顯不為0，可以認(rèn)為序列的偏自相關(guān)函數(shù)具有截尾性，明顯不為0的偏自相關(guān)系數(shù)的數(shù)目決定了p的取值，因此可考慮p=1或2[5]。為了使序列趨勢(shì)消除，因此進(jìn)行了一階逐期差分，因此選用ARIMA（p，d，q）模型。

綜上所述，序列可以建立 ARIMA（1，1，2）或 ARIMA（2，1，2）模型，考慮模型的整體擬合效果，選擇出擬合效果最佳的模型。

表2 各模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

由表 3 可得 ARIMA（2，1，2）模型的 AIC、SC、R2和 Adjusted-R2的值與 ARIMA（1，1，2）模型的值相差不大，所以認(rèn)為ARIMA（1，1，2）模型更合適，由表2可得該模型的表達(dá)式為[6]：

估計(jì)參數(shù)的步驟完成后，為了得知ARIMA（1，1，2）模型是否符合意義，運(yùn)用白噪聲檢驗(yàn)法對(duì)殘差序列進(jìn)行檢驗(yàn)，通過(guò)對(duì)殘差序列的檢驗(yàn)后，可知道ARIMA（1，1，2）模型是合適的，模型的檢驗(yàn)也認(rèn)為ARIMA（1，1，2）模型最佳，因此對(duì)此進(jìn)行短期預(yù)測(cè)。本文將樣本數(shù)據(jù)從2192擴(kuò)展到2199，對(duì)序列進(jìn)行短期預(yù)測(cè)，得到靜態(tài)預(yù)測(cè)圖（圖5）。

由圖6可見靜態(tài)預(yù)測(cè)值（中間）和真實(shí)值的波動(dòng)情況相類似，說(shuō)明預(yù)測(cè)的效果良好。

2.其余四支股票開盤價(jià)時(shí)間序列研究

同樣進(jìn)行時(shí)間序列研究，對(duì)錫業(yè)股份等四支股票建立ARMA（p，q）模型。

觀測(cè)錫業(yè)股份開盤價(jià)序列的時(shí)序圖、自相關(guān)與偏自相關(guān)圖可知序列存在不平穩(wěn)性，因此對(duì)原序列逐期差分，觀測(cè)一階差分的自相關(guān)與偏自相關(guān)圖，一階差分后的序列存在純隨機(jī)性，因此對(duì)原始序列進(jìn)行二階差分，由差分后的自相關(guān)與偏自相關(guān)圖可知，對(duì)錫業(yè)股份建立 ARIMA（4，2，1）、ARIMA（5，2，1）模型較為合理，經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)認(rèn)為 ARIMA（5，2，1）模型的擬合效果更優(yōu)，該模型的表達(dá)式為：

圖5 靜態(tài)預(yù)測(cè)圖

南天信息最終建立ARIMA（4，1，4）模型，該模型的表達(dá)式為：

最終選擇ARIMA（4，2，1）作為刻畫云鋁股份的模型，該模型的表達(dá)式為：

最終選擇ARIMA（4，2，1）作為刻畫云內(nèi)動(dòng)力的模型，該模型的表達(dá)式為：

估計(jì)參數(shù)的步驟完成后，為了得知四支股票所對(duì)應(yīng)的模型是否符合意義，運(yùn)用白噪聲檢驗(yàn)法分別對(duì)四支股票的殘差序列進(jìn)行檢驗(yàn)；通過(guò)對(duì)殘差序列的檢驗(yàn)后，也可知四支股票最終選擇的ARMA模型是合適的，因此對(duì)序列進(jìn)行短期預(yù)測(cè)。從四支股票的靜態(tài)預(yù)測(cè)圖可知預(yù)測(cè)值和真實(shí)值的走勢(shì)相一致，說(shuō)明預(yù)測(cè)的效果良好。

四、結(jié)論與對(duì)策

（一）結(jié)論

首先對(duì)時(shí)序圖和自相關(guān)圖進(jìn)行觀察，判斷序列的平穩(wěn)性，若時(shí)序圖顯示出序列具有顯著地波動(dòng)集群效應(yīng)，自相關(guān)系數(shù)很快落入隨機(jī)誤差范圍內(nèi)，則說(shuō)明該序列具有顯著的ARMA效應(yīng)；然后采用最小二乘法估計(jì)模型的參數(shù)，再比較模型的相關(guān)檢驗(yàn)結(jié)果，選出效果最好的ARIMA（p，d，q）模型，分別得到麗江旅游、南天信息、錫業(yè)股份、云鋁股份、云內(nèi)動(dòng)力五支股票所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)ARIMA模型分別為ARIMA（1，1，2）、ARIMA（4，1，4）、ARIMA（5，2，1）、ARIMA（4，2，1）、ARIMA（4，2，1）；用白噪聲檢驗(yàn)方法對(duì)殘差進(jìn)行檢驗(yàn)，通過(guò)靜態(tài)預(yù)測(cè)圖得知預(yù)測(cè)效果良好，因此股票價(jià)格序列的短期預(yù)測(cè)對(duì)投資者投資股票盈利具有一定的指導(dǎo)作用。

（二）模型的分析

1.優(yōu)點(diǎn)

（1）我們通過(guò)對(duì)南天信息、麗江旅游、錫業(yè)股份、云鋁股份和云內(nèi)動(dòng)力五支股票2192個(gè)交易日的開盤價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行剖析，建立了這五支股票擬合效果最佳的ARMA（p，q）模型，從預(yù)測(cè)的靜態(tài)圖看，此種的方法對(duì)股票的預(yù)測(cè)效果良好。

（2）從理論角度上我國(guó)股票市場(chǎng)的時(shí)間序列是非線性的，而ARMA（p，q）對(duì)短期的非線性預(yù)測(cè)也有一定的優(yōu)勢(shì)，股民可以根據(jù)各支股票的預(yù)測(cè)趨勢(shì)較為準(zhǔn)確地判斷盈虧，以便理性地投資[7]。

2.缺點(diǎn)

（1）在數(shù)據(jù)的處理上，雖然對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行補(bǔ)充處理，但由于缺失的數(shù)據(jù)過(guò)多，依舊會(huì)導(dǎo)致對(duì)序列進(jìn)行建模時(shí)存在一定的誤差。

（2）本文的模型擬合，只是對(duì)時(shí)間序列本身的屬性進(jìn)行了簡(jiǎn)單的分析，而沒(méi)有將其他的因素納入進(jìn)來(lái)。在股票市場(chǎng)，股票開盤價(jià)的變化是多種因素互相影響形成的，不僅僅是市場(chǎng)本身，還有國(guó)家經(jīng)濟(jì)政策等干預(yù)因素，所以不是預(yù)測(cè)的期望值可以反映的。

（3）ARMA模型在長(zhǎng)期預(yù)測(cè)方面存在一定的缺陷，誤差相對(duì)較大，短期預(yù)測(cè)比長(zhǎng)期預(yù)測(cè)效果更佳，因此不適合進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)測(cè)。

（三）模型改進(jìn)

1.對(duì)股票開盤價(jià)的數(shù)據(jù)處理，采用更為準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)補(bǔ)充方法降低誤差，使得所建立的ARMA（p，q）對(duì)未來(lái)股票開盤價(jià)的預(yù)測(cè)更為準(zhǔn)確、更為適用。

2.針對(duì)時(shí)間序列建立ARMA模型，需要對(duì)Eviews軟件的操作更加深入，做進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，掌握更對(duì)的實(shí)證分析方法，才能夠更加詳盡地分析時(shí)間序列。