對(duì)穩(wěn)態(tài)下運(yùn)動(dòng)勻質(zhì)彈簧的研究

涂德新

(江西師范大學(xué)附屬中學(xué),江西 南昌 330046)

彈簧是物理學(xué)中一個(gè)重要的力學(xué)模型, 絕大多數(shù)情況下都是研究輕質(zhì)彈簧．眾所周知:輕質(zhì)彈簧兩端受力必定等大反向,已知其受力則輕質(zhì)彈簧的長度和彈性勢能可以直接求出．輕質(zhì)彈簧是一個(gè)理想化的模型, 真實(shí)的彈簧都是有質(zhì)量的．質(zhì)量均勻分布的彈簧在生產(chǎn)生活中很常見,有些文獻(xiàn)進(jìn)行了有益的研究[1]．本文研究勻質(zhì)彈簧在平動(dòng)加速和勻速轉(zhuǎn)動(dòng)兩種情況下達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的長度和線密度．

1 問題提出

圖1

一根質(zhì)量均勻分布的彈簧,原長為l0,質(zhì)量為m,勁度系數(shù)為k,如圖1所示放在光滑的水平地面上．彈簧左端受到向左的拉力F1的作用,右端受到向右的拉力F2的作用,由于兩端拉力可能不相等,彈簧整體做加速運(yùn)動(dòng),達(dá)到穩(wěn)定時(shí)所有點(diǎn)的加速度與質(zhì)心的加速度相同,但由于彈簧兩端拉力可能不相等,且考慮彈簧有質(zhì)量,所以彈簧穩(wěn)定后的線密度一般不均勻．這里求穩(wěn)態(tài)也就是彈簧各部分相對(duì)靜止時(shí)的長度L和線密度分布λ．

2 問題分析

如果考慮彈簧從靜止開始的加速過程則彈簧內(nèi)部各部分之間存在相對(duì)振動(dòng),問題的求解十分困難．這里求彈簧各部分相對(duì)靜止時(shí)的長度和線密度分布則相對(duì)簡單．

彈簧兩端受力不相等,則彈簧穩(wěn)態(tài)時(shí)整體做加速運(yùn)動(dòng),彈簧各處所受的彈力并不相等,于是彈簧各處的形變并不均勻,求解彈簧的長度變得比較困難,不能用胡克定律直接求解．

對(duì)彈簧用微元法求解．如圖2所示,取彈簧原長x處微元Δx,彈簧達(dá)到穩(wěn)定后此處彈力為Fx,設(shè)微元Δx被拉長后的形變量為Δx′,分析出Δx′與Δx的關(guān)系,對(duì)Δx′進(jìn)行求和,便可以求得彈簧受力后的總形變量x′,進(jìn)而求出彈簧的總長度L．

圖2

2.1 問題解析

由于彈簧的勁度系數(shù)與彈簧的長度成反比[2],總長l0的彈簧勁度系數(shù)為k,設(shè)原長中微元Δx對(duì)應(yīng)的勁度系數(shù)k′,參數(shù)間存在關(guān)系

k′Δx=kl0.

(1)

微元Δx兩端所受的彈力一般不相等,但考慮到微元的質(zhì)量很小,于是兩端彈力的差值也很小,此差值相對(duì)兩端的彈力屬于小量,于是求微元Δx的伸長量時(shí),可以不考慮此差值,認(rèn)為微元Δx處彈力為Fx,這時(shí)對(duì)應(yīng)的伸長量為Δx′,由胡克定律有

Fx=k′Δx′.

(2)

由(1)、(2)兩式可得

Δx′=(Fx/kl0)Δx.

(3)

為了求和的方便,不妨將微元改成微分的形式

dx′=(Fx/kl0)dx.

(4)

對(duì)彈簧列牛頓第二定律

F2-F1=ma.

(5)

對(duì)左端到x處的彈簧列牛頓第二定律

Fx-F1=(x/l0)ma.

(6)

由(5)、(6)兩式可得

Fx=(x/l0)(F2-F1)+F1.

(7)

由(4)、(7)兩式可得

(8)

將dx′代入可以求得線密度

(9)

又對(duì)(8)式積分

求得

x′=(F2+F1)/2k.

(10)

由此求得穩(wěn)定后彈簧的總長

L=l0+(F2+F1)/2k.

(11)

2.2 分析討論

由(9)式, 彈簧的線密度λ是微元位置x的函數(shù)．如果F1F2,則λ隨著x增加也增加,即彈簧靠近拉力大的一側(cè)產(chǎn)生更大的形變量,于是線密度更?。鬎1=F2,則線密度為λ=m/(l0+F1/k)為定值,這正是常規(guī)情況下一根靜止彈簧兩端被相同拉力作用而伸長的結(jié)果．

3 進(jìn)階問題

如圖3所示,讓彈簧繞過一個(gè)端點(diǎn)O的豎直轉(zhuǎn)軸做角速度為ω的勻速圓周運(yùn)動(dòng), 不計(jì)一切阻力,不考慮彈簧內(nèi)部的相對(duì)振動(dòng),求彈簧各部分相對(duì)靜止時(shí)的長度L和質(zhì)量線密度分布λ．

圖3

3.1 問題解析

這種情況下彈簧沿長度的形變肯定不均勻,直接對(duì)形變后的彈簧不好取微元．采用跟問題一類似的處理方法:設(shè)彈簧在原長x處對(duì)應(yīng)伸長后的位置為l=f(x), 兩邊取微分后有dl=f′(x)dx

3.1.1 求解彈簧長度所滿足的微分方程(一)

x處彈簧的彈力Fx充當(dāng)x到l0處彈簧的向心力

(12)

dx的長度對(duì)應(yīng)伸長后的長度為dl,存在關(guān)系

dl=dx+dx′.

(13)

其中伸長量dx′,dx和Fx的關(guān)系如(3)式所示．

由(4)、(9)、(10)、(11)式聯(lián)立求解得

兩邊對(duì)x求導(dǎo)得

3.1.2 求解彈簧長度所滿足的微分方程(二)

由(4)、(11)式可得x處彈簧的彈力為

將dl代入有

Fx=kl0[f′(x)-1].

同理

Fx+dx=kl0[f′(x+dx)-1].

x到x+dx處微元受到的合力為

F合=Fx+dx-Fx.

代入后可以改寫為

F合=kl0f″(x)dx.

此合力剛好充當(dāng)微元做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力

-kl0f″(x)dx=(dx/l0)mf(x)ω2.

3.1.3 求解微分方程

上述方程是二階常系數(shù)線性齊次微分方程．由微分方程理論可知,該方程存在通解

考慮到穩(wěn)定后的邊界條件:對(duì)于固定端f(0)=0;而自由端微元的長度并沒發(fā)生形變,微元的相對(duì)長度f′(l0)=1．由邊界條件可以求解得

再求穩(wěn)定后彈簧的線密度λ．

代入可以求得

3.2 分析討論

4 后記

本文在處理彈勻質(zhì)彈簧問題時(shí), 考慮到伸長后的彈簧形變不均勻, 不好取微元, 于是先假設(shè)彈簧形變后的函數(shù), 再分析形變后的微元與形變前的微元的對(duì)應(yīng)關(guān)系, 并對(duì)形變前的微元進(jìn)行積分, 進(jìn)而對(duì)勻質(zhì)彈簧問題得到了比較簡潔的處理. 希望這種特殊的處理方法對(duì)各位同仁有所借鑒．