賞析三角形中解題的“中庸之道”

宋廣志

“中庸之道”原本指不偏不倚，折中調(diào)和的處世態(tài)度.在含三角形的問(wèn)題中，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用“中庸”的解題策略——取中線，會(huì)起到事半功倍的作用.要想運(yùn)用好中線，首先要知道三角形中線的三種常見(jiàn)“中庸”形式：

在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)：

三種形式都有其自身的特點(diǎn)：

形式1是把兩個(gè)向量之和轉(zhuǎn)化為一個(gè)向量；

形式2就是中線定理，表示中線和三條邊之間的數(shù)量關(guān)系；

形式3是極化恒等式，即向量數(shù)量積與線段長(zhǎng)之間的轉(zhuǎn)化.

在有關(guān)三角形向量題目中合理運(yùn)用這三個(gè)特點(diǎn)，可以迅速地找到問(wèn)題的突破口，打開(kāi)思路.

點(diǎn)評(píng)本題是求四邊形兩對(duì)角線向量的數(shù)量積，抓住數(shù)量積的運(yùn)算關(guān)鍵，兩個(gè)向量的起點(diǎn)要相同，所以必定要將其中一個(gè)向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意，最好將向量轉(zhuǎn)化為與邊長(zhǎng)相關(guān)的向量，自然中點(diǎn)就是首選.根據(jù)解題過(guò)程中的一般性，得到結(jié)論：凸四邊

點(diǎn)評(píng)中線的數(shù)量形式主要將三角形的三條邊及中線長(zhǎng)的聯(lián)系起來(lái)，本題中線段長(zhǎng)關(guān)系比較清楚，直接讓P的軌跡無(wú)處遁形.

點(diǎn)評(píng)極化恒等式的功能是實(shí)現(xiàn)向量和數(shù)量的統(tǒng)一，對(duì)于快速計(jì)算數(shù)量積，求數(shù)量積的取值范圍具有較強(qiáng)實(shí)用性.任意兩個(gè)向量也可以寫成極化恒等式的形式：a·b=

通過(guò)上面的例題發(fā)現(xiàn)：三角形中線的有關(guān)知識(shí)已經(jīng)成為高考或?？济}的重要素材，深受專家們的青睞.利用好三角形的“中庸之道”，認(rèn)清中線的三種形式，無(wú)疑對(duì)我們?nèi)ププ?wèn)題的本質(zhì)，簡(jiǎn)潔快速地解題具有很大的幫助！