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      三角恒等變換,重在掌握“變”法

      2018-11-20 03:56:02金玉明
      新高考·高一數(shù)學(xué) 2018年2期
      關(guān)鍵詞:化簡等式本例

      金玉明

      一、化歸方法,變的靈魂

      化歸方法的含義是把待解決和未解決的問題,通過轉(zhuǎn)化,或再轉(zhuǎn)化,將原問題歸結(jié)為一個已經(jīng)解決,或比較容易解決的問題,最終求得原問題的解決.在三角恒等變換的學(xué)習(xí)過程中,常用的化歸方法主要有化同角、化同名、切弦互化、降冪運算等.

      二、知識遷移,注重變式

      運用遷移指導(dǎo)學(xué)習(xí)活動,就是在學(xué)習(xí)中,發(fā)現(xiàn)問題的相似之處,促進新知識的學(xué)習(xí);同時注意在解題中實施變式研究,既注重基本又注重變化,做到舉一反三、觸類旁通、溫故知新.下面我們從幾個實例出發(fā),談一談具體遷移的方法.

      (一)給值求值(角)問題

      本例是課本第105頁例3、第108頁例1、例2等例題的遷移.考點是三角恒等變換.三角函數(shù)的給值求值,關(guān)鍵是用已知角表示所求角.常見的問題主要有:(1)已知角為一個時,所求角一般與已知角成“倍的關(guān)系”或“互余互補”關(guān)系.(2)已知角為兩個時,所求角一般表示為已知角的和或差.本題顯然是題型(1),如果將本題進行知識遷移,方向可以是:已知條件變成兩個已知角的三角函數(shù)值,求另一個可以用已知角表示的未知角的三角函數(shù)值、求未知角的大小等問題.

      (二)給角求值

      本例是課本第110頁例5的遷移.“給角求值”將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化,進而求出三角函數(shù)值.同時“化同角”又是解決問題的第一視角和切人點.求值過程中始終抓住化為同角的基本思路,觀察式子中每個因式之間角的關(guān)系,進行合理化簡.

      (三)化簡問題

      本例是課本第121頁例3的遷移,考點是考查三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),此類題目是三角函數(shù)問題中的典型題目.解答本題,首先要觀察函數(shù)表達式的結(jié)構(gòu)特征,因為在函數(shù)性質(zhì)探討中,最終目標(biāo)是要化簡成f(x) =Asin(ωx+ψ)+b的形式,所以關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡函數(shù),進一步討論函數(shù)的性質(zhì),能較好地考查同學(xué)們的基本運算求解能力及復(fù)雜式子的變形能力等.本題的化簡經(jīng)歷了多項式相乘、降冪、輔助角公式三個主要步驟,同時化同角、降冪的主要思路也是化簡成功的關(guān)鍵.

      當(dāng)然本題還可以繼續(xù)深入研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)等,這就需要將三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)結(jié)合,解決問題.

      (四)恒等式證明

      對于恒等式證明,主要解決問題的方法仍然與化簡、求值相同.

      本例是課本第120頁例2的遷移.解決問題的過程中,首先考察的是等式左邊,比較復(fù)雜,所以要化簡,而等式兩邊角的不同,考慮“化同角”,化同角的同時也在升冪,這也符合等式右邊的4次特征.由此合理使用二倍角公式以及完全平方公式,即可解決問題.觀察等式兩邊結(jié)構(gòu)特征,進而選擇合理的化歸公式解決問題,是三角恒等式證明的關(guān)鍵.

      三、歸納總結(jié),量變引起質(zhì)變

      在學(xué)習(xí)過程中,可以多聯(lián)系課本和練習(xí)題,尋找題目之間的內(nèi)在聯(lián)系,合理歸類.比如三角恒等變換的內(nèi)容,在觀察式子結(jié)構(gòu)特征后,通常先從“化同角”作為切人點,然后進行“切弦互換”、“降冪”、“化同名”等,基本就可以找到解決問題的方法.通過推廣、類比、逆向等思維方式進行知識遷移,相信你一定能在三角恒等變換的空間里自由翱翔,

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