吉喆，高二慶，沈承金，宋慶雷，徐杰，郭濤

（1.中國礦業(yè)大學，江蘇 徐州 221116；2.徐州巴特工程機械股份有限公司，江蘇 徐州 221004）

鈦合金具有高比剛度、高比強度等優(yōu)良的綜合力學性能，在航空、航天領域得到廣泛的應用[1—2]。壓痕技術測量材料性能具有制樣簡單、操作方便、無損等優(yōu)點，從而廣泛應用于鈦合金性能檢測[3—4]。壓痕測試技術是將壓頭壓入被測材料，通過連續(xù)記錄壓頭加載過程和卸載過程的載荷、位移數據，得到載荷-位移曲線的一種方法。通過分析載荷-位移曲線，不僅可以得到被測材料的彈性模量和硬度，而且通過量綱分析和壓痕變形過程有限元分析，可以由載荷-位移曲線反求應力-應變曲線[5]。這對求解微小體積試樣的應力-應變曲線，以及表征鈦合金部件不同位置由于變形不均勻等原因引起的性能不均勻提供了一條可行便捷的方法。

通過載荷-位移曲線反求被測材料的應力-應變曲線時，代表應變（εr）是一個重要的參數。代表應變在材料應力-應變曲線上對應的應力稱為代表應力（σr），代表應力與材料的硬度（H）存在以下關系：

式中：C是一個常數，稱為約束因子。

通過使用代表應變和約束因子可以簡化應力-應變曲線的求解，因而大量工作對這兩個參數進行了研究。Tabor等[6]研究了不同預應變條件下低碳鋼和銅的維氏硬度與拉伸應力的關系，發(fā)現以不同預應變條件下合金的硬度除以3.3為應力值，然后以對應的預應變值加上 0.08為應變值，這樣處理的應力和應變點與合金的應力-應變曲線正好重合，因此指出代表應變?yōu)?0.08，約束因子為 3.3。Mata等[7]針對 Tabor提出的硬度和代表應力關系，采用彈塑性有限元分析了不同彈性模量、屈服強度和應變硬化指數條件下硬度和代表應力的關系，指出代表應變?yōu)?0.1，此時對應的約束因子為2.7。Keist等[8]通過最小二乘擬合分析，研究了Ti-6Al-4V合金維氏硬度與屈服強度（σy）和抗拉強度間（σUTS）的關系，發(fā)現維氏硬度與屈服強度和抗拉強度之間存在線性關系，即存在關系σy（或者σUTS）=H/i+j，其中i為比例常數，j為修正項。Tiryakio?lu等[9]研究發(fā)現維氏硬度與屈服強度關系之間修正項通常為負值，而維氏硬度與抗拉強度關系之間修正項通常為正值，因此會有維氏硬度與存在于屈服強度與抗拉強度之間某一應力之比修正項為0，此應力對應的應變?yōu)榇響?，采用此方法求出的代表應變?yōu)?0.024。這些研究力求確定統(tǒng)一的代表應變和約束因子值，然而不同研究結果得到的值不同。如果采用近似的代表應變和約束因子來求解應力-應變曲線，會導致較大的誤差[10]，因此，為了確定適用于鈦合金的代表應變和約束因子，還要進行深入研究。Hernot等[11]通過彈塑性有限元，分析了不同屈服強度和應變硬化指數條件下，壓痕塑性區(qū)對應的代表應變，發(fā)現壓痕代表應變和約束因子是隨材料性能變化而變化的，并不存在一個統(tǒng)一的值。Branch等[12]和Prasad等[13]通過有限元模擬發(fā)現不同材料性能條件下，壓痕塑性區(qū)應變分布不同，因此采用壓痕塑性區(qū)應變的體積平均作為代表應變。這樣定義的代表應變隨材料性能變化而變化，沒有統(tǒng)一值。這些研究指出代表應變和約束因子是隨材料性能變化而改變，但是并沒有給出代表應變和約束因子隨材料性能變化的關系，不便于這兩個參數的使用。

文中以Ti-6.5Al-3.5Mo-1.5Zr-0.3Si(TC11)合金為研究對象，通過熱處理實驗調控合金的性能，得到合金性能的變化范圍。在此基礎上，通過錐形壓痕變形過程彈塑性有限元分析和壓痕硬度分析，得到代表應變和約束因子與TC11合金性能參數間的定量關系，為通過壓痕測試求解TC11合金的本構曲線奠定基礎。

1 材料與方法

材料為TC11鈦合金，合金棒材直徑為100 mm。從合金棒材中線切割截取尺寸為 130 mm×26 mm×12 mm的熱處理矩形試樣，在其表面涂滿玻璃潤滑劑，然后放入箱式電阻爐中進行加熱，以防止實驗過程中試樣表面發(fā)生氧化。熱處理實驗分為一步熱處理和多步熱處理以調控合金的性能。一步熱處理是將試樣分別加熱到940,960,980,990,1020 ℃，保溫30 min，然后空冷或者水冷。多步熱處理是在一步熱處理水冷后進行強韌化處理[14]。

熱處理后，在每個矩形坯料中線切割截取3個拉伸試樣。拉伸試樣標距為35 mm，厚度為2 mm。采用 CMT-5305電子萬能拉伸實驗機測量試樣的拉伸性能，拉伸速度為2 mm/min，采用引伸計測量試樣的變形量。3個試樣的平均結果作為試樣的最后性能。

4種典型試樣的熱處理工藝和性能見表1，拉伸曲線見圖1。采用冪強化模型來描述合金的應力-應變曲線[4,15]，見式(2)。

表1 TC11合金的熱處理工藝參數和力學性能Tab.1 Technological parameters and mechanical properties for heat treatment of TC11 alloy

圖1 TC11鈦合金拉伸試樣的真應力-真應變曲線Fig.1 True stress-strain curves of TC11 tensile samples

式中：E為彈性模量；K為硬化系數；σy為屈服強度；n為應變硬化指數。

由應力-應變曲線彈塑性段連續(xù)可得：

通過拉伸曲線計算得合金的彈性模量為 110 GPa，σy,K和n值見表1，其中AC為空冷，WQ為水冷，這些性能參數涵蓋了實驗中合金性能的范圍。

在熱處理后的試樣中線切割截取10 mm×10 mm×6 mm的壓痕試樣。對壓痕試樣進行鑲嵌，然后用金相砂紙進行打磨，最后進行拋光處理。對拋光后的試樣用瑞士的 CSM 壓痕儀進行實驗，壓頭為錐形的Berkovich壓頭。壓痕最大載荷為4.9 N，每個試樣壓痕試驗重復5次。

2 壓痕變形過程有限元模型建立

壓痕變形過程采用Abaqus有限元分析軟件進行模擬，采用三棱錐形Berkovich壓頭，已有大量文獻證明，在有限元建模時可以采用半錐角為70.3°的圓錐壓頭代替[5,16—17]。圓錐壓頭壓入材料過程是一個典型的軸對稱問題，因此采用二維軸對稱模型進行模擬。建立的 Abaqus幾何模型見圖2。由于模型的對稱性，金剛石壓頭用一條線表示，被壓TC11材料用一個平面表示。平面的左邊施加對稱邊界條件，底邊限制豎直方向的位移，載荷通過壓頭的參考點施加。由于四節(jié)點軸對稱線性減縮積分單元（CAX4R）適用于大變形分析，而且具有較高的計算精度，適合壓痕變形過程有限元分析，因此，采用CAX4R對被壓材料進行網格劃分，共劃分7268個單元。此外，壓痕變形過程大變形區(qū)域集中在壓頭附近，因此采用網格尺寸漸變方式劃分網格，在壓頭附近采用尺寸較小的網格（0.5 μm×0.5 μm），而在遠離壓頭的位置采用尺寸較大的網格。這樣劃分網格既可以獲得較高的計算精度，也可以節(jié)約計算時間。

模擬結束后，通過壓頭參考點處的載荷和位移，求出壓痕變形過程載荷-位移曲線。采用表 1所示材料性能參數進行壓痕變形過程有限元模擬，得到的載荷-位移結果見圖3，其中也包含了實驗的載荷-位移曲線。由圖3可見，模擬結果與實驗結果吻合良好，表明建立的模型可以用于壓痕變形過程分析。

3 結果與討論

3.1 壓痕硬度計算

在進行TC11合金壓痕變形有限元模擬時，彈性模量取110 GPa，屈服強度取13個值，分別為800,850,900,950,1000,1050,1100,1150,1200,1250,1300,1350,1400 MPa，應變硬化指數取9個值，分別為0.04,0.05,0.06,0.07,0.08,0.09,0.1,0.11,0.12，共有117個組合，這些組合范圍完全覆蓋了表1中實驗測量的TC11合金性能。采用這些性能參數，通過壓痕變形過程有限元模擬可以得到TC11合金載荷-位移曲線。壓痕硬度和彈性模量可以通過壓痕曲線分析得到?？紤]壓痕載荷-位移曲線卸載部分的彈性回復，Oliver和Pharr將卸載曲線壓痕表示為[18]：

式中：P為載荷；hf為卸載后的殘余壓痕深度；B和m為擬合參數。

由式(4)可以求得卸載曲線的接觸剛度S為：

式中：hmax為最大壓痕深度。

在最大壓痕深度處，壓頭和材料接觸深度hc為：

式中：γ為壓頭形狀參數，對于Berkovich壓頭，其值為0.75。

通過接觸深度可以得到壓頭與材料的接觸面積A為：

壓痕硬度為：

式中：Pmax為最大載荷。

圖3 實驗和有限元模型計算的壓痕載荷-位移曲線Fig.3 Indentation load-penetration depth curves of experiment and FEM computation

通過卸載剛度S和接觸面積A，可以得到等效彈性模量為：

式中：ω是非對稱壓頭修正系數，對于Berkovich壓頭，其值為1.034。

由式(9)可以求得被壓材料的彈性模量為：

式中：ν為被壓材料泊松比；Ei和νi分別表示壓頭的彈性模量和泊松比，金剛石壓頭的值分別為1141 GPa和 0.07。

屈服強度隨壓痕硬度變化關系見圖4，可見硬度隨屈服強度的增加而增加。在模擬性能參數范圍內，壓痕硬度從3000 MPa變化到5000 MPa，變化范圍較寬。對屈服強度和壓痕硬度進行最小二乘回歸擬合，可得：

式中：i和j分別為2.97和271。

圖4中實線為最小二乘回歸分析結果，虛線為剩余標準差，擬合優(yōu)度為0.94，表明屈服強度和壓痕硬度之間符合線性關系。Keist等[8]分析了Ti-6Al-4V合金屈服強度和壓痕硬度，發(fā)現兩者之間也存在線性關系。這個結果表明相對于應變硬化指數，屈服強度對合金硬度的影響更加顯著。這是因為應變硬化指數較小，而文獻[8]中應變硬化指數值更?。?.032～0.052），應變硬化指數值的變化引起的硬度變化較小。文獻[8]中i和j分別為3.6和90，和文中計算結果不同，這可能是由于材料性能不同引起的。Ti-6Al-4V的屈服強度（700～1000 MPa）和硬度（3000～3800 MPa）范圍都在本文性能值范圍的下限，可見對于不同的材料性能范圍，參數i和j需要重新計算。

圖4 屈服強度和硬度關系Fig.4 Relationship between yield stress and hardness

3.2 屈服強度對約束因子和代表應變的影響

約束因子和代表應變可由硬度與材料性能參數關系求出。由式(1)—(3)可得：

對式(12)兩邊同時取自然對數可得：

式(13)中以n為自變量，ln(H/σy)為因變量，對不同σy值進行擬合。如果C和εr為常數，則擬合結果為直線。通過直線的斜率和截距可以分別計算出εr和C。

不同屈服強度條件下，式(13)的擬合結果見圖5。由圖5可見，不同屈服強度條件下，ln(H/σy)與n均呈現線性關系，擬合優(yōu)度均高于0.98，而且這些擬合直線大致保持平行，說明不同屈服強度條件下，代表應變變化很小。此外，擬合直線的截距隨著屈服強度的增加而減小，表明約束因子也隨屈服強度的增加而減小。這些結果說明約束因子和代表應變的確隨材料性能參數變化而變化，并不存在固定值。而且，這兩個參數對材料性能參數依賴關系是不同的。屈服強度會顯著影響約束因子，但是應變硬化指數對約束因子影響較小，而屈服強度和應變硬化指數對代表應變影響都很小。

圖5 ln(H/σy)和應變硬化指數(n)關系Fig.5 Relationship between ln(H/σy) and strain hardening exponent (n)

通過圖5擬合結果求出的約束因子和代表應變見圖6。由圖6a可見，約束因子隨屈服強度增加而呈線性減小。通過最小二乘擬合得到約束因子與屈服強度間的關系為：

當屈服強度為800 MPa時，約束因子為3.56；而當屈服強度為1400 MPa時，約束因子為3.19，平均值與Tabor提出的3.3非常接近。DiCarlo等[19]基于有限元分析，研究了Tabor提出的通過約束因子和代表應變求合金應力-應變曲線的方法，求解的低碳鋼和銅的應力-應變曲線與實驗結果比較吻合，因此Tabor提出的約束因子具有較高的精度。由圖6a可見，約束因子是隨材料性能變化而變化的。低碳鋼和銅硬化指數均為 0.2，但是低碳鋼彈性模量和屈服強度均高于銅，而屈服強度升高會導致約束因子會降低，可見低碳鋼和銅約束因子相當，可能是由于兩者彈性模量不同造成的。文中計算得到的約束因子最大值（3.56）和最小值（3.19）差別大于10%，對壓痕硬度值下限3000 MPa計算代表應力，其結果相差將近100 MPa，誤差非常大。

圖6 約束因子和代表應變隨屈服強度變化曲線Fig.6 Curve for constraint factor and representative strain change as a function of yield stress

圖6b為代表應變與屈服強度關系，可見代表應變隨屈服強度變化并不大，在平均值0.025附近波動。這個波動可能是由于ln(H/σy)與n的擬合誤差引起的。代表應變 0.025與 Dao[5]提出的 0.033，Tiryakio?lu[9]提出的 0.024，Branch[12]提出的 0.035非常接近，而與Tabor[6]提出的0.08相差較大。代表應變的計算方法會影響代表應變的值[11]。文中和文獻[5]中代表應變是超過屈服強度以后的塑性累積應變，文獻[9]中代表應變定義為塑性應變，文獻[12]中將代表應變定義為壓痕塑性區(qū)塑性應變的體積平均，而Tabor代表應變是拉伸曲線上等效的應變，可見壓痕代表應變會隨計算方法而變化。

在求解約束因子和代表應變時，進行了數據擬合，因而存在一定的誤差，需要進行誤差分析。使用代表應變在應力-應變曲線上求解代表應力的準確值，然后通過式(11)和(14)用壓痕硬度求解約束因子，再通過式(1)求解代表應力的計算值。代表應力計算值和準確值之間的誤差見圖7。由圖7可見，絕大部分誤差在±1.6%之間，說明計算得到的代表應力的準確度較高。

圖7 代表應力誤差分析Fig.7 Error of representative stress

3.3 彈性模量對代表應變的影響

圖6中的約束因子和代表應變是在固定彈性模量（110 GPa）條件下求出的，然而鈦合金的彈性模量也會隨合金種類變化而變化[20]，因此，有必要研究彈性模量對鈦合金約束因子和代表應變的影響。取彈性模量為70,90,130,150 GPa，分別對屈服強度和應變硬化指數的117個組合進行仿真模擬，采用式(13)對壓痕硬度數據進行分析，求得的約束因子見圖8。由圖8a可見，約束因子在2.8到3.7之間，在Hernot得到的約束因子范圍內[11]。此外，可見不同彈性模量條件下約束因子都隨屈服強度的增加而線性減小。此外，從圖8a可見，約束因子隨彈性模量的增加而增加，因此在Tabor的研究中[6]，低碳鋼和銅相同的約束因子，可能是低碳鋼高的屈服強度引起約束因子減少，高的彈性模量引起約束因子增加，是兩者的綜合效果引起的。

圖8中求出的約束因子是屈服強度的函數。為了方便約束因子的使用，需要求出不同彈性模量條件下屈服強度和壓痕硬度的關系。通過最小二乘回歸分析發(fā)現不同彈性模量條件下，屈服強度和壓痕硬度都滿足式(11)，只是式中常數不同，因此，綜合式(11)和(14)，約束因子可以表示為：

式中：p,q,i,j為常數，其值見圖8b。由圖8b可見，在式(15)的4個常數中，p和i隨彈性模量的增加而增加，q和j隨彈性模量的增加而減小。

圖8 彈性模量對約束因子的影響Fig.8 Effect of elastic modulus on constraint factor

圖9 彈性模量對代表應變的影響Fig.9 Effect of elastic modulus on representative strain

不同彈性模量條件下，約束因子的計算結果見圖9。由圖9可見彈性模量從70 GPa增加到150 GPa，約束因子的值從 0.029降低到 0.023，而且降低的幅度越來越小。采用圖7中類似的方法，對不同彈性模量條件下的約束因子和代表應變進行誤差分析，誤差在±3%之間，這說明文中提出的方法可以得到較為準確的約束因子和代表應變。

4 結論

1）鈦合金屈服強度與壓痕硬度之間存在線性關系：σy=H/i-j，其中常數i隨彈性模量增加而增加，j隨彈性模量增加而減小。

2）材料性能不同，計算方法不同，約束因子和代表應變的值也會變化，這兩個參數并不存在固定的值。約束因子隨著彈性模量的增加而增加，代表應變隨著彈性模量的增加而減小。當彈性模量固定不變時，約束因子隨屈服強度線性減小，代表應變固定不變。

3）材料性能范圍內，使用代表應變在應力-應變曲線上求解的代表應力，與通過壓痕硬度和約束因子求解的代表應力兩者誤差小于±3%。