理解一個概念，勝過解十道題

任念兵

16、17世紀(jì)之交，自然科學(xué)（特別是天文學(xué)）的研究中經(jīng)常遇到大量精密而龐大的數(shù)值計(jì)算，改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法成為當(dāng)務(wù)之急，對數(shù)的發(fā)明“以縮短計(jì)算時間的方式延長了天文學(xué)家的壽命”（法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯語），因而成了“17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就”（恩格斯語）之一（另兩項(xiàng)分別為解析幾何的發(fā)明和微積分的發(fā)明）.了解對數(shù)概念的發(fā)生、發(fā)展歷史，關(guān)鍵是感悟其中所蘊(yùn)含的原創(chuàng)的數(shù)學(xué)思想，

一、對數(shù)發(fā)明過程中的關(guān)鍵事件

1.概念的萌芽

蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.Napier，1550～1617）在天文學(xué)研究中，為了尋求球面三角計(jì)算的簡便方法，利用與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動有關(guān)的幾何方法構(gòu)造出對數(shù)，其核心思想表現(xiàn)為算術(shù)數(shù)列與幾何數(shù)列（即等差數(shù)列與等比數(shù)列）之間的對應(yīng)——由于該幾何方法具有較強(qiáng)的技巧性，此處略去具體內(nèi)容.

現(xiàn)在我們已經(jīng)無法知道納皮爾開始時是如何想到這一發(fā)明的，一種普遍的猜測是：由于他精通三角學(xué)，對積化和差公式cosA cosB=1/2[cos（A +B） +cos（A-B）]非常熟悉.兩個三角函數(shù)的乘積用其他三角函數(shù)的和、差表示出來，而加減運(yùn)算比乘除運(yùn)算簡單得多，這種積化和差公式提供了原始的運(yùn)算優(yōu)化方法，或許就是這種三角恒等式激發(fā)了納皮爾的靈感.

1614年，納皮爾在《論述對數(shù)的奇跡》中闡述了對數(shù)原理，后人將其稱為納皮爾對數(shù)，記為Nap.log x，它與我們現(xiàn)在熟知的自然對數(shù)的關(guān)系為Nap.log x=In（107/x）/ln（1-10-7）.當(dāng)x→0時In（1-x）≈z，故In（1-10-7）≈10-7，Nap.log x≈lO-7ln （107/x）

2.概念的完善

英國數(shù)學(xué)家布里格斯（H.Briggs，1561～16 31）感到納皮爾對數(shù)使用起來不方便，于是與納皮爾商定，使1的對數(shù)為0，10的對數(shù)為1，這樣就得到了我們現(xiàn)在熟知的常用對數(shù)，它在十進(jìn)制的數(shù)值計(jì)算上具有極大的優(yōu)越性.1624年，布里格斯出版了《對數(shù)算術(shù)》，公布了以10為底、包含1～20000及90000～100000的14位常用對數(shù)表.

17世紀(jì)的國際貿(mào)易空前發(fā)展，這就涉及大量的資金結(jié)算，典型的問題就是計(jì)算復(fù)利.比如本金P、年利率為r、一年結(jié)算n次（可以分別按1年、半年、1月、1周、1日結(jié)算一次），則1年后的本利和（按照復(fù)利計(jì)算）為s=P（1+r/n）n.為了簡便起見，取P =1，r=1，則需要計(jì)算（1+1/n）n的值.隨著n的增加，（1+1/n）”的值在增加，但是對結(jié)果的影響越來越小，記lim（1+1/n）n=e.現(xiàn)在已經(jīng)無法知道，第一次使用e來表示lim（1+1/n）”的確切時間，最遲在1618年英國數(shù)學(xué)家愛德華·賴特（Edward Wright，1560～1615）在納皮爾的《論述對數(shù)的奇跡》翻譯版中就已經(jīng)出現(xiàn)了.

自然對數(shù)的發(fā)現(xiàn)則跟圓錐曲線的求面積問題相關(guān)，雖然在古希臘時期阿基米德等人就已經(jīng)會計(jì)算拋物線弓形的面積，但直到17世紀(jì)費(fèi)馬的時代，才有了圓錐曲線求面積問題一般公式，只有雙曲線y=1/x除外.考慮y=1/x與直線x=a，x=b（a

3.概念的統(tǒng)一

現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材是以指數(shù)的逆運(yùn)算來定義對數(shù)的——準(zhǔn)確地說，是以乘方（底數(shù)的指數(shù)次方等于冪）的求指數(shù)（相對于求底數(shù)）的逆運(yùn)算來定義對數(shù)（相對于開方）的.事實(shí)上，納皮爾討論對數(shù)概念時尚無分?jǐn)?shù)、無理數(shù)指數(shù)冪的概念，直到1637年笛卡兒才開始用符號a”表述正整數(shù)指數(shù)冪，直到18世紀(jì)初牛頓才將冪ax中的指數(shù)x推廣到任意實(shí)數(shù).后來，歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系，并用指數(shù)的逆運(yùn)算來定義對數(shù)，由于從邏輯上說指數(shù)概念更容易為人們所理解，因而歐拉關(guān)于對數(shù)的這種見解很快被人們所接受并流傳至今.

對數(shù)概念的萌芽（納皮爾對數(shù)）、完善（常用對數(shù)）、統(tǒng)一（指數(shù)的逆運(yùn)算）正是一個數(shù)學(xué)概念由技巧到通法、從特殊到一般不斷抽象的完整過程.

二、對數(shù)思想與高考題思路

對數(shù)發(fā)明時的原始思想是將乘、除運(yùn)算簡化為加、減運(yùn)算，尤其是在“大數(shù)”的乘除運(yùn)算中，這種思想的重要價值就體現(xiàn)出來了.

三、對數(shù)概念的廣泛應(yīng)用

就增長速度而言，指數(shù)函數(shù)最快（指數(shù)爆炸）、冪函數(shù)其次、對數(shù)函數(shù)最慢.如果增長太快，就要慢下來，對數(shù)的這項(xiàng)功能在地震震級的表示、視力的測量（標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力表）等實(shí)際問題中都有廣泛的應(yīng)用，而對信息進(jìn)行度量（量化）則是對數(shù)概念在信息時代的新的重要貢獻(xiàn).

1948年，克勞德·香農(nóng)創(chuàng)立了數(shù)學(xué)信息論，用“l(fā)Og2”來刻畫信息量的概念，比如，如何定義一個古代烽火臺傳遞的信息量呢？事實(shí)上，它傳遞兩種信息：燃起烽火意味著敵人來（用1表示），不燃烽火則表示敵人沒來（用0表示）.在敵人來與不來的可能性一樣的前提下，一個烽火臺傳遞一個單位（比特）的信息量，數(shù)學(xué)上的表示就是log22=1.如果東面、南面各設(shè)置了一個烽火臺，這時的信息狀態(tài)有（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1）四種情況，其中第一個、第二個坐標(biāo)分別表示東面、南面敵人來否的狀態(tài)，這樣四種狀態(tài)傳遞的信息量為2比特，用數(shù)學(xué)符號表示就是log24=2.于是，看不見、摸不著的信息就變得可以度量了.

香農(nóng)還天才地分析了信息量的大小和該信息發(fā)生的概率有關(guān)，提出了信息熵的概念，如果一條信息有n（n>l，n∈N）種可能的情形（它們之間互不相容），且這些情形發(fā)生的概率分別為P1，p2，…，pn，則稱H=f（p1）+f（p2）+…+f（pn）（其中f（x）=-log0x，x∈（0，1》為該條信息的信息熵.例如，為博美人一笑，有事無事天天燃烽火（概率大），那烽火臺傳遞的信息量就小得多.

在對數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展的歷史中，還有許多閃耀著人類智慧之光的創(chuàng)舉，比如常用對數(shù)表的制作與三角函數(shù)表的制作相關(guān)，有興趣的讀者可以自己查閱資料.了解數(shù)學(xué)史，感悟數(shù)學(xué)概念發(fā)生發(fā)展的漫長過程中“火熱的思考”，可以幫助我們站在更高的角度來看待相應(yīng)知識，從而更深刻地理解數(shù)學(xué).