初探“順?lè)凑硵?shù)”

馬思琪

編者按：“數(shù)學(xué)寫(xiě)作”聯(lián)盟始終堅(jiān)守“常態(tài)閱讀，深度思考，精致表達(dá)，共同發(fā)展”的理念，為推動(dòng)數(shù)學(xué)寫(xiě)作活動(dòng)的開(kāi)展，展現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，鼓勵(lì)學(xué)生深入思考、探究創(chuàng)新、合理表達(dá)，“數(shù)學(xué)寫(xiě)作”學(xué)校聯(lián)盟開(kāi)展了第一屆“數(shù)學(xué)寫(xiě)作”學(xué)校聯(lián)盟中學(xué)生數(shù)學(xué)寫(xiě)作競(jìng)賽活動(dòng)，并取得圓滿成功.

這次數(shù)學(xué)寫(xiě)作活動(dòng)得到了多所學(xué)校的支持，其中涌現(xiàn)出許多優(yōu)秀的作品.這些作品有的是對(duì)所讀的文章或圖書(shū)的深度思考，有的是對(duì)課堂內(nèi)容在現(xiàn)實(shí)生活中的拓展和應(yīng)用，有的是自己做一道題或一類題的感悟，有的是在使用數(shù)學(xué)工具的過(guò)程中的大發(fā)現(xiàn)，有的是數(shù)學(xué)相聲、數(shù)學(xué)詩(shī)歌……以下?lián)袢∑渲械囊恍┪恼屡c讀者共享.每年高考題中均會(huì)出現(xiàn)“拉分”的新題，這些同齡人文章里的新思路和體現(xiàn)出的理性思維、探究精神，對(duì)你拓寬思維、破解新題一定會(huì)有所助益.

翻開(kāi)《新高考（高二版）》2017年第9期，看到刊首《閑人莫入》一文給出了以下一組神奇的等式，引起了我的興趣：

8^2-4^2 =48；

68^2-34^2=3468；

668^2-334^2 =334668；

6668^2-3334^2=33346668：

文中說(shuō)：“這樣的等式，可以一直寫(xiě)下去，直到無(wú)窮大，統(tǒng)統(tǒng)都是成立的”“迄今為止，這樣的一系列無(wú)窮等式，除此之處，別的地方再也沒(méi)有看到過(guò)，真正說(shuō)得上‘只此一家，別無(wú)分店了！”

我想：這組等式長(zhǎng)得這么美，為什么會(huì)那么“孤獨(dú)”呢？是她太“高冷”了嗎？還是“曲高和寡”呢？難道沒(méi)有相似的同伴？

我好想給她找個(gè)伴！

我找啊找，可就是找不到和它規(guī)律一樣的數(shù)，但我找到了她的姐妹花——并蒂蓮，請(qǐng)看：

14^2-7^2 =147；

134^2-67^2 =13467；

1334^2-667^2 =1334667；

13 334^2-6667^2 =133346667；

這兩組數(shù)，是不是怎么看都有謎一樣的蹊蹺呢？

我為什么會(huì)發(fā)現(xiàn)這組等式呢？——國(guó)慶長(zhǎng)假，全國(guó)各地到處各種堵，我就宅在家里來(lái)了一次有趣的數(shù)字發(fā)現(xiàn)之旅——這是一次奇特的旅游！以下是這一次的“游記”：

第一站風(fēng)景：原題的證明

第二站風(fēng)景：原題的推廣

為方便敘述，對(duì)于這樣的數(shù)，我給它取了個(gè)名字，叫“反粘數(shù)”：

第三站風(fēng)景：原題的類比

有“反”為什么不能有“順”呢？

第四站風(fēng)景：全新的發(fā)現(xiàn)

此外，我還發(fā)現(xiàn)了一個(gè)非常有趣的現(xiàn)象.在有些類似的反粘數(shù)中：

1025^2-640^2=641025：

1276^2-870^2 =871276.

有一個(gè)“0”被“吃掉”了！在順粘數(shù)里也有類似的現(xiàn)象：

30^2-24^2=324：

280^2-224^2=28224：

330^2-275^2=33 275.

終點(diǎn)站：留下一段“碎碎叨”

我為什么稱之為“順粘數(shù)”和“反粘數(shù)”呢？

因?yàn)椤绊樥硵?shù)”的平方差是按x，y的前后順著粘在一起的，而“反粘數(shù)”的平方差是按x，y的前后反著粘在一起的.是不是很“Interesting”呀！

《閑人莫入》一文中說(shuō)，不出現(xiàn)其他數(shù)字，只出現(xiàn)3，4，6，8四個(gè)數(shù)字.我從“順?lè)凑硵?shù)”中也想找到這樣的數(shù).功夫不負(fù)有心人，我也有了新發(fā)現(xiàn)，不但找到本文開(kāi)頭列出的五個(gè)新數(shù)字（1，3，4，6，7），而且還發(fā)現(xiàn)了只出現(xiàn)兩個(gè)數(shù)字（4和8）的數(shù)：

8^2-4^2 =48；

848^2-484^2 =484848；

84 848^2-48484^2 =4848484848；

這等式也可以一直繼續(xù)下去直至無(wú)窮.但是如果右邊的“48”成偶數(shù)對(duì)出現(xiàn)，它們就國(guó)慶撒歡兒去了，消失無(wú)影蹤（左邊化歸為0了）；只有“48”成奇數(shù)對(duì)出現(xiàn)時(shí)，此規(guī)律才會(huì)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，永無(wú)止境.

如此神奇的式子，你能證明嗎？

如果規(guī)定等式兩邊只出現(xiàn)確定的數(shù)字，不規(guī)定是否按原數(shù)的數(shù)字順序“順粘”或“反粘”，又會(huì)有怎樣的一番風(fēng)景呢？我已經(jīng)把這種數(shù)的名字都想好了，叫“排他數(shù)”.你是否愿意和我一起探尋新的風(fēng)景呢？

點(diǎn)評(píng) 本文所研究的問(wèn)題，從知識(shí)層面上看，不超過(guò)初中數(shù)學(xué)內(nèi)容.但從數(shù)學(xué)思維角度看，已經(jīng)完整地包含了數(shù)學(xué)研究的基本要素：給所研究“新伙伴”命名并下一個(gè)精確的定義，發(fā)現(xiàn)更多的實(shí)例、從中找出規(guī)律并證明之，然后對(duì)其進(jìn)行類比推廣，最后提出進(jìn)一步研究的問(wèn)題.在這篇數(shù)學(xué)寫(xiě)作的過(guò)程中，作者已經(jīng)完整地經(jīng)歷了一次真實(shí)的“數(shù)學(xué)研究”過(guò)程.