一道例題引發(fā)的思考

王玉珍

有位同學(xué)在學(xué)習(xí)蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第四章“等可能條件下的概率”的一道例題后，與老師交流了自己的思考，具體內(nèi)容如下：

一、例題再現(xiàn)

一個(gè)不透明的袋子中裝有1個(gè)白球和2個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從袋中任意摸出1個(gè)球，記錄顏色后放回、搖勻，再?gòu)闹腥我饷?個(gè)球.求兩次摸到紅球的概率.

【解析】從題目中的“不透明”發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)隨機(jī)事件，把兩個(gè)紅球編號(hào)，再“搖勻”，說(shuō)明摸到每一個(gè)球的機(jī)會(huì)均等，所以這是一個(gè)等可能事件.借助樹(shù)狀圖或表格列出所有可能的結(jié)果，再代入等可能條件下的概率公式即可求出.

把兩個(gè)紅球編號(hào)為紅球1、紅球2，用表格列出所有可能的結(jié)果：

第二次摸球結(jié)果白紅1紅2第一次摸球白紅1紅2（白，白）（紅1，白）（紅2，白）（白，紅1）（紅1，紅1）（紅2，紅1）（白，紅2）（紅1，紅2）（紅2，紅2）

由表格可知，共有9種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們是等可能的.將“兩次都摸到紅球”記為事件B，它的發(fā)生有4種可能，所以事件B發(fā)生的概率為：P（B）=.即兩次都摸到紅球的概率是.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于摸兩次球的情況，可以用樹(shù)狀圖或表格列出所有可能的結(jié)果.

二、拓展

思考1：如果把例題中的“放回”改為“不放回”，應(yīng)該怎么做呢？

【解析】本題是一個(gè)求等可能條件下的概率問(wèn)題，“不放回”就是摸到一個(gè)球以后，下次再摸就不會(huì)摸到同一個(gè)球.

把兩個(gè)紅球編號(hào)為紅球1、紅球2，用表格列出所有可能結(jié)果：

第二次摸球結(jié)果白紅1紅2第一次摸球白（白，紅1）紅1紅2（紅1，白）（紅2，白）（白，紅2）（紅1，紅2）（紅2，紅1）

由表格可知，共有6種可能的結(jié)果，并且它們是等可能的.將“兩次都摸到紅球”記為事件B，它的發(fā)生有2種可能，所以事件B發(fā)生的概率P（B）==.即兩次都摸到紅球的概率是.

【點(diǎn)評(píng)】“不放回”表格內(nèi)的數(shù)據(jù)要少一些，不出現(xiàn)的情況用斜線劃掉，所以遇到概率問(wèn)題時(shí)我們要看清題目中的關(guān)鍵詞.

思考2：如果把例題中兩個(gè)紅球拿掉1個(gè)，又按照之前的方法再摸一次，求3次都摸到紅球的概率.應(yīng)該怎么做呢？

【解析】本題是一個(gè)求等可能條件下的概率問(wèn)題.表格只適用于兩次摸球的情況，3次就不夠用了，所以本題只能用樹(shù)狀圖列出所有可能的結(jié)果.

用樹(shù)狀圖列出所有可能的結(jié)果：

由上圖可知，共有8種可能的結(jié)果，并且它們是等可能的.將“3次都摸到紅球”記為事件B，它的發(fā)生有1種可能，所以事件B發(fā)生的概率：P（B）=.即3次都摸到紅球的概率是.

【點(diǎn)評(píng)】課本例題出現(xiàn)過(guò)橫著畫的樹(shù)狀圖，如果摸3次的話，縱向占用的空間比較大.

思考3：如果把例題中“放回”改為“不放回”，又按照之前的方法再摸一次，求“前兩次摸到紅球，最后一次摸到白球”的概率.這又應(yīng)該怎么做呢？

【解析】解題思路與思考2類似.再抓住題目中的關(guān)鍵詞“不放回”即可.

把2個(gè)紅球編號(hào)為紅球1、紅球2，用樹(shù)狀圖列出所有可能的結(jié)果：

由上圖可知，共有6種可能的結(jié)果，并且它們是等可能的.將“前兩次都摸到紅球，最后一次摸到白球”記為事件B，它的發(fā)生有2種可能，所以事件B發(fā)生的概率：P（B）==.即前兩次都摸到紅球，最后一次摸到白球的概率是.

【點(diǎn)評(píng)】沿用思考2中的畫圖方法，同學(xué)們可將此處的樹(shù)狀圖橫向繪制，感受一下解題方法的多樣性.

三、小結(jié)

遇到問(wèn)題，我們應(yīng)該仔細(xì)、認(rèn)真讀題，抓住題目中的關(guān)鍵詞，搞清題目的意思，再“對(duì)癥下藥”.比如兩次摸球，既可以用表格，也可以用樹(shù)狀圖列出所有可能的結(jié)果，用哪一種更好呢？筆者認(rèn)為，球的總數(shù)在4個(gè)以內(nèi)，同學(xué)們可根據(jù)自己的喜好隨便選，但總數(shù)等于或超過(guò)4個(gè)的話，用表格可能更好一些.另外，列表格時(shí)題目中出現(xiàn)“不放回”，需把不出現(xiàn)的情況用斜線劃掉.再比如3次摸球，表格就滿足不了，只能用樹(shù)狀圖列出所有可能的結(jié)果了，橫著畫還是豎著畫，就根據(jù)個(gè)人喜好了.