帶電細(xì)圓環(huán)和均勻介質(zhì)球系統(tǒng)的電勢分布計算

王樹平,王浩森,沈文梅

(河北建筑工程學(xué)院 數(shù)理系， 河北 張家口075000)

在電動力學(xué)的靜電學(xué)中，帶電細(xì)圓環(huán)是一個很重要的物理模型，關(guān)于其電勢問題，因物理圖像清晰、求解方法多樣，文獻(xiàn)[1-3]等曾有討論.基于此本文提出帶電細(xì)圓環(huán)和介質(zhì)球系統(tǒng)的電勢分布的求解方法，即在球坐標(biāo)系中，利用疊加原理和拉普拉斯方程，得到帶電細(xì)圓環(huán)和均勻介質(zhì)球系統(tǒng)電勢分布的解析式；用Matlab軟件繪制等勢線；最后通過帶電細(xì)圓環(huán)和均勻介質(zhì)球系統(tǒng)的電勢解析式推出了介質(zhì)球球心、遠(yuǎn)區(qū)、系統(tǒng)軸線上以及帶電細(xì)圓環(huán)和導(dǎo)體球系統(tǒng)的電勢分布.

用本文的方法易求解一類具有軸對稱的靜電場或靜磁場系統(tǒng)的電勢或磁矢勢，如帶電圓環(huán)和均勻介質(zhì)球殼系統(tǒng)的電勢、圓電流和磁介質(zhì)球或磁介質(zhì)球殼系統(tǒng)的磁矢勢、帶電圓環(huán)和無限長介質(zhì)圓柱系統(tǒng)的電勢、圓電流和無限長磁介質(zhì)圓柱系統(tǒng)的磁矢勢.用該方法求解此類物理問題具有物理圖像清晰、易被學(xué)生接受等優(yōu)點(diǎn)，同時有利于提高學(xué)生利用特殊函數(shù)求解相關(guān)物理問題的能力.

1 帶電細(xì)圓環(huán)和介質(zhì)球系統(tǒng)的電勢分布

如圖1所示，真空中有一半徑為a，帶電量為q的細(xì)圓環(huán)，環(huán)內(nèi)有一半徑為R，介電常量為ε的介質(zhì)球，球心和圓環(huán)中心重合于點(diǎn)o.由文獻(xiàn)[1]知，在圖2所示的球坐標(biāo)系中，帶電細(xì)圓環(huán)在以a為半徑的球面內(nèi)的電介質(zhì)及球面外的真空中產(chǎn)生的電勢分別為

r

(1)

r>a.

(2)

圖1 帶電細(xì)圓環(huán)和介質(zhì)球Fig.1 The system consisting of a charged ring and a dielectric spheroid

圖2 帶電細(xì)圓環(huán)的電勢分布Fig.2 The potential distribution of a charged ring

如圖3所示，帶電細(xì)圓環(huán)和介質(zhì)球系統(tǒng)的電勢在介質(zhì)球內(nèi)外(除帶電圓環(huán)所在的位置外)均滿足拉普拉斯方程

(3)

(4)

介質(zhì)球處于帶電細(xì)圓環(huán)的電場中，故介質(zhì)球內(nèi)外的電勢應(yīng)由兩部分組成： 細(xì)圓環(huán)產(chǎn)生的電勢uq(r,θ),和介質(zhì)球受到帶電細(xì)圓環(huán)的電場作用而出現(xiàn)的極化電荷所產(chǎn)生的電勢u′(r,θ).由電勢疊加原理知，系統(tǒng)的電勢為

(5)

(6)

(7)

(8)

將式(1)、(2)、(7)、(8)代入式(5)和(6)，得到在介質(zhì)球內(nèi)、介質(zhì)球表面和以a為半徑的球面之間、以a為半徑的球面外3個區(qū)域內(nèi)的電勢分別為

(9)

(10)

(11)

圖3 帶電細(xì)圓環(huán)與介質(zhì)球系統(tǒng)的電勢分布Fig.3 The potential distribution of a system consisting of a charged ring and a dielectric spheroid

由本問題的已知條件可以斷定，空間電勢u(r,θ)應(yīng)當(dāng)與oxy面對稱，即u(r,θ)=u(r,π-θ)，又Pn[cos(π-θ)]=(-1)nPn(cosθ)，則要求式(9)～(11)中的n只能取偶數(shù).即n=2l,l=0,1,2,…，將式(9)～(11)中的n用2l表示，得到

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

式(15)和(16)的兩邊乘以P2l(cosθ)sinθ(l=0,1,2,…)，對θ從0→π積分，再根據(jù)勒讓德多項式的正交性能，可推得以下結(jié)論：

(17)

(18)

解式(17)和(18)，得

(19)

(20)

將式(19)、(20)代入式(12)～(14)，得系統(tǒng)在3個區(qū)域內(nèi)的電勢分別為：

(21)

(22)

(23)

由式(21)～(23)，用Matlab軟件在oxz面內(nèi)作帶電圓環(huán)和介質(zhì)球系統(tǒng)的等勢線，如圖4所示.

圖4 帶電細(xì)圓環(huán)與介質(zhì)球系統(tǒng)在oxz面內(nèi)的等勢線Fig.4 Isopotential line of a system consisting of a charged ring and a dielectric spheroid in the oxz plane

2 討 論

2.1 介質(zhì)球球心的電勢

在式(21)中，取l=0的對應(yīng)項，得介質(zhì)球球心處的電勢為

(24)

2.2 遠(yuǎn)離圓環(huán)各點(diǎn)的電勢

在式(23)中，當(dāng)r?a時，取l=0的對應(yīng)項，求得遠(yuǎn)離圓環(huán)處的電勢為

(25)

式(25)表明，遠(yuǎn)離圓環(huán)處的電勢與位于介質(zhì)球球心處電量為q的點(diǎn)電荷的電勢相同.

2.3 帶電圓環(huán)軸線上的電勢分布

圓環(huán)軸線上的點(diǎn)對應(yīng)的角θ=0或π，將P2n(cosθ)=1代入式(21)～(23)，得圓環(huán)軸線上各點(diǎn)的電勢分別為

r

(26)

R

(27)

r>a.

(28)

2.4 帶電細(xì)圓環(huán)和導(dǎo)體球系統(tǒng)的電勢分布

當(dāng)ε/ε0→∞，介質(zhì)球相當(dāng)于導(dǎo)體球，此時，由式(21)～(23)，可得帶電細(xì)圓環(huán)和導(dǎo)體球構(gòu)成的系統(tǒng)的電勢分布為

(29)

式(29)表明導(dǎo)體球內(nèi)為等電勢區(qū)域.

R

(30)

(31)

采用本文的思路和求解方法，還可以得到帶電細(xì)圓環(huán)和電介質(zhì)球殼構(gòu)成的系統(tǒng)的電勢分布，不再贅述.